直线与圆锥曲线的位置关系

第2讲直线与圆锥曲线的位置关系高考定位

直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.真

题

感

悟(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，则当Δ＞0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线相离.②若a＝0，则直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.考

点

整

合(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点一直线与圆锥曲线的相交弦问题角度1有关圆锥曲线的弦长问题【例1－1】

(2019·绍兴调研)如图，直线l：x－ty＋1＝0和抛物线C：y2＝4x相交于不同两点A，B.解得t<－1或t>1，即t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由(1)得y1＋y2＝4t，x1＋x2＝4t2－2，

又直线FN：y＝－tx＋t，与x－ty＋1＝0联立，探究提高

解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系、设而不求思想、弦长公式等简化计算；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.角度2有关圆锥曲线的中点弦问题【例1－2】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0). (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围.(1)解

∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0)，又∵P，Q关于l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，探究提高

对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)假设存在过点N(1，0)的直线l.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝my＋1，代入椭圆方程并整理得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0，

将x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1代入②得(2m2＋3)y1y2＋2m(y1＋y2)＋5＝0，③探究提高

(1)直线方程设为y＝kx＋b(斜截式)时，要注意考虑斜率是否存在；直线方程设为x＝my＋a(可称为x轴上的斜截式)，这种设法不需考虑斜率是否存在.(2)若图形关系可转化为向量关系，则写出其向量关系，再将向量关系转化为坐标关系，关键是得出坐标关系.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).探究提高

(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.1.直线与抛物线位置关系的提醒(1)若点P在抛物线内，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线只有一条，此直线与抛物线的对称轴平行；(2)若点P在抛物线上，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条直线与抛物线的对称轴平行；(3)若点P在抛物线外，则过点P且和抛物线只有一个交点的直线有三条，两条是抛物线的切线，另一条直线