【常考题】高中必修一数学上期末试题含答案

【常考题】高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知在R上是奇函数，且A．-2 B．2 C．-98 D．982．已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．3．设集合，，则（）A． B． C． D．4．已知，，，则（）A． B． C． D．5．已知函数满足，若方程有个不同的实数根（），则()A． B．C． D．6．已知函数是偶函数，在是单调减函数，则（）A． B．C． D．7．设函数是定义为R的偶函数，且对任意的，都有且当时，，若在区间内关于的方程恰好有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为A． B．C． D．9．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）A．10 B．9 C．8 D．510．已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣111．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}12．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．二、填空题13．是上的奇函数且满足，若时，，则在上的解析式是______________．14．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.15．已知函数，定义，则函数的值域为___________.16．若函数为奇函数，则________．17．已知二次函数，对任意的，恒有成立，且.设函数.若函数的零点都是函数的零点，则的最大零点为________.18．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_________.19．已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=，b=.20．在区间上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数.（1）证明：为奇函数；（2）判断的单调性，并加以证明；（3）求的值域.22．已知函数(，，)，在同一个周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值.(1)求函数的解析式，并求在[0，]上的单调递增区间.(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，方程在有2个不同的实数解，求实数a的取值范围.23．已知集合，函数的定义域为集合B.(1)求；(2)若集合，且，求实数m的取值范围.24．已知函数，（且），且.（1）求k的值；（2）求关于x的不等式的解集；（3）若对恒成立，求t的取值范围.25．已知函数是二次函数,,.(1)求的解析式;(2)函数在上连续不断,试探究,是否存在,函数在区间内存在零点,若存在,求出一个符合题意的,若不存在,请说明由.26．已知.（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；（2）若函数在区间(0,1)上有两个不同的零点，求的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2019)＝－2.故选A2．D解析：D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．B解析：B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求得解.【详解】由题得，.所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．C解析：C【解析】【分析】首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．C解析：C【解析】【分析】函数和都关于对称，所有的所有零点都关于对称，根据对称性计算的值.【详解】，关于对称，而函数也关于对称，的所有零点关于对称，的个不同的实数根（），有1011组关于对称，.故选：C【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.6．C解析：C【解析】【分析】先根据在是单调减函数，转化出的一个单调区间，再结合偶函数关于轴对称得上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】在是单调减函数，令，则，即在上是减函数在上是减函数函数是偶函数，在上是增函数,则故选【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．7．D解析：D【解析】∵对于任意的x∈R,都有f(x−2)=f(2+x),∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4.又∵当x∈[−2,0]时,f(x)=−1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f(−2)=f(2)=3，则对于函数y=，由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即<3,且>3,由此解得：<a<2，故答案为(,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解8．B解析：B【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为．【详解】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．9．D解析：D【解析】由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D。10．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=ex+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．解：设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选B．考点：函数奇偶性的性质．11．C解析：C【解析】试题分析：根据补集的运算得．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．12．D解析：D【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析：【解析】【分析】首先根据题意得到，再设，代入解析式即可.【详解】因为是上的奇函数且满足，所以，即.设，所以.，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.14．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：【解析】【分析】不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【解析：【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出，进而可由基本不等式可得出，从而可得出函数的值域.【详解】由题意，，即，由题意知，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即，所以的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为解析：【解析】根据题意，当时，为奇函数，，则故答案为.17．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得，代入求得，从而得到解析式，进而得到；设为的零点，得到，由此构造关于的方程，求得；分别在和两种情况下求得所有零点，从而得到结果.【详解】设，解得：又，设为的零点，则，即即，解得：或①当时的所有零点为②当时的所有零点为综上所述：的最大零点为故答案为：【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.18．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：【解析】【分析】求出函数的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】，，，，，所以，，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.19．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误解析：【解析】试题分析：设，因为，因此【考点】指数运算，对数运算．【易错点睛】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5【解析】【分析】由，求出的范围，根据正弦函数为零，确定的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】,时,,，当时，的解有，的解有，的解有,故共有5个零点，故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数在上单调递，证明见详解；（3）【解析】【分析】（1）判断的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断在上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由，可得，可得及的取值范围，可得的值域.【详解】证明：（1）易得函数的定义域为,关于原点对称，且，故为奇函数；（2）函数在上单调递增，理由如下：在中任取，则，，，可得故，函数在上单调递增；（3）由，易得，，故，，故，故的值域为.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．(1)，单调增区间为，；(2)【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得，再由函数值（最大或最小值均可）求得，得解析式；（2）由图象变换得的解析式，确定在上的单调性，而有两个解，即的图象与直线有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知解得，.又，可得.由，解得.所以，由，解得，.又，所以的单调增区间为，.(2)函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，得到函数的表达式为.因为，所以，在是递增，在上递减，要使得在上有2个不同的实数解，即的图像与有两个不同的交点，所以.【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．23．(1)；(2)【解析】【分析】（1）由对数函数指数函数的性质求出集合，然后由并集定义计算；（2）在（1）基础上求出，根据子集的定义，列出的不等关系得结论．【详解】(1)由，解得，所以.故.(2)由.因为，所以所以，即m的取值范围是.【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．24．(1)；(2)当时，；当时，；(3)【解析】【分析】（1）由函数过点，待定系数求参数值；（2）求出的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.【详解】（1）因为且，故：，解得.（2）因为，由（1），将代入得：，则，等价于：当时，，解得当时，，解得.（3）在R上恒成立，等价于：恒成立；令，则，则上式等价于：，在区间恒成立.即：，在区间恒成立，又，故：的最小值为：-13，故：只需即可.