安徽省安庆市第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析

安徽省安庆市第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是函数图象的一个最高点,是与相邻的两个最低点．若，则的图象对称中心可以是（A）（B）（C）（D）参考答案：C【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取的中点，连结，则，设，则，由余弦定理可得，，解得，，的中点都是图象的对称中心.故选.【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是

错选B：误把最高点的2当成了周期；

错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.2.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略3.“”是“”成立的（▲）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2019项的和为（

）A.672 B.673 C.1346 D.2019参考答案：C【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.【详解】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.5.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略6.点P是△ABC内一点，且，则△ABP与△ABC的面积之比是（）A．1：5 B．1：2 C．2：5 D．1：3参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可延长PB到B′，延长PC到C′，并分别使PB′=2PB，PC′=3PC，从而根据条件便得到=，这便说明P为△AB′C′的重心．这便得到三角形PAB′，三角形PB′C′，及三角形PC′A的面积都相等，设为S，从而会得到S△ABC=S，这样便可求出△ABP与△ABC的面积之比．【解答】解：如图，延长PB至PB'，使PB'=2PB，延长PC至PC'，使PC'=3PC，并连接AB′，B′C′，C′A，则：=∴P是△AB′C′的重心；∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三个三角形的面积相等，记为S；∴S△APB=，S△APC=，S△BPC=，∴S△ABC=S，∴S△ABP：S△ABC=1：2．故选B．7.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（

）（A）

（B） （C） （D）参考答案：C8.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A.3 B.2 C. D.

参考答案：B略9.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a等于()A．10.5B．5.15C．5.2 D．5.25参考答案：D10.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

.参考答案：试题分析：由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以的概率.12.已知是第二象限角，且则（

）。参考答案：13.幂函数过点，则=

.参考答案：【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．B8

【答案解析】2

解析：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【思路点拨】由题意得，由此能求出m=2．14.若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=______.参考答案：15.如右图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离

．参考答案：

因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，，所以A、D两点间的球面距离为.

16.已知为常数,若函数有两个极值点，则的取值范围是

参考答案：0<a<1/2略17.定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“的相关函数”。有下列关于“的相关函数”的结论：（1）是常值函数中唯一一个“的相关函数”;(2)是一个“的相关函数”；（3）“的相关函数”至少有一个零点。其中结论正确的是_________参考答案：(3)_.略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.正四面体边长为2.分别为中点.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求的值.参考答案：解：（1）由已知得，连接得，平面.（2）=.略19.已知函数

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在=1处取得极值，对任意的∈（0，+∞），≥恒成立，求实数b的取值范围；（3）当＞＞时，求证：参考答案：（Ⅰ），①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；②当a＞0时，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，∴f（x）在上递减，在上递增，即f（x）在处有极小值．∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．……………4分（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，………………∴，…（6分）令，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，∴，即．……8分（Ⅲ）证明：，令，则只要证明g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，……又∵，显然函数在（e﹣1，+∞）上单调递增．∴，即g'（x）＞0，∴g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，即，∴当x＞y＞e﹣1时，有．…………………12分20.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图可得[50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．所以，ξ的分布列为ξ123P所以，．【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．21.（14分）将个数排成行列的一个数阵：已知，该数列第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，其中为正实数。（1）