初高中数学衔接教材

初中升高中数学教材变化分析目录第一章 数与式数与式的运算绝对值乘法公式二次根式分式1.2 分解因式第二章2.1二次方程与二次不等式一元二次方程根的判别式根与系数的关系二次函数二次函数y=ax2+bx+c

的图像和性质二次函数的三种表达方式二次函数的应用方程与不等式二元二次方程组的解法第三章 相似形、三角形、圆相似形平行线分线段成比例定理相似三角形形的性质与判定三角形三角形的五心解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用圆直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理点的轨迹四点共圆的性质与判定直线和圆的方程（选学）1.1

数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a

0,a,|a

|

0, a

0,a,a

0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：

a

b

表示在数轴上，数a

和数b

之间的距离．例

1解不等式：

x

1

x

3

＞4．解法一：由x

1

0

，得x

1；由x

3

0

，得x

3

；①若x

1，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，解得

x＜0，又

x＜1，∴x＜0；②若1

x

2

，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即

1＞4，∴不存在满足条件的

x；③若x

3

，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，

解得

x＞4．又

x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或

x＞4．解法二：如图

1．1－1，

x

1

表示

x

轴上坐标为

x

的点

P

到坐标为

1

的点

A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示

x

轴上点

P

到坐标为

2

的点

B

之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式

x

1

x

3

＞4

的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点

P

在点

C(坐标为

0)的左侧、或点

P

在点D(坐标为

4)的右侧．x＜0，或

x＞4．Bx0 13 4C ADxP|x－1||x－3|2图

1．1－1练 习填空：（1）若

x

5

，则

x=

；若

x

4

，则

x=

.（2）如果

a

b

5

，且a

1，则

b＝

；若1

c

2

，则

c＝

.选择题：（下 列 叙 述 正 确 的 是）（B）若

a

b

，则a

b（D）若

a

b

，则a

b（A）若

a

b

，则a

b（C）若a

b

，则

a

b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.

乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式完全平方公式(a

b)(a

b)

a

2

b

2

；(a

b)2

a2

2ab

b2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b

c)2

a2

b2

c2

2(ab

bc

ac)

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例

1 计算：(x

1)(x

1)(x

2

x

1)(x

2

x

1)

．解法一：原式=(x2

1)

(x2

1)2

x2

=(x2

1)(x4

x2

1)=x61．解法二：原式=(x

1)(x2

x

1)(x

1)(x2

x

1)=(x3

1)(x3

1)=x61．例

2 已知a

b

c

4

，

ab

bc

ac

4

，求a2

b2

c2

的值．解：

a2

b2

c2

(a

b

c)2

2(ab

bc

ac)

8

．练 习1．填空：（1）

1

a2

1

b2

(1

b

1

a)

（ ）；9 4（2）(4m

2 3)2

16m2

4m

()

；(3

) (a

2b

c)2

a

2

4b2

c2

()

．2．选择题：23（1

）

若 x2

1mx

k 是

一个

完

全

平

方

式

，则 k 等

于（）（B）

1m2（C）

1m2（D）1

m24 3 16b 为 何 实 数 ， a2

b2

2a

4b

8 的 值（（A）

m2（ 2 ） 不 论 a ，）（A）总是正数（C）可以是零（B）总是负数（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如

a

(a

0)

的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.

例如

3a

a2

b

2b

，

a2

b2

等是无理式，而2x2

2

x

1

，

x2

2xy

y2

，

a2

等是有理式．2分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

2

与2，3a与a，

3

6

与

3

6

，2

3

3

2与2

3

3

2

，等等． 一般地，ax与

x

，

a

x

b

y

与a

x

b

y

，

a

x

b

与a

x

b

互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

a

b

ab

(a

0,b

0)

；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．二次根式

a2

的意义a

0,a2

a

a,a,a

0.例

1

将下列式子化为最简二次根式：（3）4x6y(x

0)

．（2）a2b(a

0)

；3b

；b

ab(a

0)

；（1）12b

；解：

（1）

12b

2（2）a2b

a（3）4x6y

2

x3y

2x3 y

(x

0)．例

2 计算：

3

(3

3)

．解法一：3(3

3)

＝ 33

34＝3

(3

3)(3

3)(3

3)＝

33

39

3＝

3(31)＝2631

．解法二：3(3

3)

