等比数列的概念

等比数列概念名称等差数列概念常数性质通项通项变形旧知回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零

国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。”国王慷慨地答应了他。左图为国际象棋的棋盘，棋盘有64个格

1234567812345678上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：情景展示（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”-----庄子如果将“一尺之棰”视为一份，则每次截取后剩下的部分依次为：情景展示（2）36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…

某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年年初时的价格（单位：万元）。各年年初汽车的价格组成数列：情景展示（3）第一年36万元第二年初36×0.9万元第三年初36×0.92万元第四年初36×0.93万元…想一想共同特点？

从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1)

(2)…………36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…（3）或其数学表达式等比数列定义

一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的

等于

，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。比同一个常数2(判断一个数列是否为等比数列的依据)课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比

q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)

(2)

是,公比

q=观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比

q=1(5)

1，0，1，0，1，…(6)

0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2)

(5)

1，0，1，0，…(6)

0，0，0，0，…1.各项不能为零,即

2.公比不能为零,即4.数列a,a,a,…时,既是等差数列又是等比数列;时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q>0，各项与首项同号

当q<0，各项符号正负相间对概念的更深理解等差数列通项公式的推导:(n-1)个式子……方法一:(叠加法)……方法二:(归纳法)等比数列通项公式的推导：(n-1)个式子……方法一:叠乘法……方法二:归纳法11-=nnqaa等比数列的通项公式当q=1时，这是一个常函数。等比数列，首项为,公比为q,则通项公式为①②（这是等比数列通项公式的推广形式）想一想：由一个等比数列{an}中的任意两项an

，am是否可以确定这个等比数列的通项公式？解法2：想一想：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G应满足什么条件？结论：即即则等比中项：由此得,在等比数列a1

,

a2

,a3

,a4

,a5

,…an,…中,结论：从函数的角度来看等比数列通项公式：数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●等比数列的图像（2）数列：12345678910123456789100●●●●●●●等比数列的图象3数列：4，4，4，4，4，4，4…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等比数列的图象4数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●当q>1，a1>0，数列是递增数列.或0<q<1，a1<0

时，当

q>1，a1<0，数列是递减数列.或0<q<1，a1>0

时，说明：(1)因为等比数列每一项都可能作分母，所以每一项均不为0，因此

q≠0.(2)当q<0时，数列是摆动数列.当q=1时，数列是常数数列.当q>0时，数列单调性不定.例2.

已知数列{an}的前n项和为Sn,（1）求（2）求证：数列{an}是等比数列.（1）解:即又即例2.

已知数列{an}的前n项和为Sn,（1）求（2）求证：数列{an}是等比数列.（2）证明:当n≥2时，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列.当n=1时，，.解：由知：数列{an}是首项为a1=1，公比为q=的等比数列.又由即所以数列{bn}是首项为b1=1，公差为d=－1的等差数列.

本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换关系.不失一般性，设c＞0，c≠1,则：说明：若数列{an}是等差数列，那么数列是等比数列；反之,若{an}是等比数列且an＞0,则数列是等差数列.

易错点评：审题不细心．根据a7是a5与a9的等比中项求出a7

后易忽视对a7

符号的讨论．等比数列{an}的判定方法：本课栏目开关填一填练一练研一研2.4（一）216

本课栏目开关填一填练一练研一研2.4（一）研一研·问题探究、课堂更高效本课栏目开关填一填练一练研一研2.4（一）本课栏目开关填一填练一练研一研2.4