2019年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）

2019年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）[单选题]1.当x→0时，若x－tanx与xk是同阶无穷小，则k＝()（江南博哥）。A.1B.2C.3D.4参考答案：C参考解析：tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋x3/3＋ο（x3）。因此当x→0时有x－tanx～－x3/3，即x－tanx与－x3/3是x→0时的等价无穷小，进一步可知x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3。故选C。[单选题]2.曲线y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐点是()。A.（0，2）B.（π，－2）C.（π/2，π/2）D.（3π/2，－3π/2）参考答案：B参考解析：由y＝xsinx＋2cosx计算y″得，y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的两侧，y″不变号，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐点；在x＝π的两侧，y″变号，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐点。[单选题]3.下列反常积分发散的是()。A.B.C.D.参考答案：D参考解析：对无穷限反常积分，如果存在极限则称反常积分收敛，且记反之称发散。A选项中，由分部积分法得因此收敛，同理，可得B选项中积分故收敛。C选项中，由于arctanx/（1＋x2）≤2/（1＋x2），以及收敛，由比较原则，收敛。D选项中，因此发散。故选D。[单选题]4.已知微分方程y″＋ay′＋by＝cex的通解为y＝（C1＋C2x）e－x＋e<sup>x，则a，b，c依次为()。A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4参考答案：D参考解析：由微分方程的通解可知，－1是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0的二重根，ex是其中一个特解。因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以a＝2，b＝1，将特解ex代入微分方程，得到c＝4。故选D选项。[单选题]5.已知平面区域D＝{（x，y）∣∣x∣＋∣y∣≤π/2}，记则()。A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1参考答案：A参考解析：区域D上，有则0≤u≤π/2。因为sinu≤u在u≥0时恒成立，当且仅当u＝0时取等号，所以I2＜I1。又因为在0≤u≤π/2时恒成立，当且仅当u＝0或π/2时取等号，所以I3＜I2。综上，I3＜I2＜I1。故选A。[单选题]6.设函数f（x），g（x）的2阶导函数在x＝a处连续，则是两条曲线y＝f（x），y＝g（x）在x＝a对应的点处相切及曲率相等的()。A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A参考解析：①充分性在x＝a处，由泰勒公式得代入可得f（a）＝g（a），f′（a）＝g′（a），f″（a）＝g″（a），因此两条曲线在x＝a处相切且斜率相等。②必要性必要性不成立。例如f（x）＝（x－a）2，g（x）＝－（x－a）2，它们在点a相切且具有相同的曲率，但故选A。[单选题]7.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax＝0的基础解系中只有2个向量，则r（A*）＝()。A.0B.1C.2D.3参考答案：A参考解析：伴随矩阵的秩由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故选A。[单选题]8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。若A2＋A＝2E，且A＝4，则二次型xTAx的规范型为()。A.y12＋y22＋y<sub>3sub>2B.y12＋y22－y<sub>3sub>2C.y12－y22－y<sub>3sub>2D.－y12－y22－y_{3sub>2参考答案：C参考解析：要求二次型xTAx的规范型，只需计算矩阵A的特征值得到A的正负惯性指数即可。由A2＋A＝2E可得λ2＋λ－2＝0，所以A的特征值只能为1或－2。又因为A＝4且A是3阶矩阵，所以A的特征值为1，－2，－2。由A的特征值符号可得正惯性指数为1，负惯性指数为2，所以规范型为y12－y22－y3²。故选C。[问答题]1.（本题满分10分）已知函数求f′（x），并求f（x）的极值。参考答案：f（x）为连续函数。当x＞0时，有x2x＝e2xlnx，则f′（x）＝（x2x）′＝（e2xlnx）′＝2x2x（lnx＋1）；当x＜0时，f′（x）＝（x＋1）ex。又因为所以f′（0）不存在，0为函数f（x）的不可导点。令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1/e，下面讨论导数f′（x）在驻点（f′（x）＝0）和不可导点两侧的符号。①当x＜－1时，f′（x）＜0。当－1＜x＜0时，f′（x）＞0，所以x＝－1为极小值点，f（－1）＝1－1/e；②当－1＜x＜0时，f′（x）＞0。当0＜x＜1/e时，f′（x）＜0，所以x＝0为极大值点，f（0）＝1；③当0＜x＜1/e时，f′（x）＜0。当x＞1/e时，f′（x）＞0，所以1/e为极小值点，f（1/e）＝e－2/e。[问答题]2.（本题满分10分）求不定积分参考答案：设求解，得A＝－2，B＝3，C＝2，D＝1，所以[问答题]3.（本题满分10分）设函数y（x）是微分方程满足条件的特解。（Ⅰ）求y（x）；（Ⅱ）设平面区域D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。