＝33

3＝33(3

1)＝1＝3

1

(3

131)(

3

1)＝231

．例

3 试比较下列各组数的大小：（1）

12

11

和

11

10

； （2）26

4和2

2－

6.解：（1）∵

12

1112

11

(12

11)(12

11)

112

11，111

10

111

10

(11

12

1110)(11

10)

111

1011

10，又12

11

11

10

，∴12

11＜11

10

．,（2）∵22－6

22－6

(22－6)(22+

6)

21 22+

622+

6又4＞2

2，∴6＋4＞6＋2

2，∴26

4＜22－

6.例

4 化简：(

3

2)2004

(3

2)2005．2)2004

(2)2004

(3

3

2)20052)2004

(3

2)＝(

3

2)(3

20042)

(3

2)解：(

3

＝(3

＝12004

(3

2)＝

3

2

．例

5 化简：（1）

9

4

5

；x2（2） x2

1

2(0

x

1)

．解：（1）原式

5

45

4

(5)2

22

5

22

(2

5)2

2

5

5

2

．（2）原式=

(x

1)2

x

1

，x x∵

0

x

1，∴

1

1

x

，所以，原式＝

1

x

．3

53

例

6 已知x

x2,y

3

23

2x2

，求3x2

5xy

3y2

的值

．解： ∵

x

y3

2

3

3

2

3

22

(

3

2)2

(

3

2)2

10

，xy

3

2

3

3

2

3

22

1

，∴

3x2

5xy

3y2

3(x

y)211xy

310211

289．练 习1．填空：（1）

13

＝；1

3（2）若

(5

x)(

x

3)2

(

x

3)

5

x

，则x

的取值范围是_

_ ；（3）

4

24

6

54

3

96

2

150

；x

1

x

1

x

1

x1

x

1

x

1 x

1

x

1．（4）若x

5

，则22．选择题：等 式xxx

2 x

2成立的条件是（）（A）

x

2（C）

x

2（D）

0

x

23．若b

a21

1

a2a

1

（B）

x

0，求a

b

的值．4．比较大小：2－

3

5－

4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义B形如

A

的式子，若

B

中含有字母，且B

0

，则称

A

为分式．当

M≠0时，分B式

A

具有下列性质：BA

A

M

； A

A

M

．B B

M B B

M上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式ac

d2mn

p像

b

，

m

n

p

这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例

1B若

5x

4

A

x(x

2) x x

2，求常数

A,

B

的值．解：

∵

A

6B

A(x

2)

Bx

(A

B)x

2A

5x

4x x

2 x(x

2) x(x

2) x(x

2)，∴

A

B

5,2

A

4,解得 A

2,

B

3

．例

2 （1）试证：1 1n(n

1) n n

1

1

（其中

n

是正整数）；1 11（2）计算：

1

2 2

3 9

10；（3）证明：对任意大于

1

的正整数

n，

有1 112

3 3

4n(n

1)

2

1

．（1）证明：∵

1

1

(n1)

n

1n n

1 n(n

1) n(n

1)，∴1 1n(n

1) n n

1

1

（其中

n

是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1 1 11

2 2

39

10

2 2 3 9 10 10 10

(1

1)

(

1

1)

(1

1

)

1

1 ＝9

．（3）证明：∵1 11

1 12

3 3

4 n(

n

1) 2 3 3 4 n n

1 2 n

1＝(

1

1)

(1

1

)

(

1

)＝

1

，1 又

n≥2，且

n

是正整数，∴ 一定为正数，∴1 1 12

3 3

4

n(

n

1)

