2015版数字信号处理电子教案ch84小波与滤波器组

数字信号与图像处理研究室

北京交通大学电子信息工程学院数字信号处理(Digital

Signal

Processing)信号时频分析问题的提出短时傅里叶变换小波展开与小波变换小波变换与多分辨分析小波变换与滤波器组基于小波的信号处理及应用小波变换与滤波器组离散小波变换的分解算法

离散小波反变换的重构算法小波变换的时频分析信号的DWT并不是直接由j(t)与y(t)经信号内积来实现，而是利用h0[n]和h1[n]来实现。其将信号的小波展开系数cj[k]和dj[k]看作是离散信号，h0[n]和h1[n]看作是数字滤波器，从而建立小波变换与滤波器组(filterbank)之间的关系，由滤波器组的理论来实现信号小波分析。离散小波变换的分解算法

离散小波反变换的重构算法小波变换的时频分析小波变换与滤波器组n2

j

(2t

-

n)j(t)的MRA方程：j

(t)=

h0

[n]2

j

(2t

-

n)y(t)的MRA方程：y

(t)=

h1

[n]n2

j

(2

j

+1

t

-

2k

-

n)2

j

(2

j

+1

t

-

2k

-

n

)j

(2

j

t

-

k

)

=

h0

[n]ny

(2

j

t

-

k

)

=

h1

[n

]nt

fi

(2

j

t

-

k

)离散小波变换的分解算法小波变换与滤波器组2

j

(2

j

+1

t

-

i)2

j

(2

j

+1

t

-

i)离散小波变换的分解算法i

=

2k

+

nj

(2

j

t

-

k

)

=

h0

[i

-

2k

]iy

(2

j

t

-

k

)

=

h1

[i

-

2k

]ikj

+1[k

] 2

(

j

+1)

/

2j

(2

j

+1

t

-

k

)x(t)

˛

V

j+1x(t

)

=

ckj

/

2kVj+1

=Vj

¯

Wjx(t)

=

j

jd

[k] 2

j

/

2y

(2

j

t

-k)c

[k]

2

j(2

j

t

-k)

+小波变换与滤波器组c

j

[k

]

=d

j

[k

]

=x(t),j

j

,k

(t)

=

x(t)

2

j

(2

t

-

k

)dtj

/

2

jx(t),y

j

,k

(t)

=

x(t)

2

y

(2

t

-

k

)dtj

/

2

jijc

[k

]

=

h[i

-

2k

]x(t) 2(

j

+1)

/

2

j

(2

j

+1

t

-

i)dtic

j

[k]

=

h0

[i

-

2k]

c

j

+1[i]d

j

[k

]

=

h1[i

-

2k

]

c

j+1[i]ic

j

+1[i]

=

x(t)

2

j(2

t

-

i)dt(

j

+1)

/

2

j

+1小波变换与滤波器组离散小波变换的分解算法h0[-k]h1[-k]22c

j+1[k

]y0[k]y1[k]cj[k]=y0[2k]dj[k]=y1[2k]iy

0

[k

]

=

h0

[i

-

k

]

c

j

+1

[i]y1

[k

]

=

h1

[i

-

k

]

c

j

+1

[i]iVj+1

=Vj

¯

Wj离散小波变换的分解算法小波变换与滤波器组h0[-k]h1[-k]cj+1

[k]h0[-k

]h1[-k]cj-1[k]d

j-1[k]d

j

[k]fl

2fl

2c

j

[k]fl

2fl

2离散小波变换的分解算法Vj+1

=

Vj

¯

Wj

=

Vj-1

¯

Wj-1

¯

Wj小波变换的分解(Analysis)算法（Mallat算法）小波变换与滤波器组j+1x(t)

˛

Vj

+1[k

]

2(

j

+1)

/

2j

(2

j

+1

t

-

k

)kx(t)

=

cj/2

jjj/2j

j(2

t

-k)+x(t)

=

d[k]

2

y(2

t

-k)c

[k]2

jjV

j+1

=Vj

¯

Wk

kx(t)

={c

j

[k]

h0[l

-2k]+d

j

[k]

h1[l

-2k]}

2(

j+1)

/

2j(2

j+1t

-l)l

k

kc

j

+1[k]

=

c

j

[i]

h0

[k

-

2i]

+

d

j

[i]

h1[k

-

2i]i

i小波变换与滤波器组离散小波反变换的重构算法h0

[

k

]h1[k]22c

j+1[k

]c

j

[k

]d

j

[k

]+IDWT一级重构算法框图小波变换与滤波器组离散小波反变换的重构算法cj+1

[k]c

j

[k]d

j

[k]h0[

k

]h1[

k]cj-1[k]d

j-1[k]+›

2›

2h0

[k

]h1[

k]+›

2›

2IDWT二级重构算法框图小波变换与滤波器组离散小波反变换的重构算法小波变换的时频分析信号x(t)小波变换可以由信号的抽样序列cj+1[k]经过滤波器组h0[-n]和h1[-n]而实现，因此可从频域信号滤波的概念来理解信号的小波变换，且可从滤波器组的理论来阐述信号小波变换的时频特性。设数字滤波器h0[-n]和h1[-n]对应的系统函数分别为H0(z)和H1(z)，频率特性分别为H0(ejW

)和H1(ejW

)。小波变换与滤波器组H1

(z)fl2fl2H1

(z)fl

2fl

2H0

(z)H1

(z)fl

2fl

2cJ+1

[k]cJ-2[k]dJ-2[k]dJ-1[k]dJ

[k]H0

(z)H0(z)信号DWT的三级分解算法树型结构小波变换与滤波器组小波变换的时频分析信号DWT的三级分解算法等效的简化结构H

(0)(z)fl

8H

(1)(z)H

(2)(z)H

(3)(z)fl

8fl

4fl

2cJ+1

[k]cJ-2[k]d

[k]J-2d

[k]J-1d

[k]JJJ-1W(VJ

+1

)(

VJ-2

)(J-2

)(W

)(

W

)H

(1)

(

z)

=

H0

(

z)H0

(

z2

)H1

(

z4

)H

(2)

(z)

=

H

0

(z)H1

(z

2

)H

(

3)

(

z)

=

H1

(

z)小波变换的时频分析H

(0)

(z)

=

H

0

(z)H

0

(z

2

)H

0

(z

4

)小波变换与滤波器组数字滤波器h0[-n]和h1[-n]的频率特性分解算法中滤波器组的频域分析小波变换与滤波器组小波变换的时频分析信号DWT的分布小波变换与滤波器组ft信号时域表达的时频