第八章 §8.6.1 直线与直线垂直-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共25张PPT）

8.6.1直线与直线垂直第八章

§8.6空间直线、平面的垂直学习目标1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角.(重点)3.会求任意两条直线所成的角.(难点)导语我们知道，空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线.在初中，我们已经研究了平行直线和相交直线.本节课我们一起来探究异面直线吧！一、异面直线所成的角二、直线与直线垂直随堂演练内容索引异面直线所成的角

一问题1平面内两条直线所成的角的范围是多少？问题2如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？提示不同.我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.知识梳理异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b结论我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°注意点：(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.(3)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.例1

如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)FO与BD所成的角.如图，连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.反思感悟求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.跟踪训练1

在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.直线与直线垂直

二知识梳理如果两条异面直线所成的角是

，那么我们就说这两条异面直线____

.直线a与直线b垂直，记作

.直角互相垂直a⊥b注意点：两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.例2(课本147页例2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.如图，连接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.∴B1D1∥BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1.∴AO1⊥BD.反思感悟要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直.跟踪训练2

如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为CC′的中点，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角为∠BEF，在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，