2023年九年级数学中考：旋转综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题

1.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在中，ZA=90。，

AB=AC,点。、E分别在边48、AC上，AD=AE,连接DC,点M、P、N

分别为£>E、DC.8c的中点，且连接PM、PN.

(1)观察猜想

线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”.

(2)VADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置,连接BD,CE,试判断PM与PN

是否为“等垂线段”，并说明理由.

(3)拓展延伸

把VA£>E绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出PM与PN的积

的最大值.

2.如图乙，43c和VAOE是有公共顶点的等腰直角三角形,ZfiAC=ZZME=90°,

点P为射线80,CE的交点.

E

BCBC

图甲图乙

AA

BCBC

备用图备用图

(1)如图甲，将VADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接30、BE,求

证：BD=CE；

(2)若AB=6,45=3,把V4DE绕点A旋转：

①当NC4£=90°时，求尸8的长；

②若M为线段8C中点，直接写出旋转过程中线段ZW长的最大值.

3.综合与实践

九年级(1)班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转''为主题，开展数学活动.

操作探究：

(1)如图1,ABC为等边三角形，将43c绕点A旋转180。，得到VADE,连接8E,

则NCBE=若尸是BE的中点，连接4尸，则4尸与£>E的数量关系是.

迁移探究：

(2)如图2,(1)中的其他条件不变，当.A8C绕点A逆时针旋转30。，得到VAOE,

求出此时Z.EBC的度数及AF与DE的数量关系.

拓展应用：

(3)如图3,在RtZXABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,将一ABC绕点A旋转，得

到VADE,连接8E,尸是8E的中点，连接介■.当NE8C=15。时，求AF的长.

图1

4.在等腰△ADC和等腰BEC中，ZADC=NBEC=90°,BC<CD.将8EC绕点C

逆时针旋转，连接AB.点。为线段AB的中点，连接。O,EO

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(1)如图1,当点8旋转到CO边上时，线段。。与E。的数量和位置关系是.

(2)如图2,当点B旋转到AC边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，

若不成立，请说明理由

(3)若BC=2,CD=n，在BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当乙4。5=60。时，求

线段。。的长

5.如图，A3C和△OCE都是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°.

(1)猜想：如图1,点E在8C上，点。在AC上，线段BE与AD的数量关系是,

位置关系是;

(2)探究：把△£>(7£绕点C旋转到如图2的位置，连接A£>,BE,(1)中的结论还成立

吗?说明理由；

(3)拓展：把△£>(“绕点C在平面内自由旋转，若AC=3,CE=2,当A,E,。三点

在同一直线上时，则AE的长是.

6.如图1,在RrABC中，ZACB=90°,NABC=60。，8c=2,点A、B1分别为边AC,

BC的中点，连接4鸟，将一A^C绕点C逆时针旋转a(0。4。4360°).

(1)如图1,当。=0。时，易知4A和的位置关系为线段AA和的

数量关系为;

(2)将A/。绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，(1)中AA和的关系是否仍

然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶当ABC绕点C逆时针旋转过程中.

①面积的最大值为；

②当4、BrA三点共线时，线段AA的长为.

7.在锐角,ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45。，将ABC绕点B按逆时针方向旋

转，得到

(1)如图1,当点G在线段C4的延长线上时，NCCH的度数为。；

(2)如图2,连接A4,CC,.若的面积为4,求△CBG的面积；

(3)如图3,点E为线段A8中点，点P是线段AC上的动点，在一ABC绕点B按逆时针方

向旋转过程中，点尸的对应点是直接写出线段长度的最大值与最小值.

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8.在等腰RtABC中，AB=AC,ZBAC=90°.

图1图2备用图

(1)如图1,D,E是等腰RtABC斜边BC上两动点，且2D4E=45。，将.ABE绕点A

逆时针旋转90。后，得到AFC,连接。尸.

①求证：BE=CF；

②试判断BE、DE、8三条线段之间的关系，并说明理由.

(2汝口图2,点。是等腰Rt48c斜边8c所在直线上的一动点，连接AD,以点A为直

角顶点顺时针作等腰当比)=3,5c=9时，直接写出OE的长.

9.(1)如图1,在正方形AC0E中，点F,G分别在边AE,AC上，若NFDG=45。,

则尸G,EF,CG之间的数量关系为：—；(提示：以点O为旋转中心，将ADCG顺

时针旋转90。)

解决问题：

(2)如图2,若把(1)中的正方形改为等腰直角三角形，ZADC=90°,E,F是底

边AC上任意两点，且满足ZEDF=45。，试探究AE,EF,尸C之间的关系；

拓展应用：

(3)如图3,若把(1)中的正方形改为菱形ACDE,ZE=60°,菱形的边长为8,G,

F分别为边AC,AE上任意两点，且满足/FDG=60。，请直接写出四边形OE4G的面

积.

