复变函数与积分变换柯西积分定理_第1页
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复变函数与积分变换柯西积分定理第一页，共十四页，编辑于2023年，星期日问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连通区域D内沿闭路径的积分为零?要使只要这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy,uy=-vx.Cauchy：若f(z)在单连通区域D内解析,且f'(z)连续,则对D内任意闭曲线C有第二页，共十四页，编辑于2023年，星期日Cauchy-Coursat定理:

若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任意闭曲线C有第三页，共十四页，编辑于2023年，星期日二、原函数与不定积分推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，与路径无关仅与起点和终点有关。其中C：。固定z0,z1=z在D内变化,于是在D内确定了关于z的单值函数:变上限积分。第四页，共十四页，编辑于2023年，星期日定理2如果函数f(z)在单连通域D内解析,则F(z)在D内也是解析的，且证明：第五页，共十四页，编辑于2023年，星期日因f(z)在D内解析，故f(z)在D内连续第六页，共十四页，编辑于2023年，星期日特别地定义：若在单连通区域D内恒有F'(z)=f(z),则称F(z)为f(z)的一个原函数.f(z)的原函数的全体称为f(z)的不定积分,记为解析函数的原函数仍为解析函数第七页，共十四页，编辑于2023年，星期日例题1C如图所示：存在f(z)的解析单连通域D包含曲线C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。解：从而第八页，共十四页，编辑于2023年，星期日这里D为复连通域。第九页，共十四页，编辑于2023年，星期日可将柯西积分定理推广到多连通域的情况，有定理2

假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理第十页，共十四页，编辑于2023年，星期日推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，

所围成的多连通区域，

第十一页，共十四页，编辑于2023年，星期日例题2C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：

（由闭路变形原理）第十二页，共十四页，编辑于2023年，星期日第十三页，共十四页，编辑于2023年，星期日从以上例子可以看出，复合闭路定理可以把沿任意简单闭曲线上的积分化为以所围奇点为中心的圆周上的积分，也就是说，闭曲线任意变形，只要在变形过程中不经过函

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