参考答案：（Ⅰ）用一阶线性微分方程通解公式，可得由得C＝0，所以（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求出的函数y（x），且D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋转体体积为[问答题]4.（本题满分10分）已知平面区域D＝{（x，y）x≤y，（x2＋y2）3≤y4}，计算二重积分参考答案：因为曲线（x2＋y2）3＝y4的极坐标方程为r＝sin2θ，且积分区域关于y轴对称，所以[问答题]5.（本题满分10分）设n是正整数，记Sn为曲线y＝e－xsinx（0≤x≤nπ）与x轴所围图形的面积。求Sn，并求参考答案：由题意可得又因为因此所以[问答题]6.（本题满分11分）已知函数u（x，y）满足求a，b的值，使得在变换u（x，y）＝v（x，y）eax＋by之下，上述等式可化为函数v（x，y）的不含一阶偏导数的等式。参考答案：u对x的偏导数为u对y的偏导数为因此有代入题中所给的微分方程，得最后解得a＝0，b＝3/4。[问答题]7.（本题满分11分）已知函数f（x）在[0，1]上具有2阶导数，且f（0）＝0，f（1）＝1，，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0；（Ⅱ）存在η∈（0，1），使得f″（η）＜－2。参考答案：证明：（Ⅰ）因为f（x）在[0，1]上具有2阶导数，所以f（x）在[0，1]上连续，因此f（x）在[0，1]上必然取得最大值，记最大值点为ξ，下证ξ≠0且ξ≠1。因为则必有f（ξ）＞1，反之若不成立，即对一切x∈[0，1]，都有f（x）≤1，又由f（0）＝0，推得与题设矛盾。所以f（ξ）＞1，因此ξ≠0且ξ≠1。结合ξ为连续函数f（x）在[0，1]上的最大值点，ξ≠0且ξ≠1，可得f′（ξ）＝0。（Ⅱ）因为f（x）在[0，1]上具有2阶导数，根据（1）中所设，可得函数f（x）在点ξ的泰勒展开式令x＝0，有0＝f（ξ）＋f″（η）ξ2/2！，则f″（η）＝（－2）f（ξ）/ξ2。由于f（ξ）＞1，所以[f（ξ）/ξ2]＞1，所以f″（η）＜－2。[问答题]8.（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：α1＝（1，1，4）T，α2＝（1，0，4）T，α3sub>＝（1，2，a2＋3）T；Ⅱ：β1＝（1，1，a＋3）T，β2（0，2，1－a）T，β3sub>＝（1，3，a2＋3）T。若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，求a的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示。参考答案：首先求a的取值，因为向量组Ⅰ与Ⅱ等价，所以它们可以互相线性表示，即方程组（α1，α2，α3）X＝（β1，β2，β3）（β1，β2，β3）Y＝（α1，α2，α3）同时有解，亦即向量组的秩相等r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）。对（α1，α2，α3β1，β2，β3）作初等行变换得到矩阵分三种情况来进行讨论：①当a≠±1时，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此时向量组Ⅰ与Ⅱ是等价的。②当a＝1时，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝2此时向量组Ⅰ与Ⅱ是等价的。③当a＝－1时，有r（α1，α2，α3）＝2，r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此时向量组Ⅰ与Ⅱ不是等价的。综上，a≠－1时向量组Ⅰ与Ⅱ等价。将β3用α1，α2，α3线性表示，即方程组k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3有一组不全为零的解，接下来分两种情况来进行讨论：①当a≠±1时，令方程组k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，则有唯一解为（1，－1，1）T，即β3＝α1－α2＋α3。②当a＝1时，令方程组k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，则有通解为k（－2，1，1）T＋（3，－2，0）T，即β3＝（3－2k）α1＋（k－2）α2＋kα3，其中k为任意常数。[问答题]9.（本题满分11分）已知矩阵与相似。（Ⅰ）求x，y；（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B。参考答案：（Ⅰ）相似的矩阵有相同的特征值，因此特征值之和相同，又因为矩阵特征值之和等于矩阵的迹（矩阵对角线元素之和），所以有Σaii＝Σbii，A＝B，即求解得到x＝3，y＝－2。（Ⅱ）矩阵B的特征多项式f（λ）＝λE－B＝（λ－2）（λ＋1）（λ＋2），因此B的特征值为2，－1，－2。A与B相似，因此A的特征值也为2，－1，－2。下面分别求A和B的特征向量：由（2E－A）x＝0，得λ＝2的一个特征向量为α1＝（1，－2，0）T；由（－E－A）x＝0，得λ＝－1的一个特征向量为α2＝（－2，1，0）T；由（－2E－A）x＝0，得λ＝－2的一个特征向量为α3＝（1，－2，－4）T。令则有由（2E－B）x＝0，得λ＝2的一个特征向量为β1＝（1，0，0）T；由（－E－B）x＝0，得λ＝－1的一个特征向量为β2＝（－1，3，0）T；由（－2E－B）x＝0，得λ＝－2的一个特征向量为β3＝（0，0，1）T。令则有于是P1－1AP1＝P2－1BP2，得P2P1－1AP₁P2}－1＝B。令P＝P1P2－1，则有P－1AP＝B，其中[填空题]1.()。参考答案：4e2参考解析：运用重要极限和洛必达法则，计算得[填空题]2.曲线在t＝3π/2对应点处的切线在y轴上的截距为()。参考答案：3π/2＋2参考解析：切线斜率切点为（3π/2＋1，1），所以切线为y＝－x＋3π/2＋2，在y轴上的截距为3π/2＋2。[填空题]3.设函数f（u）可导，z＝yf（y2/x），则2x·（az/ax）＋y·（az/ay）＝()。参考答案：yf（y2/x）参考解析：运用链式求导法则，计