2n＋1＜1

．a例

3 设e

c

，且

e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求

e

的值．解：在

2c2－5ac＋2a2＝0

两边同除以

a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，12∴e＝ ＜1，舍去；或

e＝2．∴e＝2．1n(n

2)1(1

n n

2)；练 习填空题：对任意的正整数

n，选择题：若2x

y

2x

y

3，则xy＝（）（A）１（B）

54（C）

45（D）

65x

y3．正数x,

y

满足x2

y2

2xy

，求

x

y

的值．1 1 1 174．计算

...1

2 2

3 3

4 99

100．习题

1．1A 组1．解不等式：(2) x

3

x

2

7

；(1) x

1

3

；(3) x1

x1

6

．２．已知x

y

1，求x3

y3

3xy

的值．3．填空：3)18(2

（1）(2

3)19

＝

；（2）若

(1

a)2

(1

a)2

2

，则a

的取值范围是

；（3）1 1 1 1 1

1

2 2

3 3

4

4

5

5

6．B组1．填空：2 3（1）

a

1

，

b

1，则3a2

ab3a2

5ab

2b2；（2）若x2

xy

2y2

0，则

x

3xy

y

2 2x2

y2；2．已知：

x

1

,

y

1

，求2 3y y的值．x

y x

yC 组1．选择题：（ 1）若a

b

2

ab

b

a（（C）

a

b

0（）（B）

a

b计算a

1a， 则（D）

b

a

0等 于（）（A）

a

b2）（A）

a（B）

a（C）

a（D）

a2．解方程2(x2

1

)

3(x

1)

1

0

．1x21 113．计算：

1

3 2

4 3

5 9

11x

．4．试证：对任意的正整数

n，有1 1811

2

3 2

3

4

1n(

n

1)(

n

2)

4＜ ．1.2

因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例

1 分解因式：（1）x2－3x＋2；（3）

x2

(a

b)xy

aby2

；（2）x2＋4x－12；（4）

xy

1

x

y

．解：（1）如图

1．1－1，将二次项

x2

分解成图中的两个

x

的积，再将常数项2

分解成－1

与－2

的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2

中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图

1．1－1

中的两个

x

用

1来表示（如图

1．1－2

所示）．（2）由图

1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图

1．1－4，得x2

(a

b)xy

aby2

＝(x

ay)(x

by)（4）

xy

1

x

y

＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)

(y+1)

（如图

1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）

x2

5x

6

。（2）

x2

5x

6

。（3）

x2

5x

6

。（4）

x2

5x

6

。（5）

x2

a1x

a。（6）

x211x18

。（7）

6x2

7x

2

。（8）

4m212m

9

。（9）

5

7x

6x2

。（10）12

x2

xy

6

y

2

。2、

x2

4x

x

3x

3、若x2

ax

b

x

2x

4则

a

，

b

。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）

x2

7x

6

（2）

x2

4x

3

（3）

x2

6x

8

（4）

x2

7x

10（5）

x2

15x

44

中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2）C、只有（3）（5）B、只有（3）（4）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式a2

8ab

33b2

得（ ）A、a

11a

3

B、a11ba

3b

3、a

b2

8a

b

20

分解因式得（C、a

11ba

3b

D、a

11ba

3b）B、a

b

5a

b

4A、a

b

10a

b

2C、a

b

2a

b

10D、a

b

4a

b

5－2x图

1．1－1－21图

1．1－2x 1－1 －2 －ay－by－1 1 x6 x1图

1．1－3 图

1．1－4－11xy图

1．1－594、若多项式x2

3x

a

可分解为x

5x

b

，则a

、b

的值是（10A、a

10

，b

2 B、a

10

，b

2 C、a

10

，b

25、若x2

mx

10

x

ax

b其中a

、b

为整数，则m

的值为（）D、a

10

，b

2）C、

9 D、

3

或

9A、3

或9 B、

3三、把下列各式分解因式1、62

p

q2

11q

2

p

32、a3

5a2

b

6ab23、2

y

2

4

y

64、b4

2b2

82．提取公因式法例

2 分解因式：（1） a2

b

5

a5

b（2）

x3

9

3x2

3x解： （1）．

a2

b

5

a5

b=

a(b

5)(a

1)（2）

x3

9

3x2

3x

=(x3

3x2

)

(3x

9)

=

x2

(x

3)

3(x

3)=(x

3)(x2

3)．或x3

9

3x2

3x

＝(x3

3x2

3x

1)

8

＝(x

1)3

8

＝(x

1)3

23＝[(x

1)

2][(x

1)

2

(x

1)

2

22]

＝(x

3)(x2

3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2

y

2xy

2

4xyz

中各项的公因式是

。2、mx

y

ny

x

x

y。3、mx

y2

ny

x2

x

y2

。4、mx

y

z

ny

z

x

x

y

z。5、mx

y

z

x

y

z

x

y

z。6、13ab2

x6

39a3b2

x5

分解因式得

。7．计算992

99

=

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”

