2022-2023学年云南省曲靖市罗平县板桥镇第二中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年云南省曲靖市罗平县板桥镇第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若的展开式中各项二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，则的值为A．

B．

C．

D．（

）参考答案：答案：B2.“”是“直线与圆相切”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略3.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，称素数对为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（

）．A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数，使得是素数，称素数对为孪生素数．其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有，，，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数，所以其中能够组成孪生素数的概率是．故选：C．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4.已知定义在R上的奇函数满足，当时，则（

）A.

B.C.

D.参考答案：B因为满足，所以，所以周期，所以，，,故选B.

5.已知是实数，是纯虚数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则A.－2 B.2 C. D.参考答案：A【分析】先根据可得函数周期，结合奇函数及解析式可得.【详解】因为，所以周期为4，所以；因为为奇函数，所以.因为当时，，所以，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；

②；③；

④．其中“同簇函数”的是（

）A．①②

B．①④

C．②③

D．③④参考答案：C8.在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线以及该曲线在处的切线所围成图形的面积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D9.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+6参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图所示：则△SAD是边长为2的正三角形，其面积为：，∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是两直角边长为1和2的直角三角形，故△SAB的面积为1，同理，△SCD的面积也为1，又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，故△SBC是底边长2，高为2的等腰三角形，故△SBC的面积为2，综上所述，几何体的侧面积为+4，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.已知非零向量，，若，，则向量和夹角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】直接利用平面向量数量积的运算律即可求解。【详解】设向量与向量的夹角为，，由可得：，化简即可得到：，故答案选B。【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，满足约束条件，则的最小值为

.参考答案：－512.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为

．参考答案：时，，符合题意，当时，，得，综上有．考点：函数的定义域．【名师点晴】本题表面上考查函数的定义域，实质是考查不等式恒成立问题，即恒成立，这里易错的地方是只是利用判别式，求得，没有讨论二次项系数为0的情形．13.

以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，则a、b、c的大小关系为________．参考答案：a<c<b14.等比数列中，若，则参考答案：略15.已知不共线，，当______时，共线.参考答案：16.一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：200＋9π略17.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求cosA；（2）求c的值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得；（2）由余弦定理构造方程可求得的两个解，其中时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：（2）在中，由余弦定理得：由整理可得：解得：或当时，，又

，此时，与已知矛盾，不合题意，舍去当时，符合要求综上所述：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.19.(12分)如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．（1）求证：平面平面；（2）确定点的位置，使得平面；（3）当是中点时，求二面角的余弦值．

参考答案：（1）连结，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分别是、的中点，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；……………4分（2）连结，∵平面，平面平面，∴，∴，故

………………-6分（3）∵平面，平面，∴，在等腰三角形中，点为的中点，∴，∴为所求二面角的平面角，……8分∵点是的中点，∴，所以在矩形中，可求得，，，……10分在中，由余弦定理可求得，有空间位置关系知二面角为钝角∴二面角的余弦值为．……………12分20.（本小题满分13分）在△ABC中，∠C＝，．（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．参考答案：【知识点】余弦定理正弦定理【试题解析】(Ⅰ)在中，因为，

即

所以．

（Ⅱ）因为．

所以，解得．

又因为．

所以，

所以．21.如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（Ⅲ）求点E到平面的距离.参考答案：方法一:

(1)证明：连结OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,

∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.（Ⅱ）取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中，是直角△AOC斜边AC上的中线，∴∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为（Ⅲ）设点E到平面ACD的距离为h.,∴·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1,S△CDE=∴h=∴点E到平面ACD的距离为.方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为（Ⅲ）设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.

又∴点E到平面ACD的距离

h=22.（2016?广元一模）目前，埃博拉病毒在西非并逐渐蔓延，研究人员将埃博拉的传播途径结合飞机航班数据，埃博拉的潜伏时间等因素，计算出不限飞情况下，亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出现输入性病例是彼此独立的．（1）求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率；（2）从上述四国中任选两国调研疫情，求恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩），一国选在中国和印度的概率；（3）专家组拟按下面步骤进行疫情调研，每一步若出现输入性病例，若出现则留下来研究，不在进行下一步调研；第一步，一次性选中国和印度两个国家同时进行调研；第二步，在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研第三步，对剩下的一个国家进行调研．求该专家组调研国家个数的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）四国中恰有1个国家出现输入性病例共有四种情况：选出一个国家出现输入性病例而另外三个国家没有出现输入性病例，利用相互独立和互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）恰有一国选在西亚（阿联酋、黎巴嫩）有种情况，一国选在中国和印度有中情况，因此共有种，而基本事件的总数为，利用古典概率的概率计算公式即可得出．（3）利用相互独立和相互对立事件的概率计算公式可得第一步出现输入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）；同理可得：若第一步没有出现输入性病例而第二步出现输入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2；若第一步及第二不没有出现输入性病例而第三步出现输入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288．【解答】解：（1）P=0.1×（1﹣0.2）3+（1﹣0.1）×0.2×（1﹣0.2）2×3=0.4096．（2）P==．（3）第一步出现输入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）=0.28；若第一步没有出现输入性病例而