对换改变排列的奇偶性

对换改变排列的奇偶性第二章行列式§2排列第一页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列定义1：由自然数1,2,······,

n组成的一个有序数组称为例如：123455123453214都是数1,2,3,4,5的一个排列。考虑：n个数的不同排列有n!个。自然排列：按数的大小次序，由小到大排列。考虑：n元排列中，自然排列只有一种除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小一个n级排列。第二页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列定义2：在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数,奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。数前面，就称这两个数构成一个逆序。第三页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列计算排列的逆序数的方法：n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数再看有多少个比2大的数排在2前面，记为继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记为则此排列的逆序数为排在1前面，记为第四页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列例1：求排列32514的逆序数。解：例2：求排列453162的逆序数。课堂练习：（1）1，3，···，2n－1，2，4，···，2n（2）1，3，···，2n－1，2n，2n－2，···，4，2第五页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列考虑，在1，2，3的全排列中有3个偶排列：有3个奇排列：123，231，312132，213，321一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义3：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码将相邻的两个数对换，称为相邻对换。不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。第六页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列证明1)特殊情形：作相邻对换对换与除外，其它元素所成逆序不改变.对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．定理1设排列为第七页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列当时，所成逆序不变;经对换后的逆序增加1个,经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与2)一般情形第八页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第九页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列所有级排列中，奇、偶排列各半，均为个.设在全部

阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．将

个奇排列的前两个数对换，则这

个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，同理，将

个偶排列的前两个数对换，则这

个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，推论证明故第十页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列都可经过排列的奇偶性相同．定理2证明：对排列的级数n作归纳，证明前一结论成立。1级排列只有1个，结论自然成立。假设结论对n-1级排列成立，现证n级排列情形：第十一页，共十三页，编辑于2023年，星期日第二章行列式§2排列，则此对换将变成设是一n级排列，若,由归纳,则n-1级排列可经一系列对换变成排列本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).若，先对作的对换，它就变成，则归结成前一情形，因此总成立.第十二页，共十三页