）1

、

2a2

b

4ab2

2aba

b

…………（ ）2、

am

bm

m

ma

b

……………（ ）3

、

3x3

6x2

15x

3xx2

2x

5

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…（ ）4、

xn

xn1

xn1

x

1

………………（ ）3：公式法例

3 分解因式： （1）

a416（2）

3x

2

y2

x

y2解：(1)

a4

16

=

42

(a2

)2

(4

a2

)(4

a2

)

(4

a2

)(2

a)(2

a)(2)

3x

2

y2

x

y2

=(3x

2

y

x

y)(3x

2

y

x

y)

(4x

y)(2x

3y)课堂练习一、a2

2ab

b2

，

a2

b2

，

a3

b3

的公因式是

。二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”

）

3

2

3

29

34

22221、 x

0.01

x

0.1

x

0.1

x

0.1

…………

（）2

、

9a2

8b2

3a2

4b2

3a

4b3a

4b…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…（ ）3

、

25a2

16b

5a

4b5a

4b

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…（ ）4

、

x2

y

2

x2

y

2

x

yx

y

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…（ ）5

、

a2

b

c2

a

b

ca

b

c

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…（ ）五、把下列各式分解1、

9m

n2

m

n23112、3x2

13、4

x2

4x

224、

x4

2x2

14．分组分解法例

4 （1）

x2

xy

3

y

3x （2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

．（2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=

2x2

(

y

4)x

y2

5

y

6=

2x2

(

y

4)x

(

y

2)(

y

3)

=(2x

y

2)(x

y

3)

．或2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=(2x2

xy

y2

)

(4x

5

y)

6=(2x

y)(x

y)

(4x

5

y)

6=(2x

y

2)(x

y

3)

．课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）

x2

y

2

a2

b2

2ax

2by（2）

a2

4ab

4b2

6a

12b

95．关于

x

的二次三项式

ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．21 2若关于

x

的方程

ax

bx

c

0(a

0)

的两个实数根是

x

、

x

，

则二次三项式2ax

bx

c(a

0)就可分解为a(x

x1)(x

x2

)

.例

5 把下列关于

x

的二次多项式分解因式：（1）

x2

2x

1； （2）

x2

4xy

4

y2

．21 2解：（1）令x

2x

1=0，则解得x

1

2，x

1

2

，∴

x2

2x

1=

x

(1

2)

x

(1

2)

=(x1

2)(x

1

2)

．2 211（2）令x

4xy

4

y

=0，则解得x

(2

2

2)

y

，

x

(2

2

2)

y

，∴

x2

4xy

4

y2

=[x

2(1

2)

y][x

2(1

2)

y]．练 习1．选择题：多项式2x2

xy

15

y2

的一个因式为）（B）

x

3y（C）

x

3y（（D）

x

5y（A）

2x

5

y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（3）x2－2x－1；（2）8a3－b3；（4）

4(x

y

1)

y(

y

2x)

．习题

1．2（2）

4x413x2

9；（4）

3x2

5xy

2

y2

x

9

y

4

．分解因式：（1）a3

1；（3）

b2

c2

2ab

2ac

2bc

；在实数范围内因式分解：（1）

x2

5x

3；（3）

3x2

4xy

y2；（2）

x2

22x

3；（4）(x2

2x)2

7(x2

2x)

12

．3．

ABC

三边a

，

b

，

c

满足a2

b2

c2

ab

bc

ca

，试判定ABC

的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1 1+ +112ab

c

-1 bc

a

-1 ca

b

-1的5.

（尝试题）已知

abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=，求值.一元二次方程根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）

x2

2x

3

0

(2)

x2

2x

1

0

(3)

x2

2x

3

0

}我们知道，对于一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为22a 4a

2b b2

4ac(x

)

． ①因为

a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当

b2－4ac＞0

时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，22a＝b

b2

4ac；（2）当

b2－4ac＝0

时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根2ax1＝x2＝－b

；2a（3）当

b2－4ac＜0

时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x

b

)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由

b2－4ac来判定，我们把

b2－4ac

叫做一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0

时，方程有两个不相等的实数根

x1，22a＝b

b2

4ac；2a（2）当Δ＝0

时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－

b

；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例

1 判定下列关于

x

的方程的根的情况（其中

a

为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（3）

x2－ax＋(a－1)＝0；（2）x2－ax－1＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12 213x2x

a

a

4

，

a

a

4

．2 2（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当

a＝2

时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当

a≠2

时，Δ＞0，

所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即

4(1－a)

