山西省忻州市代县第二中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

山西省忻州市代县第二中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明：，第一步即证下述哪个不等式成立（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.直线y=a与函数y=x3﹣3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出函数与x轴的交点，然后利用导数求出函数的极值，结合函数y=x3﹣3x的图象与y=a的图象，观察即可求出满足条件的a．【解答】解：y=x3﹣3x=x（x2﹣3）=0解得方程有三个根分别为，0，y'=3x2﹣3=0解得，x=1或﹣1f（1）=﹣2，f（﹣1）=2画出函数y=x3﹣3x的图象与y=a观察图象可得a∈（﹣2，2）故选A．3.已知为第三象限的角，,则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略4.如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为,（1，），那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．(0，]

B．[，)C．(，]D．[，π)参考答案：B【考点】导数的几何意义；I2：直线的倾斜角．【分析】由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．5.椭圆的焦距为A．2

B．3

C．

D．4参考答案：C6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱的长度为A.2

B.

C.

D.参考答案：D7.设函数可导，则等于（

）．A．

B．

C．

D．以上都不对参考答案：C略8.曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为(

) A．1 B．2 C．e D．参考答案：A考点：直线的斜率；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．解答： 解：由y=ex，得到y′=ex，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，则曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．9.在同一平面直角坐标系中，将曲线变换为（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：A10.在4次独立重复试验中，若事件A恰好发生了一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P应该满足（

）（A）

(B)

（C）

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若抛物线

=上一点P到准线的距离为，则点P到顶点的距离是____参考答案：12.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）参考答案：充分不必要条件略13.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3

的长方体框架，一个建筑工人欲从

A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．参考答案：?【分析】先求出最近路线的所有走法共有种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率.【详解】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有种，故所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.14.设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于．（填具体数字）参考答案：【考点】反证法的应用；进行简单的合情推理．【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾．故a、b、c中至少有一个数不小于．故答案为：．15.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为

参考答案：略16.为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是

▲

．参考答案：略17.计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）=

．参考答案：﹣21+24i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=24i﹣21，故答案为：﹣21+24i．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）某学习小组共有个同学.（1）若从中任选2人分别上台做数学、物理学科的学习经验介绍，其方法数至少有20种，求的取值范围；（2）若从中任选2人去听讲座与任选3人去听讲座的方法数相同，求的值；（3）课外辅导时，有数学、物理两个兴趣班可供这个同学选报，每人必须报而且只能报一个班，如果总的选择方法数为，求证：对任意总有.参考答案：（1）从个同学中任选2人分别上台做数学、物理学科的学习经验介绍，其方法数为由得的取值范围为.----------------------------------------------4分（2）从个同学中任选2人去听讲座与任选3人去听讲座的方法数分别为----6分由得，的值为5.------------------------------------------8分（3）依题意得-------------------------------------------------------10分法一：----------------------13分法二：令则，函数上是增函数。，从而法三：用数学归纳法证明。19.（本小题满分12分）已知向量、，函数，（Ⅰ）求函数的最大值及相应的取值的集合；（Ⅱ）若，求的值。参考答案：（Ⅰ）函数的最大值为，此时相应的取值的集合为；（Ⅱ），20.(本题满分10分)如图，平面平面，为正三角形，四边形为直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，，AB=a,DF=。

（I）求证：；（II）求二面角的大小;

（Ⅲ）点P是线段EB上的动点，当为直角时，求BP的长度.参考答案：(本题满分10分)（I）连结，则，，，所以，即.又因为，所以平面，得.

3分方法一（Ⅱ）平面平面，过点向引垂线交于点，连结，延长DF到点C，使CD=AB，则，，，所以，即为二面角的平面角，在中，，所以．

6分

方法二：（II）取AD的中点O，连结OE，则EOAD，EO平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设，则，则，则，所以,，可求得平面的法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小为，，即二面角为．

6分

（Ⅲ）设，（）则

，

同理，，

8分

，

由=0，解得t=或，所以BP=.

10分略21.（1）求的展开式中的常数项；（2）已知,求的值.参考答案：略22.已知（）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1（I）求展开式中各项系数的和；（Ⅱ）求展开式中含x的项；（Ⅲ）求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项．参考答案：解：（I）由题可知，第5项系数为：Cn4?（﹣2）4，第3项系数为Cn2?（﹣2）2，∴Cn4?（﹣2）4=10Cn2