高中数学新课标选修.简单的计数问题教学设计

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第七课时1。4简单的计数问题一、教学目标]（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法,能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；（2)提高合理选用知识解决问题的能力．二、教学重点，难点排列、组合综合问题．三、教学过程［来源：］典例分析［来源：］例1．2名女生，4名男生排成一排．［来源:]（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？(2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？(3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？解：（1）“捆绑法”:将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种排法,又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是．（2)方法一：（插空法）分两步完成：第一步，将4名男生排成一排，有种排法;第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻,故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有种排法．根据分步计数原理，不同的排法种数是种．方法二：（间接法）因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有种．（3）方法一：（特殊元素优先考虑）分2步完成：第一步,排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置,即；第二步,排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有种方法．[来源:］根据分步计数原理，不同的排法种数是．方法二:（除法）如果将6名学生全排列，共有种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有种，因为女生的顺序已定，所以在这中排法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法数为种．例2．高二（1）班有30名男生,20名女生，从50名学生中3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？解：完成这件事分三步进行：第一步，从30名男生中选3名男生，有种方法；第二步，从20名男生中选2名男生，有种方法；第一步,将选出的5名学生进行分工，即全排列,有种方法．根据分步计数原理,共有种选法．答：共有92568000种不同的选法．思考:如果上述问题解答分两步:先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任不同职务,则结果为，这样做对吗？为什么？(从30名男生中选3名担任3种不同职务的方法数应为说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列"的原则．例3．某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿；再从所一般大学中选所填在第二档次的三个志愿栏内，其中、两校必选,且在前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？解:先填第一档次的三个志愿栏：因校定为第一档次的第一志愿,故第一档次的二、三志愿有种填法；再填第二档次的三个志愿栏:、两校有种填法，剩余的一个志愿栏有种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有（种）．例4．有只不同的试验产品,其中有只次品,只正品,现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：本题的实质是，前五次测试中有只正品,只次品，且第五次测试的是次品．思路一：设想有五个位置，先从只正品中任选只，放在前四个位置的任一个上，有种方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法．故不同的情形共有种．四、课堂小结1、解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程,弄清问题究竟是排列问题还是组合问题,还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；2、解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排;(2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部)；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．五、课堂练习1．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种？解析:可先分组再分配，根据题意分两类,一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目,然后再分配给4个城市中的2个，共有Ceq\o\al(2,3）Aeq\o\al（2，4）种方案;另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个,共有Aeq\o\al（3，4)种方案．由分类加法计数原理可知共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al（2，4）＋Aeq\o\al(3，4)＝60种方案．2．有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2，3,4，5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，求可以组成的不同牌号的总数．解析：若无字母A，则有Aeq\o\al（5,6）种；若含有一个字母A，则有Ceq\o\al（4,6)Aeq\o\al（5,5）种；若含有两个字母A，则有Ceq\o\al(3,6）·Aeq\o\al（3,5)种；若含有三个字母A，则有Ceq\o\al(2，6）·Aeq\o\al（2,5)种，综上所述，共有Aeq\o\al（5,6)＋Ceq\o\al（4,6)Aeq\o\al(5，5）＋Ceq\o\al（3，6)·Aeq\o\al（3，5）＋Ceq\o\al（2,6）·Aeq\o\al(2,5）＝4020(种)．所以，可以组成的不同牌号的总数为4020种．3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为（)A．360B．520C．600D．720解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人,再将甲乙两人插入其中即可，则共有Ceq\o\al(2，5)Aeq\o\al（2,2）Aeq\o\al(2，3)种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加,则共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al