＞0，即

a＜1

时，方程有两个不相等的实数根x1

11

a

， x2

11

a

；②当Δ＝0，即

a＝1

时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即

a＞1

时，方程没有实数根．说明：在第

3，4

小题中，方程的根的判别式的符号随着

a

的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对

a

的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1

2a

2ab

b2

4ac b

b2

4ac，

x2

，则有2a

2ab

b2

4ac b

b2

4ac2b

bx1

x2

；2a a2a 2a 4a

2b

b2

4acb

b2

4ac b2

(b2

4ac) 4ac cx1x2

．4a

2 a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：a如果

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是

x1，x2，那么

x1＋x2＝

b

，x1·x2＝

c

．这一关系也被称为韦达定理．14a特别地，对于二次项系数为

1

的一元二次方程

x2＋px＋q＝0，若

x1，x2

是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程

x2＋px＋q＝0

可化为

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于

x1，x2

是一元二次方程

x2＋px＋q＝0

的两根，所以，x1，x2

也是一元二次方程

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数

x1，x2

为根的一元二次方程（二次项系数为

1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例

2 已知方程5x2

kx

6

0

的一个根是

2，求它的另一个根及

k

的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出

k

的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出

k

的值．解法一：∵2

是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．5所以，方程就为

5x2－7x－6＝0，解得

x1＝2，x2＝－

3

．5所以，方程的另一个根为－

3

，k

的值为－7．解法二：设方程的另一个根为

x1，则 2x1＝－

6

，∴x1＝－

3

．5 5由 （－

3

）＋2＝－

k

，得

k＝－7．5 5515所以，方程的另一个根为－

3

，k

的值为－7．例

3

已知关于

x

的方程

x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0

有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大

21，求

m

的值．分析：

本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大

21

得到关于

m

的方程，从而解得

m

的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设

x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x

2 21＋x2

－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3

x1·x2＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或

m＝17．当

m＝－1

时，方程为

x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当

m＝17时，方程为

x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的

m

的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大

21”求出

m

的值，取满足条件的

m

的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例

4 已知两个数的和为

4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为

x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是

x，y，则 x＋y＝4，xy＝－12．①②

y

6,由①，得

y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴

x1

2, 或x2

6,

y

2.

1

2因此，这两个数是－2

和

6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

x2－4x－12＝0

的两个根．解这个方程，得

x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2

和

6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例

5 若

x1

和

x2分别是一元二次方程

2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|

x1－x2|的值； （2）求

1x

2 x

2

12的值；（3）x13＋x

3．1 2解：∵x1

和

x2

分别是一元二次方程

2x2＋5x－3＝0的两根，1 2 1

22 2∴x

x

5，

xx

3．1 2 1 21

22 2 2 21 2 1

225223 254（1）∵|x

－x

|

＝x

+

x

－2x

x

＝(x

＋x

)

－4x

x

＝

(

)

4

(

)

＝

＋6＝

49，42∴|x1－x2|＝

7．2 2 21 2 1 2 1

2（2）

13

2294x

2 x

2(

5)2

2

(

3)25

3

1

x1

x2

(x1

x2)

2x1x2

2 2

4x2

x

2 (xx

)2(

)

37

．93 3 2 2 2（3）x1＋x2＝(x1＋x2)(x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)

－3x1x2]2 2 2 8＝(－

5

)×[(－

5

)2－3×(

3

)]＝－

215

．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设

x1

和

x2

分别是一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则1x22a

2a

b

x

b

b

4ac

， b

4ac

，2 21 2∴|x－x|＝b

16b2

4ac

b

b2

4ac

2b2

4ac2a 2a 2ab2

4ac

．|

a

| |a

|于是有下面的结论：|a

|若

x1

和

x2

分别是一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|

x1－x2|＝

（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例

6 若关于

x

的一元二次方程

x2－x＋a－4＝0

的一根大于零、另一根小于零，求实数

a

的取值范围．解：设

x1，x2

是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．①②4由①得 a＜4，由②得 a＜17

．∴a

的取值范围是

a＜4．）练 习