2020年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）

2020年全国硕士研究生考试《数学一》试题（网友回忆版）[单选题]1.x→0＋时，下列无穷小阶数最高的是（）。A.INCLU（江南博哥）DEPICTURE\d"/huixue_img/importSubject/27f132efbef44caa9d47e2e5457789e6.png"INETB.C.D.参考答案：D参考解析：A项，B项，C项，D项，故选D项。[单选题]2.设函数f（x）在区间（－1，1）内有定义，且，则（）A.当，f（x）在x＝0处可导B.当，f（x）在x＝0处可导C.当f（x）在x＝0处可导时，D.当f（x）在x＝0处可导时，参考答案：C参考解析：当f（x）在x＝0处可导时，由可知，，且也即存在，从而。故选C项。[单选题]3.设函数f（x，y）在点（0，0）处可微，f（0，0）＝0，，且非零向量与垂直，则（）。A.存在B.存在C.存在D.存在参考答案：A参考解析：∵f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）＝0，∴；即。∵，∴存在。∴选A项。[单选题]4.设R为幂级数的收敛半径，r是实数，则（）。A.发散时，｜r｜≥RB.发散时，｜r｜≤RC.｜r｜≥R时，发散D.｜r｜≤R时，发散参考答案：A参考解析：∵R为幂级数的收敛半径，∴在（－R，R）内必收敛。∴发散时，r≥R。∴选A项。[单选题]5.若矩阵A经初等列变换化成B，则（）。A.存在矩阵P，使得PA＝BB.存在矩阵P，使得BP＝AC.存在矩阵P，使得PB＝AD.方程组Ax＝0与Bx＝0同解参考答案：B参考解析：∵A经初等列变换化成B，∴存在可逆矩阵P1使得AP1＝B；∴A＝BP1－1，令P＝P<sub>1－1，则A＝BP。∴选B项。[单选题]6.已知直线L1：（x－a2）/a1＝（y－b2）/b1＝（z－c2）/c1与直线L2：（x－a3）/a2＝（y－b3）/b2＝（z－c3）/c2相交于一点，设向量，i＝1，2，3，则（）。A.1可由2，3线性表示B.2可由1，3线性表示C.3可由1，2线性表示D.1，2，3线性无关参考答案：C参考解析：令L1的方程（x－a2）/a1＝（y－b2）/b1＝（z－c2）/c1＝t，即有由L2的方程得由直线L1与L2相交得存在t使2＋t1＝3＋t2，即3＝t1＋（1－t）2，3可由1，2线性表示，故应选C项。[单选题]7.设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为A.3/4B.2/3C.1/2D.5/12参考答案：D参考解析：只发生A事件的概率：只发生B事件的概率：只发生C事件的概率：A，B，C中恰有一个事件发生的概率：故选择D项。[单选题]8.设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，Φ（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为（）。A.1－Φ（1）B.Φ（1）C.1－Φ（2）D.Φ（2）参考答案：B参考解析：E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，，，将标准化可得，由中心极限定理可知近似服从标准正态分布，故选B项。[问答题]1.（本题满分10分）求函数f（x，y）＝x3＋8y3－xy的极值。参考答案：先求一阶偏导数得到驻点：解得驻点有（0，0），（1/6，1/12）。再求二阶偏导数：对于（0，0）点：A＝0，B＝－1，C＝0，由于AC－B2＜0，可知（0，0）点不是极值点；对于（1/6，1/12）点：A＝1，B＝－1，C＝4，由于AC－B2＞0且A＞0，可知（1/6，1/12）点为极小值点，极小值f（1/6，1/12）＝－1/216。[问答题]2.（本题满分10分）计算曲线积分，其中L是x2＋y2＝2，方向为逆时针方向。参考答案：设P＝（4x－y）/（4x2＋y2），Q＝（x＋y）/（4x2＋y2），则取路径Lε：4x2＋y2＝ε2，方向为顺时针方向，D_ε为Lε所围曲面，则[问答题]3.