江苏省盐城市晨光中学2022年高三数学理联考试题含解析

江苏省盐城市晨光中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．【解答】解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴an=1+2+3+4+…+n=．答案：C【点评】这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．3.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

（A）cm2

（B）cm2

（C）cm2

（D）20cm2参考答案：B4.若函数在区间(π，2π)内没有最值，则的取值范围是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B易知函数的单调区间为，.由得因为函数在区间内没有最值，所以在区间内单调，所以，所以，解得.由得当时，得当时，得又，所以综上，得的取值范围是故选B.5.如图，已知DE是正△ABC的中位线，沿AD将△ABC折成直二面角B﹣AD﹣C，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．0参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出翻折后异面直线AB与DE所称的余弦值．【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，设正△ABC的边长为2，则A（0，0，），B（1，0，0），D（0，0，0），E（0，，），=（1，0，﹣），=（0，，），∴cos＜＞===﹣，∴翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.给定命题：函数和函数的图象关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值．下列说法正确的是

（

）

A、是假命题

B、是假命题

C、是真命题

D、是真命题参考答案：B略7.任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图X16－1所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形的概率是()A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（） A．f（x）的一条对称轴为x= B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减 C．f（x）的一个对称中心为（，0） D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增 参考答案：D【考点】余弦函数的图象． 【分析】利用f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论． 【解答】解：f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx=sin（2x+φ）=sin（+φ）+sinφ=0， ∴tanφ=﹣，解得φ=﹣+kπ，k∈Z． 令2x﹣+kπ=nπ，n∈Z，可得x=（n﹣k）π+， 令（n﹣k）π+=π，=，矛盾； 令2mπ≤2x﹣+kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，不符合题意； 令2x﹣+kπ=π+mπ，x=+（m﹣k）=，∴=，矛盾； 令π+2mπ≤2x﹣+kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ，+mπ]，符合题意． 故选D． 【点评】本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题． 9.若的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知函数且则函数的图象的一条对称轴是()A. B. C. D.参考答案：A试题分析：函数的对称轴为,因为,所以,即对称轴()则是其中一条对称轴,故选A.考点：三角函数图像辅助角公式定积分二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则=

.

参考答案：12.不等式的解集是

▲

．参考答案：略13.已知函数的图像如图１所示，则＝

．参考答案：14.设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是

．参考答案：4【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15.设函数f（x）=3x3﹣x+a（a＞0），若f（x）恰有两个零点，则a的值为．参考答案：

【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=3x3﹣x+a恰有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由此求得a值．【解答】解：∵f（x）=3x3﹣x+a，∴f′（x）=9x2﹣1，由f'（x）＞0，得x＞或x＜﹣，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，得﹣＜x＜，此时函数单调递减．即当x=﹣时，函数f（x）取得极大值，当x=时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=3x3﹣x+a恰有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由极大值f（﹣）==0，解得a=﹣；再由极小值f（）=，解得a=．∵a＞0，∴a=．故答案为：．16.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3

解析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．17.给出下列四个命题:①函数在区间上存在零点;②或是的必要不充分条件③在中,,则④已知函数的定义域为,存在,使得对于任意的都有成立.其中正确命题的序号是

.参考答案：①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.参考答案：（2）试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.19.如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．参考答案：【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB．（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴，∵PN∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．20.设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．（1）求椭圆M的方程；（2）已知，F是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使△AFP的周长最大？若存在，请求出△AFP周长的最大值，并求此时△AFP的面积；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，再由椭圆和圆的关系，以及a，b，c的关系，求得a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）由题意的定义，求得三角形AFP的周长，由两点间线段最短可得周长的最小值，再由三角形的面积公式，计算可得所求．【解答】解：（1）∵双曲线x2﹣y2=1的离心率为，∴椭圆M的离心率为e==，∵椭圆M内切于圆x2+y2=4，而圆的直径为4，即有2a=4，又b2=a2﹣c2，解得a=2，b=c=，所求椭圆M的方程为+=1；（2）椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：|PF1|+|PF|=4，即|PF|=4﹣|PF1|，△AFP的周长为，当且仅当点P在线段AF1的延长线上时取等号．即有在椭圆M上存在点P，使△AFP的周长取得最大值，直线AF1的方程为，由，由点P在线段AF1的延长线上，可得点P的坐标为，则△AFP的面积．21.已知函数f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间[，e]上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由题意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得最大值，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）方法1：构造辅助函数，g（x）=，求导g′（x）=，根据函数的单调性即可求得g（x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的f（x）的极值点的个数；方法2：分类讨论，根据当a≤1时，根据函数的单调性f（x）在区间（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞1时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得f（x）的极值个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对?x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在区间上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=ex﹣ax（x＞0），则h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=ex﹣a＞0，则x＞lna，可知h（