2021届高考数学理（全国统考版）二轮验收仿真模拟卷(二)

高考仿真模拟卷(二)

(时间：120分钟；满分：150分)

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合4={4?-%—2>0},B={x|0<log2x<2},则AAB=()

A.(2,4)B.(1,1)

C.(-1,4)D.(1,4)

2.i为虚数单位，复数z满足z(l+i)=i,则|z|=()

A.|B喙

C.1D.y[2

3.已知向量。=(x,1),b=(l,y),c=(2,-4),且Q_LC,b//c,则|a+例=()

A.邓B.VIO

C.2邓D.10

6.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子

算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的

重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2

部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专

著的概率为()

14r1

A-15B记

D.1

7.如图程序框图输出的结果是S=720,则判断框内应填的是（）

/输出S/

叵

A.运7B.z>7

C.W9D.i>9

____________]

8.设a=k）g2oi八①丽，&=log20iW2018,c-20182019,贝ija,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

9.己知数列0=1,念=2,且知+2—。〃=2—2（-1）”，〃£Z*,则S2017的值为（）

A.2016X1010-1B.1009X2017

C.2017X1010-1D.1009X2016

y22

10.已知双曲线7一1v=1（。>0，">0）与函数y=也的图象交于点尸，若函数y=5的图象

在点尸处的切线过双曲线的左焦点尸（-1,0）,则双曲线的离心率是（）

4+1小+2

A.2B-2

■J5+13

C^2-D，2

11.在△48C中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,且BC边上的高为乎”，则介

q的最大值是（）

A.8B.6

C.3啦D.4

12.已知四棱锥S-ABCC的所有顶点都在球。的球面上，SC平面ABCC,底面ABCQ

JIL

是等腰梯形，AB〃C£）且满足AB=2AO=2£>C=2,且SC=y（2,则球O的表面

积是（）

A.5九B.4五

C-3冗D.2工

题号123456789101112

答案

第n卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知等差数列｛”“｝的前”项和为S”m=13,S3=S”，则S“的最大值为.

14.若在(a+3x)(1—孤叶关于x的展开式中，常数项为4,则工2的系数是.

15.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,DE=^DO,CE的延长线与AD交于

点、F,若m=疵+口而a，〃CR),则4+〃=.

16.对于函数y=/(x),若存在区间[a,b],当加时的值域为伙a,助(Q0),贝U称y

=/(x)为上倍值函数.若_/(x)=lnx+x是&倍值函数，则实数上的取值范围是.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)已知函数Kr)=，§sin(3n+x)-cos(n—x)+cos2^—

(1)求函数凡r)的单调递增区间；

3

(2)已知在△ABC中，A,B,C的对边分别为“，b,c,若式A)=],a=2,b+c=4,求b,

18.(本小题满分12分)某次有1000人参加的数学摸底考试，成绩的频率分布直方图如图

所示，规定85分及其以上为优秀.

a

S07

06

O.05

O.04

O.03

O.02

O.01

07580859095100分数

(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数”，人的值;

成绩区间[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

人数50a350300h

(2)现在要用分层抽样的方法从这1000人的成绩中抽取40人的成绩进行分析，再从抽取

的40名学生中，随机选取2名学生参加座谈会，记选取的2名学生中成绩为优秀的人数为X,

求X的分布列与数学期望.

19.(本小题满分12分)如图，在几何体A8CDEF中，AB//CD,AD=DC=CB=\,NABC

=60°,四边形ACFE为矩形，FB=®,M,N分别为EF,AB的中点.

(1)求证：MN〃平面FCB；

(2)若直线AF与平面FC8所成的角为30°,求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值.

20.(本小题满分12分)己知椭圆C：=l(〃>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y=x+2相切，求椭圆C的焦点

坐标；

(2)若过原点的直线/与椭圆C相交于例，N两点，点P是椭圆C上使直线PM,PN的斜

率存在的任意一点，记直线PM,PN的斜率分别为如必k/w，当加时・％取=—；时，求椭圆C

的方程.

21.(本小题满分12分)已知函数段)=lnx+5(AGR).

(1)若式x)存在极小值〃伏)，且不等式h(k)^ak对大幻存在极小值的任意k恒成立，求实数

“的取值范围；

(2)当上>0时，如果存在两个不相等的正数a,£使得效)=心),求证：a+8>2k.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为」=‘^口(°+不)3为参数)，以。为

j=sin2a+1

极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为〃=4psine-3.

(1)求曲线G的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)求曲线G上的点与曲线C2上的点的距离的最小值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数於)=园+|x—11.

(1)若7(x)2以一1|恒成立，求实数胆的最大值M；

(2)在(1)成立的条件下，正实数“，b满足/+层="，

证明：a+b?2ab.

