湖北省孝感市航天中学2022年高三数学理联考试题含解析

湖北省孝感市航天中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等差数列数列的前n项和.给出下列两个命题：命题：若都大于9，则大于11.命题：若不小于12，则中至少有1个不小于9.那么，下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C考点：等差数列的性质，复合命题的真假．2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3

B．3＜c≤6

C．6＜c≤9

D．c＞9参考答案：【知识点】函数值的意义；解不等式.

B1

E1【答案解析】C

解析：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选C．【思路点拨】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b代入0＜f（﹣1）≤3求出c的范围．3.已知函数f（x）=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（）A．3条 B．2条 C．1条 D．0条参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，求出f（x）的二阶导数，可得a的方程，解得a=﹣1，设出切点，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，设g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，求出单调区间和极值，即可判断方程的解的个数，即切线的条数．【解答】解：至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，可得f（﹣m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），即有f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，由f（x）的导数为f′（x）=3ax2+6x，f″（x）=6ax+6，由f″（x）=0，可得x=﹣，由f（﹣+x）+f（（﹣﹣x）为常数，可得﹣=1，解得a=﹣1，即有f（x）=﹣x3+3x2+1，f′（x）=﹣3x2+6x，设切点为（t，﹣t3+3t2+1），可得切线的斜率为﹣3t2+6t=，化为2t3﹣3t2+1=0，设g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减；当t＞1或t＜0时，g′（t）＞0，g（t）递增．可得g（t）在t=0处取得极大值，且为1＞0；在t=1处取得极小值，且为0．可知2t3﹣3t2+1=0有两解，即过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作2条．故选：B．4.已知函数且的解集为，则函数的图像为A

B

C

D参考答案：D5.已知集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.将A．B．C．D．Ｅ排成一列，要求A．B．C在排列中顺序为“A．B．C”或“C．B．A”（可以不相邻），这样的排列数有（）种。A．12

B．20

C．40

D．60参考答案：C7.已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8，则cos（a3+a7）的值为 A． B． C． D．参考答案：A因为a1+a5+a9=8，所以，所以，所以。8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B． C．216﹣36π D．216﹣18π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，故体积为=216﹣，故选B．9.（多选题）已知函数,则下列结论中正确的是(

)A.函数f(x)是周期为π的偶函数B.函数f(x)在区间上是减函数C.若函数f(x)的定义域为,则值域为D.函数f(x)的图像与的图像重合参考答案：BD【分析】根据余弦函数的性质一一验证即可得解.【详解】解：错，函数是周期为的函数，但不是偶函数；B正确，当时,，所以函数在区间上是减函数；C错，若函数的定义域为，则，其值域为；D正确，，故D正确.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.10.

函数的图象必经过点（

）A、(0,1)

B、(1,1)

C、(2,0)

D、(2,2)

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，集合，若,

．参考答案：12.设数列{an}的通项公式为，，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列{bn}，则被7除所得的余数为

．参考答案：413.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为． 参考答案：[﹣2，1]【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（1，1），B（2，4）， ∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1， ∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4， 经过点A时取得最小值为a+1， 若a=0，则y=z，此时满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即0＜a≤1， 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2， 即﹣2≤a＜0， 综上﹣2≤a≤1， 故答案为：[﹣2，1]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题． 14.已知，则=

参考答案：15.某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。若=4.2，则小白得5分的概率至少为

。参考答案：

16.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知。若，则_____________.参考答案：略17.设实数x，y满足，则的最小值为

.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数（是自然对数的底数）.（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立.参考答案：（1）当时，，

，由，所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………4分

（2），由题意得当时，恒成立,令，有，得，所以的范围是,

…………9分（3）令得，，所以在上为减函数，对于任意，都有，故有，即，即．

…………14分

19.某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表：产品类型甲乙丙丁产品件数10050200150使用满意率0.90.70.80.5

使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值.（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；（2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数.参考答案：（1）0.32；（2）1000件.【分析】（1）根据表中数据求得产品总件数和丙类产品中获得用户满意评价的产品件数，根据古典概型求得概率；（2）首先确定甲类产品中不能获得用户满意评价的件数占比，根据用样本估计总体的方法可求得结果.【详解】（1）由题意知，样本中公司的产品总件数为：丙类产品中获得用户满意评价的产品件数为：所求概率为：（2）在样本100件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：则不能获得用户满意评价的件数占比为：该公司的甲类产品共销售了件这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：件【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、用样本估计总体的问题，属于基础题.20.（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。

（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：

（Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。

再设A，B，D的横坐标分别为

过点的抛物线C1的切线方程为：

（1）

当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：

可得

所以

设切线PA，PB的斜率为，则

（2）

（3）

将分别代入（1），（2），（3）得

从而

又

即

同理，

所以是方程的两个不相等的根，从而

因为

所以

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为21.已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调增区间．（II）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）先将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据（1）得f（x）的解析式，求出C角，在根据平面向量共线的特征，建立角A，B的关系式，利用余弦定理即可求a，b的值．【解答】解：由f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣==sin﹣1，根据正弦函数图象及性质可得：[2kπ﹣，2kπ]（k∈Z）是增区间．即2kπ﹣≤≤2kπ，解得：≤x≤．∴f（x）的单调增区间为[，]]（k∈Z）．（2）由（1可知）f（x）=sin﹣1∴f（C）=sin又f（C）=0，即sin