几类简单的微分方程

几类简单的微分方程2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系1第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系2—积分问题

—微分方程问题

推广第6节几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用.ch7章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系3第6节几类简单的微分方程6.1几个基本概念6.2可分离变量的微分方程6.3一阶线性微分方程6.4变量代换法6.5可降阶的高阶方程6.6应用举例第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系4解6.1、几个基本概念第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系5解第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系6代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系7微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏微分方程.第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系8一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系9分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程.

第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系10微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系11(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系12过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系13解第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系14所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系156.2可分离变量的微分方程第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系16定义~~~~~~~~~~~~~~~~~~分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系17可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系18例4求解微分方程解分离变量两端积分第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系19例5解第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系20一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;6.3一阶线形微分方程第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系21齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系222.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系23常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系24对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系25解例1第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系26求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出例2第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系276.4变量代换法2伯努利方程1齐次方程3其他的变量替换法举例第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系286.4变量代换法的微分方程称为齐次方程.(2)解法作变量代换代入原式可分离变量的方程(1)定义1齐次方程第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系29例1求解微分方程微分方程的解为解第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系30伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.2伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系31求出通解后，将代入即得代入上式第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系32解例2第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系33解代入原方程原方程的通解为3其他的变量替换法举例第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系34通解为解第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系35EX3.1第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系361解代入原方程原方程的通解第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系37解分离变量法得所求通解为第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系383.解第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系39(h,k为待例5求解可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系40求出其通解后,即得原方程的通解.原方程可化为令(可分离变量方程)第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系41解代入原方程得例方程变为第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系42分离变量,得得原方程的通解第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系436.5可降阶的高阶方程1、型降阶n阶降到n-1阶2、型3、型第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系44型代入原方程,得解法：特点：P(x)的(n-k)阶方程可得通解.第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系45解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例1第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系46型求得其解为原方程通解为特点：解法：第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系47解代入原方程得原方程通解为例2第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系486.6、微分方程应用举例应用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）分析问题，建立起实际问题的数学

模型—常微分方程（组）（2）求解与分析这一数学模型，即求出相应的常微分方程（组）的解，或是精确解或近似解，其中还包括分析解的特性第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系49（3）用所得的数学结果（解的形式和数值定性分析等）回过头去解决实际问题，从而预测某些自然现象甚至社会现象中的特定性质，以便达到能动地改变世界解决实际问题的目的。1.根据规律列方程，2.微分分析法（微元法），3.模拟近似法。基本方法第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日例1解衰变规律第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系51例2解第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系52第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系53流量系数孔口截面面积例3解重力加速度第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系54设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期日可分离变量所求规律为第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系56AB例4第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系57解第五十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系58第五十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系59某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?例4’解设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量第五十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系60的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到第六十页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系61OxyATS例5解第六十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系62OxyATS第六十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期日2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学