湖南省郴州市资兴第三中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

湖南省郴州市资兴第三中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论错误的是（

）A．命题“若p，则q”与命题“若”互为逆否命题B．命题“”的否定是“”C．命题“直棱柱每个侧面都是矩形”为真D．“若”的逆命题为真参考答案：答案：D2.已知满足：，，则BC的长（

）A.2

B.1

C.1或2

D.无解参考答案：C略3.已知向量a、b，其中a=（-2，-6），b=

，a?b=-10，则a与b的夹角为A.1500

B.-300

C.-600

D.1200参考答案：D，所以向量与的夹角为．4.若是等差数列的前n项和，且,则(

)A.12

B.18

C.22

D.44参考答案：C略5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（）A．

B． C．

D．参考答案：A6.函数的图象大致是参考答案：B7.已知，则复数z的共轭复数的虚部为A. B. C. D.参考答案：A，，答案选A.8.设双曲线（）的焦距为12，则m=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.9.已知双曲线的左,右焦点分别为F1F2,若双曲线上存在点P,使,则该双曲线的离心率e范围为（

）A.（1,）

B.（1,）

C.（1,]

D.（1,]参考答案：A解:由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.10.函数在上为减函数，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B因为函数在上为减函数，则有且，解得，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是___________.参考答案：

【知识点】简单线性规划E5由题意作出其平面区域，=（x，y），=（，1），故令z=?=+y；可化为y=﹣+z，故过点E（1，1）时，z=?=+y有最小值+1=；故答案为：．【思路点拨】由题意作出其平面区域，由=（x，y），=（，1），从而令z=?=+y，再化为y=﹣+z，z相当于直线y=﹣+z的纵截距，由几何意义可得．12.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的都有成立，数列满足,且,则数列的通项公式为

．参考答案：考点：1.函数的性质；2.数列求通项公式.【方法点晴】本题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式,是函数与数列的综合题.解题的关键是分别赋予得到,然后构造出数列是以为首项,公差为的等差数列后求解.同时要对递推关系式通过两边同除以构造出为等差数列进而求出的通项公式.113.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇是函数

②.y＝f(x)是周期函数,周期为2

③..y＝f(x)的最小值为0,无最大值④.y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为

.参考答案：②③，，则，故①错。，∴，故②正确。，在是单调递增的周期函数，所以的单调递增区间为，∴，故，无最大值，故③正确，易知④错。综上正确序号为②③。14.已知函数，若方程至少有一个实根，则实数的取值范围

．参考答案：15.定积分=

；参考答案：答案：216.已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

．

参考答案：略17.设数集M=｛x|m≤x≤m+｝，N=｛x|n－≤x≤n｝，且M、N都是集合｛x|0≤x≤1｝的子集，如果把b－a叫作集合｛x|a≤x≤b｝的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是__________参考答案：__略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2=2px（p＞0）以双曲线C的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）如图，点为抛物线E的准线上一点，过点PM作y轴的垂线交抛物线于点，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设F2（c，0），由令x=c代入C的方程有：，求出A的纵坐标，代入三角形面积公式求得c，则抛物线方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐标，写出直线PO的方程，与抛物线方程联立可得N的坐标，当t2≠4时，写出MN所在直线方程，化简后说明直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：设F2（c，0）（c＞0），则令x=c代入C的方程有：∴∴a=1，故，即p=2∴抛物线E的方称为：y2=4x（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：P（﹣1，t）（t≠0），则直线PO的方称为y=﹣tx，代入抛物线E的方程有：当t2≠4时，∴直线MN的方程为：，即∴此时直线MN过定点（1，0）当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）即证直线MN过定点【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查了双曲线与抛物线关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得，则称此函数具有“性质”.（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.（2）已知具有“性质”，且当时，，求在上的最大值.（3）设函数具有“性质”.且当时，，若

与交点个数为2013个，求实数的值.参考答案：解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．………………4分（2）具有“性质”，．设，则，……6分当时，在递增，时当时，在上递减，在上递增，且，时当时，在上递减，在上递增，且，时综上所述：当时，；当时，………………11分（3）具有“性质”，，，，从而得到是以2为周期的函数．又设，则，．再设（），当（），则，；当（），则，；对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得②当时，同理可得③当时，不合题意．综上所述…………18分20.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．（1）求cosA；（2）若a=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】数列与函数的综合；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用等差数列以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解A即可．（2）利用三角函数的基本关系式以及正弦定理，转化求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）C=2A，B=180°﹣3A因为a，b，c成等差数列所以a+c=2b得sinA+sinC=2sinB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣sinA+2sinA?cosA=2sin3A=2sin（A+2A）=2sinA?cos2A+2cosA?sin2A=2sinA（4cos2A﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣整理得：8cos2A﹣2cosA﹣3=0解之得：或（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵，所以，a=2，，c=3a+c=2b，，=21.(本小题满分12分)设椭圆E:()的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，的周长为.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.

参考答案：(Ⅰ)由题意知，.又∵，∴，，∴椭圆的方程为.

…………5分(Ⅱ)易知，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点在轴上，三点共线；当直线的斜率存在时，设其斜率为，且设.联立方程得相减得，∴，∴，，即，∴.同理可得，∴，所以三点共线.………12分

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标方程求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设D（1+cost，sint），结合题意得到直线GD与l的斜率相同，求出t的值，【解答】解：（1）由题意知：ρ=2cos