高考仿真模拟卷(二)

1.解析：选A.A={x[x<-l或x>2},B={x|l<x<4},所以AAB=(2,4).故选A.

2.解析：选B.由z(l+i)=i得z="j,

所以团=击=由=乎，故答案为B.

3.解析：选B.因为向量a=(x,1),b=(l,y),c=(2,—4),且a_Lc,b//c,所以2》一

4=0,2y=-4,解得x=2ty=-2,所以a=(2,1),)=(1,—2),所以。+>=(3,-1),

所以|a+b|=yj32+(-1)2^yfl0.

4.解析：选A.因为人一》)=匕乌芋二且=哼四=/0)，所以40是偶函数，

可得图象关于y轴对称，排除C,D；当x>0时，_/U)=¥，火1)=0,7(1)<0,排除B.

选A.因为sin^-y—aj=

5.解析:

44

所以sina因为a,所以sina所以tanci=-,所以tan2。=

6.解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,

所以2(4)=会=白，因此P(A)=1—P(A)=1—七=总故本题选A.

7.解析：选B.第一次运行，i=10,满足条件，5=1X10=10,1—9；

第二次运行，i=9满足条件，5=10X9=90,z=8；

第三次运行，i=8满足条件，5=90X8=720,i=7；

此时不满足条件，输出的S=720.

故条件应为8,9,10满足，i=7不满足，所以条件应为i>7.

8.解析：选C.因为1=1og2oi82018>a=log2oi8'V2币3>log2oi8M^018=/,

i_L_

b=log201W2OI8<log2019^2019=2'c=20182019>2018°=1,故本题选C.

9.解析：选C.由递推公式可得：

当"为奇数时，篇+2—斯=4,数列是首项为1，公差为4的等差数列，

当〃为偶数时，%+2—%=0,数列｛斯｝是首项为2,公差为0的等差数列，

52OI7=(«l+«3H-------!-42017)+(42+〃4H--------^“2016)

=1009+1x1009X1008X4+1008X2

=2017X1010—1.本题选择C选项.

10.解析：选A.设P(x0，5)，所以切线的斜率为击，

又因为在点P处的切线过双曲线的左焦点E(—I,0),

所以；；)==△&,解得的=1,所以P(l,1),因此2c=2,2a=小一1,故双曲线的离4

2y演)劭十1

竽故选A.

bcly'-Vc'-a

11.解析：选D?+£=—k，这个形式很容易联想到余弦定理cosA=—族一，①

而条件中的“高”容易联想到面积，&X乎a=)csinA,即2小AsinA,②

将②代入①得：Z?2+c2=28c(cosA+小sinA),

所以g+5=2(cosA+SsinA)=4sin(A+卷)，当A=?■时取得最大值4,故选D.

12.解析：选A.依题意得，AB=2AD=2,ADAB=~^,由余弦定理可得BD=#,则A。?

+DB2=AB2,

则乙■，又四边形ABCD是等腰梯形，故四边形ABCD的外接圆直径为AB,设

A8的中点为。|,球的半径为R,因为S£>J_平面ABCD,

所以内="(券)=・，则S=4n/?2=5jr,故选A.

13.解析：因为S3=Su，可得35+3d=Uai+55d,把“产13代入得d=-2.故S,=13〃

—n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数性质，当〃=7时，S”最大且最大值为49.

答案：49

14.解析:由题意得(1—%)8展开式的通项为0+产C6(一/)「=(一1)(/r=Q,1,2,…，

所以3+3x)(1一羽卜展开式的常数项为(-1)°C”a=a=4,所以(4+3x)(l一羽叶展开式

63

中f项的系数为4.(-l)6cM+3x.(—1)3(44=一56』，

所以展开式中小的系数是一56.故答案为一56.

答案：一56

15.解析：法一：因为方DO^OB=^DB,所以无瓦所以虎=；血,

,_->1―►—►―►—►―►1―►―►―►1-►―►4-►2

由DF//BC,得OF=gCB,所以CF=CD+OF=C£>+]CB=CO+OO+w(CO+OB)=]CO+w

_2_2\j

0D=—jAC+^BD,所以义=-g,P—y，+"=-1.