10.如图1,正方形ABC。对角线AC、3D交于点。，E、F分别为正方形ABCD边AB、

A£＞上的点，EFJ.AC交于点、M,且ME=MF,N为BF中点、.

(1)请直接写出ON与OM的数量关系

(2)若将AAEF绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；

若不成立，请说明理由；

(3)若48=8,E为A3中点，绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大

距离.

11.在中，AB=AC,NABC=30。，点。是边AB上的一动点，点F是边8上

的动点，连接A尸并延长至点£,交BC于G,连接BE,ZAFC=60°,且

ZE+ZBDF=180°,

(1)如图1,若BC=4下,BE=2,求AE的长;

(2)如图2,若。是48的中点，连接£)£、BF,求证：DF+EF=y/3BF;

(3)如图3,在(2)问的条件下,将△8DE绕点B顺时针旋转,旋转中的三角形记为△。出片,

取的中点为M,连接CM.当CM取最大时，将△ADR沿直线CM翻折，得到

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△2，’直接写出雾的值.

12.把两个等腰直角三角形；MC和VADE按图1所示的位置摆放，将VADE绕点A按

逆时针方向旋转，如图2,连接B。，EC,设旋转角为。(0°＜口＜360。).

(1)如图1,80与EC的数量关系是,8£＞与BC的位置关系是

(2)如图2,(1)中80与EC的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若

不成立，请说明理由；

(3)如图3,当点。在线段8E上时，求证：BELCE；

(4)当旋转角。=(填度数)时，△m£)的面积最大.

13.【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题.如图①，点户是等边

A5C内的一点，连接P4、PB、PC.当口=3,PB=4,PC=5时，求/AP8的度

数.

【解决问题】小明在解决此题时，将点尸绕点B逆时针方向旋转60。得到点。，连接D4、

DP、DB,并结合已知条件证得△A3£＞g△C8P.

请利用小明的作法及结论求NAP8的度数.

【方法应用】如图②，点尸是正方形A8C3内一点，连接R4、PB、PC.若PA=6a，

PB=2a,PC=®a,则ZAPB=°.

D

图②

14.如图①，将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，点A（-2,0）,点

8(6,0),点C在第一象限，ZACB=90°,ZC4B=30°.

⑴求点C的坐标；

（2）以点B为中心，顺时针旋转三角形ABC,得到三角形BOE,点A,C的对应点分别

为D,E.如图②，当上〃AB时，BO与>轴交于点F,求点F的坐标；

（3）以点B为中心，顺时针旋转三角形ABC,得到三角形即'E,点A,C的对应点分别

为以E'.在（2）的条件下，点F不变，记户为线段切的中点，。为线段的中

点，求尸。的取值范围（直接写出结果即可）.

15.在等腰ABC中，ZABC=90°,AB=BC,将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度

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得到线段A。，交BC于点G,过点C作CFLAD于点反

(1)如图1,当旋转22.5。时，若BG=1,求AC的长；

(2)如图2,当旋转30。时，连接8。，恰好使BD//AC,延长CF交BD于点E,连接EG,

求证：AG=CE+EG；

⑶如图3,点M是AC边上一动点，在线段上存在一点N,使M5+N4+NC的值最

小时，若NA=2,请直接写出C/VM的面积.

16.如图，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点产为。内一点，连接”,

BP,CP,将线段AP绕点A逆时针旋转90。得到AP，连接PP'，CP'.

(1)用等式表示CP'与8P的数量关系，并证明；

⑵当N3PC=135°时，

①直接写出NP'CP的度数为；

②若M为BC的中点，连接请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.

17.在平面直角坐标系中，矩形Q4BC,。为原点，A(3,0),B(3,4),C(0,4),将△O8C

绕点8逆时针旋转，点O,C旋转后的对应点为O',C'.

⑴如图(1),当NC8C'=30。时，求C'的坐标；

(2)如图(2),当点。'恰好落在x轴上时，OC'与A3交于点£>.

①此时08与。。是否相等，说明理由;

②求点。的坐标;

(3)求AOC'面积的最大值.(直接写出答案即可)

18.在RtaABC中，Z4CB=90°,ZABC=30°,AC=2,将.ABC绕点B顺时针旋

转一定的角度a得到点A,C的对应点分别是Q,E,连接AO.

图1图2图3

(1)如图1,当点E恰好在A8上时，求—ADE的大小；

⑵如图2,若a=60。，点F是A3的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论.

(3)如图3,若点尸为中点，①求证：C、E、尸三点共线.②求CF的最大值.

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参考答案:

1.⑴是

⑵是

⑶2

2

18—6#>

2.⑵①5或5；②3+3近.

3.(1)90；AF=-DE

2

(2)15。；AF^—DE

2