2022年福建省厦门市东华高级中学高三数学理模拟试题含解析

2022年福建省厦门市东华高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从中任取两个数字的所有情况有，，，共种，而其中数字之和为的情况有，共种，所以所求概率.故选B.2.已知函数，则A． B． C． D．5参考答案：A3.若抛物线y=4x的焦点是F准线是l,则过点F和点M(4,4)且与准线l相切的圆有（

）A

0个

B

1个

C

2个

D

4个

参考答案：C略4.设集合，，，且，则A．1

B．2

C．3

D．9参考答案：B5.已知集合，集合，则∩A．

B.

C.

D.参考答案：A6.已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．7.对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．34+6 B．44+12 C．34+6 D．32+6参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查平面图形面积的求法，本题是一个基础题．9.已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出，并且可以得出，从而由f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23）；∵50.2＞50＝1，；∴；∴；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．10.已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是（

）A．，

B．， C．， D．，参考答案：C方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为

两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点,

则点坐标为由图象知，即.

方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，则方程有且仅有两个根，则函数有且仅有两个零点，，又，则，当时满足函数有且仅有两个零点，此时，，，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点P是函数y=﹣图象上任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为．参考答案：﹣2考点： 两点间的距离公式．专题： 直线与圆．分析： 将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．解答： 解：由函数y=﹣，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=．故答案为：．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．12.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为

.参考答案：13.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是

.参考答案：914.设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

▲

。参考答案：略15.已知向量，则实数的值为

。参考答案：16.正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过作球的截面，则截面面积的最小值为

.参考答案：略17.若集合，则等于.参考答案：，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）当有两个极值点时，求a的取值范围，并证明的极大值大于2．参考答案：（1）由题知．方法1：由于，，，又，所以，从而，于是为(0,＋∞)上的减函数．方法2：令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．则．由于，所以，于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分（2）令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．当x趋近于时，趋近于，由于有两个极值点，所以有两不等实根，即有两不等实数根（）．则有解得．可知，又，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．则函数在时取极小值，在时取极大值．即，而，即，所以极大值．当时，恒成立，故为上的减函数，所以． 12分19.（本题满分13分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB，BC//AD。（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，且CD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B—PE—A的正切值。参考答案：20.已知命题；.若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．参考答案：21.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，，.（1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）.参考答案：解：（1）在中，显然，，，………………2分矩形的面积，…4分于是为所求.…6分（2）矩形健身场地造价

………7分又的面积为，即草坪造价，……………8分由总造价，，.…10分，……………………11分当且仅当即