数学建模-深洞地估算

深洞的估算姓名：班级：学号：联系方式:摘要在探险，采矿等活动中，经常会碰到比较深的洞，为了探索的安全和事前的准备，这时候，就需要估算深洞的深度。常常我们不会带复杂的精密仪器出入山林，所以，碰到这种情况，需要我们用简单的仪器粗略的计算出深洞的深度。本模型利用秒表和石头等常见的物品做试验，再作出各种合理的假设，运用物理知识和微积分估算出各假设下的洞深。讨论了不考虑空气阻力及考虑空气阻力等三种情况，还进一步考虑了回声的作用。建立微分方程模型并逐一计算得出各种情况下的洞深。关键词：洞深空气阻力回声微积分提出问题假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。1、不计空气阻力；2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。二、问题分析这个问题就是物理中的自由落体，通过自由落体算出洞的深度，则需要知道石头从洞口落到洞底所用的时间。石头是否落到了洞底则需要从石头撞击洞底传来的回声来判断。石头下落过程中会受到空气的阻力，但是空气阻力的大小及计算方法我们并不清楚，这就需要假设。通过物理，我们知道声音的传播也是有速度的，所以回声从洞底传递到测量者耳朵视需要时间的。如果洞不深的话，回声传播的时间会很小，可以忽略。但如果很深的话，忽略的话会对计算结果产生很大的误差。因此这两种大的情况必须考虑在内。三、模型假设基于上述分析，作以下假设：1、石头落下是作自由落体运动，测量者并未给其一个初始速度，且石头下落过程中未碰到任何障碍物。石头落下的地方能够代表洞底那一平面，并且能够发出声响。2、测量者在听到第一声回声响起时就马上按下计算器，不存在反应时间，且声波在洞中传递的速度不变。3、石头下落过程所受空气阻力只与下落速度有关系，假设三种情况:1）不计空气阻力。2）阻力与成正比，比例系数=0.05。3)阻力与成正比，比例系数=0.0025。4、在3中的3种情况下，考虑回声传回所需的时间。符号说明：洞深：石头的质量，为：从开始落下到测出回声的时间：重力加速度，取：石头下落的速度：比例系数：比例系数：声波传递的速度，取：石头落到洞底的时间；回声从产生到测量者听到的时间

五、模型的建立与求解由假设3-1，不计空气阻力，不考虑回声传播时间。可明显得出根据自由落体定律可得计算可得洞深。由假设3-2，阻力与成正比，比例系数=0.05，不考虑回声传播时间。由牛顿运动定律，可列方程，令=则方程化简得所以初始条件可知求得由所以计算可得洞深由假设3-3，阻力与成正比，比例系数=0.0025，不考虑回声传播时间。由牛顿运动定律，可列方程，令则方程化简得所以初始条件可知求得其中，得初始条件可知计算可得洞深114m由假设4，考虑回声传播时间，对3-1，3-2，3-3再一次求解1）4-3-1，不计空气阻力。分析方法同前面，于是有求得=4.678s109.4m2）4-3-2，阻力与成正比，比例系数=0.05。利用MATLAB计算>>x=solve('x+3000+20*x/34=4000*2.7^(-0.25+0.05*x/340)','x')x=106.71125398368799763210014510673即洞深106.7m3）4-3-3，阻力与成正比，比例系数=0.0025。利用MATLAB计算>>x=solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7^(0.316*5-0.316*x/340)+1)-log(2*2.7^(0.316*5-0.316*x/340)))','x')x=101.86825754949506384343423952243即洞深101.9m结果分析和检验（一）、不考虑回音模型一：不计空气阻力计算得洞深。误差分析：不计空气阻力算的结果125m与考虑空气结果115m相差10m，而实际上空气阻力是存在的，所以结果不精确。模型二：阻力与成正比，比例系数=0.05计算得洞深误差分析：假设阻力与成正比所得结果115m，与假设阻力与成正比所得结果114m相差1m，比例数值是没有根据的取值的，不是很精确。模型三：阻力与成正比，比例系数=0.0025计算得洞深114m误差分析：见2以上三种模型都没有考虑回音的问题，不考虑声音从洞底到人耳的时间，所以结果都不是很精确。取音速为，声音从洞底到人耳的时间为：带入模型一计算，得h=100.7m,与h=115m相差14.2%，可看出不考虑回音对结果影响较大，以上结果都不合理。（二）、考虑回音考虑回音的情况下，如不考虑空气阻力，问题如模型一，所以不能忽略一定存在的空气阻力。考虑空气阻力时，空气阻力与石头速度的关系系数的确定影响结果的精确度，应该综合考虑各种外在因素。讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想本模型考虑了不计空气阻力，计算空气阻力以及考虑回音等6种假设，逐步增加约束条件，利用物理和微积分方程知识求解，求解过程科学合理。在假设3-1中不考虑空气阻力是不合理的，3-2、3-3中比例系数的确定不合理。考虑音速时，没有考虑音速在深洞中的具体数值。还有物体的形状没有描述，没有考虑物体的形状对空气阻力的影响。改进：1、把石头换成圆形的铁球或者其他球形物体。2、具体测量深洞中的音速。3、做实验求出当地空气阻力与该球形物体下落速度的关系式。参考文献【1】姜