偏微分概要物理模型方程分类

偏微分课件概要物理模型方程分类第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系2参考书目《数学物理方程》,王明新,清华大学出版社。《数学物理方程》，姜礼尚，高教出版社。《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系3一.偏微分方程的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系4PDE的阶：PDE的解古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系5线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：常系数线性PDE:不然称为变系数的．齐次线性PDE:不然称为非齐次的．线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分．主部第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系6PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性PDE：完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的。拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系7举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系8举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系95.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）`第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系107.拟线性PDE8.拟线性PDE9.半线性PDE10.半线性PDE11.完全非线性PDE第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系11举例(多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系12二.定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系13经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系14经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系15经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系16经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系17何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小．第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系18三.物理模型与定解问题的导出弦振动方程的导出第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系19弦振动方程与定解问题

一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系20取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻t，弦线在x点的位移为u(x,t)OUXPQ此为上图中PQ的放大图示第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系21假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力T的大小与时间t无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力T的方向正是弦的切线方向。第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系22(*1)(*2)设为弦的线密度(单位长度的质量)，为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的力)，根据牛顿第二定律，第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系23(*1)这表明张力的大小与x也无关，即常数(*2)，微分中值定理第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系24令，可得微分方程方程弦是均匀的，故为常数，记方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系25为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件或者(以及)边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系26四.二阶线性方程的分类两个自变量，齐次主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异（1）第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系27复合求导第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系28系数之间的关系（2）（1）（3）第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系29其他系数之间的关系（3*）第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系30考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（4）第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系31假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。引理由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系32定义称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。称（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。（6）第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系33记定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系34双曲型PDE右端为两相异的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系35抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立的任意函数。第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系36由于由此推出第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系37因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系38椭圆型PDE右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系39由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）椭圆型方程的标准型第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系40例1抛物型方程令第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期六浙江大学数学系41例2双曲型方程第