(完整版)四边形题型归纳

#/19(2)设AE=EF=x,在RtABEF中，BE=4-x,BF=DB-AF3:-4:=5-'.BF=5-3=£3・・用+22=(4-X)2・七在肌△在肌△ADE中，二|3(3)连接DE,BF,VEF丄DB,且平分DBAOB=ODVDC#ABAZFDO=ZEBO,ZDFO=ZBEO.•.△DOF9ABOE・・・OF=OE・・・四边形DEBF是平行四边形VBD丄EF・：平行四边形DEBF是菱形••・DE=EB,AE=4-DE在RtAADE中,DE^=AD^+(4-DE)^ADE=2582513x==x5xEF8215.•・EF=-44.设FE二AE二st,DE=3-3!,EP=EA=4J^RtAECF中，匚F二抨二^二J7在RtADEF中，DE2+DF2-EF2(3-k)卞4-【例9】(1)=6(2)当AP+BQ=25时，PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分,1即t+(26-3t)=25,解得:t=2(3)如图，过点D作DE丄BC,则CE=BC-AD=2亡陀.当CQ—PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形.即3艺一(24—上)=4.:=7._4(4)片=2“_§,^=3【变式2】(1)t=2

(2)①P未到达C点时②P到达C点并返回时(2)①P未到达C点时②P到达C点并返回时8-t=10-2t8-t=2t-10t=2t=6⑶①如图，若PQ=PD过P作PE丄AD于E,则QD=8-t,AE=AQ^QE=L+——.0.AE=BP2

g"t=-……言屮3②如图，若•过R作QF丄E笛于砂则二迫」二却在取△°F严中，由勾股定®得］"Q护+护二Q宀珈卩JRjg4■•亠1或w曲是勰三霰101【例10】(1)证明：连接BDTE、H分别是AB、AD的中点,.•.EH是厶ABD的中位线.•・EH=龙BD,EH〃戈BD

同理得FG=2BD,FG//2BD.•・EH=FG,EH〃FG・•・四边形EFGH是平行四边形（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的.【例11】解：（1）菱形的一条对角线所在的直线。（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线）。（2）三角形一边中线所在的直线。（3）方法一：取上、下底的中点，过两点作直线得梯形的二分线（如图1）方法二：过A、D作AE丄BC,DF丄BC，垂足E、F,连接AF、DE相交于0,过点0任意作直线即为梯形的二分线（如图2）【变式3】（1）如图2,过点尸作阳丄血卫丄町円丄昭刃丄皿•：EP平分Z.DEC,PJ=PH同理PG=P1.•.尸是四边形ABCD的准内点..•.尸是四边形ABCD的准内点.(2)8E3C1)Gg]3(2)團4平行四边形对角线AC^BD的交点珥就是准内点，如图(2)8E3C1)Gg]3(2)團4或者取平行四边形两对边中点连线的交点蚪就是准内点，如图3(2)；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点卫就是准内点•如图4.(3)真；真；假.(各1分，若出现打“V”“X”或写“对”“错”同样给分.)【变式4】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，.•.△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周长最小.证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2,L3,△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则:2S2SJSLq=—+2a)Lg二丁十2ti?L3=—+2c).■.L-i-L2=(—-(艺十2七)二一空(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■■'■Li-L2>0-即Li$Lr(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■同理可得，L2>L3-abSdi)£AD•••"最小，即^ABHK的周辰最小.abSdi)£AD课后练习：1、4n2、解：(1)四边形EFGH是正方形，证明：•・•四边形ABCD是正方形，AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA,HA=EB=FC=GD,.•・AE=BF=CG=DH,.•.△aeh^△BFE^^CGF^^DHG,.•・HE=EF=FG=GH,・•・四边形EFGH是菱形，由厶DHG^^AEH知ZDHG=ZAEH,*/ZAEH+ZAHE=90°,.•・ZDHG+ZAHE=90°,.•・ZGHE=90°,・•・四边形EFGH是正方形；(2)1。3、解：(1)正确.证明：在AB上取一点M,使AM=EC，连接ME..•・BM=BE,.•・ZBME=45°,.•・ZAME=135°,CF是外角平分线，.•・ZDCF=45°,.•・ZECF=135°,.\ZAME=ZECF,VZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,.\ZBAE=ZCEF,.△AME^AECF(ASA),••・AE=EF.(2)正确.证明：在BA的延长线上取一点N.使AN=CE，连接NE..•・BN=BE,AD■nQ£AD■nQ£EC:GTCF平分ZD