山西省太原市小店区西温庄乡第二中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

山西省太原市小店区西温庄乡第二中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于(

)A．4 B． C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．2.直线与曲线交于两点，若的面积为1，求直线的方程.参考答案：解：由到直线的距离：，所以所求直线方程为：略3.．已知{an}是单调递增的等比数列，满足，则数列{an}的前n项和（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为（A）n∈N，2n≤1000

（B）n∈N，2n＞1000

（C）n∈N，2n≤1000

（D）n∈N，2n＜1000参考答案：A5.．如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C以O为原点建系，抛物线方程为，，故选C．6.设ABC的内角A,B，C所对边的长分别为a,b,c，若b+c=2a,.3sinA=sinB，则角C=

(

)

A．

B．

C．

D.参考答案：B略7.若关于x的方程9x+（a+4）?3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞） B．（﹣∞，﹣4） C．[﹣8，﹣4） D．（﹣∞，﹣8]参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令3x=t＞0，由条件可得a=，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．【解答】解：令3x=t＞0，则关于x的方程9x+（4+a）?3x+4=0即t2+（4+a）t+4=0有正实数解．故a=，由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t=时，等号成立，∴﹣（t+）≤﹣4，即﹣4﹣（t+）≤﹣8，∴a≤﹣8，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣8]．故选：D．8.“”是“直线与直线互相垂直”的（

）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A略9.在R上定义运算.若不等式对任意实数成立，则（

） (A) (B) (C)

(D)参考答案：D略10.命题:“x∈R,”的否定是

(

)A.x∈R,

B.x∈R,C.x∈R,

D.x∈R,参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.参考答案：【分析】由双曲线渐近线方程得，从而可求，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率，即可求解．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．12.的展开式中项的系数为_____．参考答案：9【分析】将二项式表示为，然后利用二项式定理写出其通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数。【详解】，所以，的展开式通项为，令，得，所以，展开式中项的系数为，故答案为：。【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，考查二项式展开式通项的应用，这类问题的求解一般要将展开式的通项表示出来，通过建立指数有关的方程来求解，考查运算能力，属于中等题。13.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则

.参考答案：

14.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为

．参考答案：略15.复数的共轭复数是

。参考答案：略16.数列{an}中，a1=1，an=a1+a2+a3…+an﹣1，（n≥2，n∈N*），若ak=100，则k=．参考答案：200【考点】数列递推式．【专题】计算题；数形结合；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式可得an+1=a1+a2+a3…+an﹣1+，作差后即可得到（n≥2），再由已知求出a2，则数列在n≥2时的通项公式可求，由ak=100求得k值．【解答】解：由an=a1+a2+a3…+an﹣1，（n≥2，n∈N*），得an+1=a1+a2+a3…+an﹣1+，两式作差得：（n≥2），∴，∴（n≥2），由a1=1，an=a1+a2+a3…+an﹣1，得a2=a1=1，∴当n≥2时，，，由ak=100=，得k=200．故答案为：200．【点评】本题考查数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，是中档题．17.已知f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…fn（x）=fn﹣1′（x），…（n∈N*，n≥2）．则的值为．参考答案：0【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用导数的运算法则可得fn+4（x）=fn（x）．n∈N，利用函数的周期性可知f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=（cosx﹣sinx）+（﹣sinx﹣cosx）+（﹣cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，即可求得=0．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出fn（x）=fn+4（x）即fn（x）是周期为4的周期函数，f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=（cosx﹣sinx）+（﹣sinx﹣cosx）+（﹣cosx+sinx）+（sinx+cosx）=0，∵2016=504×4=0，故答案为：0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．参考答案：19.如图所示，现有A，B，C，D四个海岛，已知B在A的正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东偏北45°方向，且B，C相距21海里，求C，D两岛间的距离．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】根据题意，设A、C两岛相距x海里，△ABC中由余弦定理列出关于x的二次方程，解之得到x=24，然后求出∠ADC=135°，在△ADC中由正弦定理列式得，即可解出CD=12，可得C、D两岛间的距离．【解答】解：设A、C两岛相距x海里，∵C在A的东偏北30°方向，∴∠BAC=60°，在△ABC中，由余弦定理得212=152+x2﹣2×15x×cos60°，化简得x2﹣15x﹣216=0，解得x=24或﹣9（舍去负值）…∵C在D的东偏北30°方向，∴∠ADC=135°，在△ADC中，由正弦定理得，∴CD===12即得C、D两岛间的距离为12海里．…20.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求所选3人中女生人数的概率；（2）求的分布列及数学期望．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）先求得ξ=2的概率，再利用对立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，ξ可能的取值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．【详解】（1）由题意知P(ξ＝2)＝，则“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为.（2）由题意知ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，ξ可能取的值为0，1，2．．∴ξ的分布列为ζ012P

∴ξ的数学期望为【点睛】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分布，考查对立事件的概率，