山东省济南市省实验中学高二数学理下学期期末试题含解析

山东省济南市省实验中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知双曲线的渐近线为，且双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线方程为（） A． B． C． D．参考答案：D略3.由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(

)参考答案：A4.执行右边的程序框图所得的结果是A．

B．

C．

D． 参考答案：A略5.命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”是真命题，故a﹣2=0，或，解得答案．【解答】解：若命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”是真命题，故a﹣2=0，或，解得：a∈（﹣2，2]，故选：B6.若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为(

)A.[－，]

B.(－，)

C.

D.参考答案：C7.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，若直线AF与圆O：相切，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．或参考答案：D【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】求得直线AF的方程，利用点到直线的距离公式，利用椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：直线AF的方程为，即bx+cy﹣bc=0，圆心O到直线AF的距离，两边平方整理得，16（a2﹣c2）c2=3a4，于是16（1﹣e2）e2=3，解得或．则e=或e=，故选：D．8.如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略9.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 参考答案：B【考点】反证法的应用． 【专题】证明题；推理和证明． 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°， ∴第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于60°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 10.若函数的零点为2，那么函数的零点是(

)

A．0，2

B．0，

C．0，

D．，参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取出两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为_________。

参考答案：12.若抛物线上的点到焦点的距离为6，则p=

▲

．参考答案：8【分析】先利用抛物线的方程求得准线方程，根据点到抛物线焦点的距离为8，利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为8，利用2+=6求得p．【详解】根据抛物线方程可知准线方程为x=﹣，∵抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，∴根据抛物线的定义可知其到准线的距离为6，∴2+=6，∴p=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线上点到焦点的距离，常用抛物线的定义来解决．

13.以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）参考答案：③④【考点】轨迹方程；椭圆的定义；双曲线的定义；双曲线的简单性质．【分析】①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆；③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④正确．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是（，0）．【解答】解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当点P在顶点AB的延长线上时，K=|AB|，显然这种曲线是射线，而非双曲线；②不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦设圆心为C，那么有CP⊥AB即∠CPB恒为直角．由于CA是圆的半径，是定长，而∠CPB恒为直角．也就是说，P在以CP为直径的圆上运动，∠CPB为直径所对的圆周角．所以P点的轨迹是一个圆，如图．③正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．④正确．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1焦点坐标都是（，0）．故答案为：③④．14.若函数为偶函数，则实数a=

参考答案：0

略15.已知为偶函数，且，则______

参考答案：16略16.（理）已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为

.参考答案：17.已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5,0)、(5,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为，求顶点C的轨迹方程。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）已知数列，，其前项和满足,其中．（1）求证:数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求证：；（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．参考答案：证明：当时，，

………1分

当时，

数列为等差数列，首项公差

………4分

………5分（2）

………10分（3）

………13分当为奇数时，，∴当为偶数时，，∴∴

………15分又为非零整数，∴．

………16分19.（本小题满分16分）已知椭圆：（）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）点的纵坐标为3，过作动直线与椭圆交于两个不同点，在线段上取点（异于点M,N），满足，试证明点恒在一定直线上．参考答案：（1）由题意可得，解得，，,所以椭圆：．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设，因为PF2⊥F2Q，所以，所以，又因为且代入化简得．即直线与直线的斜率之积是定值．

（3）设过的直线与椭圆交于两个不同点，点，则，．设，则，∴，，整理得，，，∴从而，由于，，∴，所以点恒在直线,即上．20.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）将直线l：（t为参数）化为极坐标方程；（2）设P是（1）中直线l上的动点，定点A（，），B是曲线ρ=﹣2sinθ上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l：（t为参数）消去参数t，可得x+y=，利用即可化为极坐标方程；（2）定点A（，），化为A（1，1）．曲线ρ=﹣2sinθ化为ρ2=﹣2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+（y+1）2=1．可得圆心C（0，﹣1）．连接AC交直线l于点P，交⊙C于点B，可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r．【解答】解：（1）由直线l：（t为参数）消去参数t，可得x+y=，化为极坐标方程ρcosθ+ρsinθ=；（2）定点A（，），化为A（1，1）．曲线ρ=﹣2sinθ化为ρ2=﹣2ρsinθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=﹣2y，配方为x2+（y+1）2=1．可得圆心C（0，﹣1）．连接AC交直线l于点P，交⊙C于点B，|AC|==，∴|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r=﹣1．21.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BDEC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥CC1．

…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．

…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BDEC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE?平面A1EB，DC1，OD?平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…22.（12分）已知三顶点A（0，0），B（1，1），C（4，2）.（1）求该三角形外接圆的方程.

（2）若过点的直线被外