河北省石家庄市建华中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析

河北省石家庄市建华中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，则与的夹角（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】常规题型．【分析】利用向量的多项式乘法展开，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，求出向量夹角的余弦，利用向量夹角的范围，求出向量的夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∴9+16×3+12×4cosθ=33∴∵θ∈[0，π]∴θ=120°故选C．【点评】求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积，再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意夹角的范围，求出夹角．2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，估算出堆放的米约有()立方尺A．

B．

C．

D．参考答案：B3.把函数的图象按向量平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是（）A.

B.C.

D.参考答案：B4.已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴间的最短距离为,直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是(

)A．

B．C．

D．参考答案：B5.设集合,,则下列结论正确的是[

]A.

B.

C.

D.都不对参考答案：B6.设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（

）A、

B、C、

D、参考答案：答案：A点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。7.根式（式中）的分数指数幂形式为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B略8.任取，则使的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，所以，因为,所以，因为，所以，所以.

9.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1

B．2C．3

D．4参考答案：D10.设函数，若对任意都有，则的最小值为

（

）A、4

B、2

C、1

D、

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们把满足（是常数）的数列叫做等和数列，常数叫做数列的公和．若等和数列的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和为

．参考答案：3015略12.函数y=logcos(2x–)的单调递减区间是

。参考答案：[kπ–，kπ+]（k∈Z）13.函数的定义域是__________________________参考答案：14.在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，，，则△ABC的面积等于_____参考答案：或【分析】由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。【详解】由于在△ABC中，，，，根据余弦定理可得：，即，解得：或，经检验都满足题意；所以当时，△ABC的面积，当时，△ABC的面积；故△ABC的面积等于或【点睛】本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。15.已知函数，则___▲_____。参考答案：016.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为．参考答案：9【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式．【分析】根据题意，由正弦定理分析可得三角形的面积S=absinC=ab，又由a+b=12，结合基本不等式的性质可得三角形面积的最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，，a+b=12，则其面积S=absinC=ab≤（）2=9，即三角形面积的最大值为9；故答案为：9．17.如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定义域为的奇函数满足.（1）求函数的解析式；（2）判断并证明在定义域上的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；参考答案：（1）（2）减函数证明：任取，由（1）19.设在平面上有两个向量=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），=（﹣，）．（1）求证：向量+与﹣垂直；（2）当向量+与﹣的模相等时，求α的大小．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】（1）由已知计算数量积为0，可判+与﹣垂直；（2）由|+|=|﹣|，两边平方化简可得?\overrightarrow{b}=0，代入数据可得（﹣）×cosα+×sinα=0，即cos（α+60°）=0，由α的范围可得．【解答】（1）证明：∵（+）?（﹣）=||2﹣||2=（cos2α+sin2α）﹣（）=0，∴+与﹣垂直．（2）∵|+|=|﹣|，∴两边平方得3||2+2?\overrightarrow{b}+||2=||2﹣2?\overrightarrow{b}+3||2，∴2（||2﹣||2）+4?\overrightarrow{b}=0．又∵||==1，||==1，∴||=||，∴?\overrightarrow{b}=0，代入数据可得（﹣）×cosα+×sinα=0，即cos（α+60°）=0，∴α+60°=k?180°+90°，即α=k?180°+30°，k∈Z．又0°≤α＜360°，∴α=30°或α=210°．20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21.（本小题满分分）如图,渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处,且与岛屿相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从处沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求的值.参考答案：（I），--------------------------------（2分）由余弦定理可求得，所以渔船甲的速度为14海里/小时.--------------------（6分）（II）,-----------------------------------------------------------（8分）由正弦定理可求得------------------------------（