基于核心素养下中考数学获奖科研报告

基于核心素养下中考数学获奖科研报告摘要：二次函數是初中数学的重要知识，它是衔接高中知识的重要纽带，而它又与初中数学的代数、几何、三角函数等知识有密切的联系。二次函数是各个地方数学中考的热点，也是重点。是以本文探究二次函数常见题型的剖析，从而提高学生分析和解决二次函数问题的能力。

关键词：二次函数；题型；剖析

一、线段数量及最值问题

例如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c过点D（-2，0），B（0，-2），C（3，4），与x轴交于A、D两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PD最小，求此时点P的坐标；

（3）如图②，若点G是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的一点G，使得|GA-GC|的值最大？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：

（1）略

（2）求一动点到直线同侧两定点的距离和的最小值，方法就是作对称、连线段.

（3）要求|GA-GC|的最大值时点G的坐标，当C，A，G三点在同一条直线上时，可通过求直线CA的解析式，求出点G.

二、三角形面积最值问题

例如图①，在直角坐标系中，直线y=x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图②，在直线AC上方的抛物线上，存在一点P（不与D重合），使△ACP的面积等于△ACD的面积.请求出点P的坐标.

（3）如图②，在直线AC上方的抛物线上，是否存在一点M，使△MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：

（1）略

（2）要求点P的坐标，先确定点P的位置，由于△ACD与△ACP的共边AC，则只要等高，面积即相等，可过点D作AC的平行线与抛物线相交，交点即为所求点.

（3）要使△MAC面积最大，可先把△MAC的面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值.

三、等腰三角形的存在性问题

例如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0），B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）连接BC，线段BC上是否存在点M，使△COM是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：

（1）略

（2）未明确说明等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①OM=OC；②MC=OC；③CM=OM，三种情况讨论。

四、直角三角形的存在性问题

例已知：抛物线经过点A（-2，0），B（4，0）和点C（3，4）.

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△QAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：

（1）略

（2）要使△QAC为直角三角形时的点Q的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出AC，QA，QC长的平方，故要分类讨论：①当A为直角顶点的直角边；②当C为直角顶点的直角边；③当AC为斜边，三种情况讨论。

五、相似三角形的存在性问题

例如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2-2x+b与直线AC交于点B（3，2），

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，且点P不与点Q重合，是否存在点P，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：

（1）略

（2）由已知条件可知△AOC是直角三角形，所以△BPQ一定也是直角三角形，故点P一定在点Q的上方.在△AOC和△BPQ中，∠ACO=∠BQP，所以只需要在△BPQ中确定一个直角即可.分两种情况考虑：①当∠BPQ=90°时；②当∠QBP=90°时，再分别求出点P的坐标.

六、特殊四边形的存在性问题

例如图，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）三点，顶点为M，连接AC，抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为D，与AC交点为E，

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点N是抛物线上一点，点S是x轴上一点，是否存在点N，使得以A，E，N，S为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点G是抛物线对称轴上一点，点K是平面内一点，是否存在点G，使得以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：

（1）略

（2）分NS为平行四边形的边和NS为平行四边形的对角线两种情况讨论.结合图形，由平行四边形性质得到△SNT≌△AED，从而得到NT=ED=2，即可得到点N的坐标.

（3）先分析得出只需△ACG是直角三角形即可，然后利用勾股定理列方程求解.，

（4）由四边形AQCR是菱形可确定AC是对角线，结合OC=OA.过点O作OI⊥AC，且OI平分AC，从而可得点Q在OI上.只需求出OI所在直线的解析式，与抛物线联立方程组