（本题满分10分）设数列{an}满足a1＝1，（n＋1）an＋1＝（n＋1/2）an，证明：当x＜1时，幂级数收敛，并求其和函数。参考答案：（1）由（n＋1）an＋1＝（n＋1/2）an，a1＝1知an＞0，则an＋1/an＝（n＋1/2）/（n＋1）＜1，即an＋1＜an。故{an}单调递减，且0＜an＜1，故anxn＜xn。当x＜1时，绝对收敛，故收敛。（2）则即解得又S（0）＝0，故c＝2，因此。[问答题]4.（本题满分10分）设∑为曲面的下侧，f（x）是连续函数，计算参考答案：由得，。方向余弦为，，。于是[问答题]5.（本题满分10分）设函数f（x）在区间[0，2]上具有连续导数，f（0）＝f（2）＝0，，证明：（1）存在ξ∈（0，2），使得f′（ξ）≥M。（2）若对任意的x∈（0，2），f′（x）≤M，则M＝0。参考答案：证明：（1）由，x∈（0，2），知存在c∈（0，2），使f（c）＝M，若c∈[0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点ξ∈（0，c），使从而。若c∈（1，2]，同理存在ξ∈（c，2）使从而。综上，存在ξ∈（0，2），使f′（ξ）≥M。（2）若M＞0，则c≠2。由f（0）＝f（2）＝0及罗尔定理知，存在η∈（0，2），使f′（η）＝0，当η∈（0，c]时，，又，于是2M＜Mc＋M（2－c）＝2M，矛盾。故M＝0。[问答题]6.（本题满分11分）设二次型f（x1，x2）＝x12＋4x1x2＋4x<sub>22经正交变换化为二次型g（y1，y2）＝ay12＋4y1y2＋by<sub>22，其中a≥b。（1）求a，b的值。（2）求正交矩阵Q。参考答案：（1）设，，由题意可知QTAQ＝Q－1AQ＝B。∴A合同、相似于B，∴，a≥b，∴a＝4，b＝1。（2）A的特征值为0.5，则当λ＝0时，解（0E－A）x＝0，得基础解为；当λ＝5时，解（5E－A）x＝0，得基础解为；又B的特征值也为0.5，则当λ＝0时，解（0E－B）x＝0，得；当λ＝5时，解（5E－B）x＝0，得；对α1，α2单位化，则令Q1＝（γ1，γ2），Q2＝（γ2，γ1），则故。可令[问答题]7.（本题满分11分）设A为2阶矩阵，P＝（，A），其中是非零向量，且不是A的特征向量，（1）证明P为可逆矩阵。（2）若A2＋A－6＝0，求P－1AP，并判断A是否相似于对角矩阵。参考答案：（1）由于不是A的特征向量，可知，A线性无关，也即P＝（，A）可逆。（2）由于A2＝6－A，可知则，令，可知A相似于B。则B有两个不同的特征值2，－3，也即A有两个不同的特征值2，－3，故A可相似对角化。[问答题]8.（本题满分11分）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3＝0}＝P{X3＝1}＝1/2，Y＝X3X1＋（1－X3）X2。（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ（x）表示。（2）证明随机变量Y服从标准正态分布。参考答案：（1）若x≤y，则若x＞y，则故（2）因此，随机变量Y服从标准正态分布。[问答题]9.（本题满分11分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为其中θ，m为参数且大于零。（1）求概率P{T＞t}与P{T＞s＋tT＞s}，其中s＞0，t＞0。（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2…，tn，若m已知，求θ的最大似然估计值。参考答案：（1）（2）T的密度函数似然函数取对数则令，可得θ的最大似然估计值。[填空题]1.（）。参考答案：－1参考解析：[填空题]2.设，则（）。参考答案：参考解析：得。[填空题]3.若函数f（x）满足f″（x）＋af′（x）＋f（x）＝0（a＞0），且f（0）＝m，f′（0）＝n，则（）。参考答案：am＋n参考解析：特征方程λ2＋aλ＋1＝0，其根有三种情况：当a＞2时，有两个不同实根：，方程通解为，其中r1，r2为方程的两个实根，容易验证r1，r2＜0，则；当a＝2时，有两个相同实根－1，方程通解为，容易验证