法二：不妨设ABC。为矩形，建立平面直角坐标系如图，设y

AB=a,BC=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),。《，

设E(x,y),因为麻=3防，所以(x,丫一份=招，-3),所以x------------；

=詈，y=^b,即册，%),设F(0,m),因为在〃而&=(-a,m—h),以：=(一%,-%)，

所以：岫十%(%—b)=0,解得机=多，即《0,御，CF—[^—a,V又AC=("，b),80=(一

a,b),由m=4危+〃而，得(一a,—g/，=2(a,b)+fi(~a,6)=((，-〃)“，(2+〃)份，所以，

+〃T

答案：一3

16.解析：由题意得Inx+x=自有两个不同的解，kIn=y%+1,则/=1——In^Y=0=>x=e,

因此当0<x<e时，8,1+/),当x>e时，上©(1,1+1),从而要使Inx+x=fcv有两个

不同的解，需4e(l,1+：)

答案:b1+{

17.解：(1)因为yU)=，5sin(3n+x>cos(n-x)+cos2|

所以y(x)=5(—sin%)•(—cosx)+(—sinx)2—'^sin2x+~~受巨sin(2x-总+/

,JIJIJI

由2%冗一丁W2x—攵兀+-7，攵£Z,

262

得An一看WxWAnkRZ,

即函数式犬)的单调递增区间是，“一卷，,JIGZ.

(2)由_M)=］得,

因为0<A<n,

JtJt11It

所以ov2A<2n,-y<2/4-y<-^->

jtnJt

所以2A一不=彳，所以4=9，

因为a=2,b+c—4,①

根据余弦定理得，

4=&2+C2-2bccosA—b2-\-c2—bc—(b+c)2—3bc—16-3/?c,

所以历=4,②

联立①②得，b=c=2.

18.解：(1)依题意得,“=0.04X5X1000=200,/?=0.02X5X1000=100.

H

(2)设抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为x,贝端，解得x=

20”)

30,

即抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为30.

依题意，X的可能取值为0,1,2,

P(X=O)=曾=专,P(X=1)=^^=/,尸(X=2)=曾=患，

所以X的分布列为

X012

3529

P

52?352

所以X的数学期望E（X）=OX专+1x^+2x|1=|.

19.解：⑴证明：取BC的中点Q,连接NQ,FQ,贝INQ=%C,NQ//AC.

又MF=；AC,MF//AC,所以MF=NQ,MF//NQ,则四边形MNQF为平行四边形，即

MN//FQ.

因为FQU平面FC8,MNC平面FCB,

所以MN〃平面FCB.

（2）由A8〃CQ,AD=DC=CB=\,ZABC=60°可得NACB=90°,AC=小，BC=\,

4B=2.因为四边形ACFE为矩形，所以AC_L平面FCB,则NAFC为直线AF与平面FC8所成

的角，即乙4尸C=30°,所以尸C=3.

因为FB=A/m，所以FCLBC,则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,

所以A（小,0,0）,8（0,1,0）,从坐,0,3），雨=停0--3），凝=（一坐，1,-3

设，”=（x,y,z）为平面MAB的法向量，

［加”0,俘L3Z=0,

则'_即J厂

.而B•m=0,［一半x+y-3z=0.

取x=2小，则，”=（2小，6,1）为平面M48的一个法向量.

又”=（小，0,0）为平面尸CB的一个法向量,

2小X小2V§

所以cos〈m,加

7X73

则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为半.

20.解：(1)由题意知，匕等于原点到直线y=x+2的距离，即匕=仔==啦，又2a=4,

\1+1

所以〃=2,c2=/一/=2,所以椭圆C的两个焦点的坐标分别为(啦，0),(一也，0).

(2)由题意可设〃(沏，%)，N(~xo,—刈)，P(x,y),

则5+1=1,.+1=1,

2

两式相减得y—上y*o=一/队

y+兆

又心M=£f，kpN=

XAQx+刖’

所以g心=日.老=白=4,所以4=得，又。=2,所以K，故椭

r2

圆C的方程为？y=L

1kk

21.解：(1»。)=工_7=?，x>0.

当％wo时，/(x)>o,y(x)在(0,+8)上单调递增，无极值.

当)t>0时，当0〈x<左时，/(x)V0,当x>Z时，/(x)>0,故犬X)的单调递减区间是(0,

%),单调递增区间是(k,+8),兀V)的极小值为/?伏)=/(A)=lnk+1.

当％>0时，/?(k)Wa%恒成立，即Ink+lWaA,即02也与一4亘成立.

K

,lnk+1.1—(1+lnk')—Ink..,.

令0伏)=--j.—,则“伏)=-----p----------=—^~,令"伏)=0,得％=1,当0〈k〈l时,

O'团>0,。伏)单调递增，当&>1时，a)<0,。伏)单调递减，故人=1为°伏)在(0,

+8)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以9(&)1皿=夕(1)=1,所以即实数a的取值

范围是［1,+°°).

(2)证明：由(1)知，当4>0时，式为在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，设a<

P，则一定有0<