山东省青岛市第五十七中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

山东省青岛市第五十七中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线两条渐近线的夹角为60°，该双曲线的离心率为（Ａ）或 （Ｂ）或

（Ｃ）或

（Ｄ）或参考答案：A2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．20参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，S5=﹣20，可得a3=﹣4，﹣6a4+3a5=﹣6（a3+d）+3（a3+2d）=﹣3a3=12．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查计算能力．3.已知集合，，则A．

B．

C． D．参考答案：【知识点】交集及其运算．A1

【答案解析】B

解析：=[﹣1，+∞），=（﹣∞，2]，则[﹣1，2]．故选：B．【思路点拨】求解函数的值域化简集合M，N，然后直接取交集得答案．4.若，则向量的夹角为A.45° B.60° C.120° D.135°参考答案：A因为，所以，即，即，所以向量的夹角为，所以，选A.5.已知向量满足，则=（）A．3 B． C．7 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式以及向量的模的计算即可．【解答】解：∵向量满足，∴|+|2=||2+2?+||2=2+2?=1，∴2?=﹣1，∴|2+|2=4||2+4?+||2=4﹣2+1=3，∴|2+|=，故选：B6.已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设，则复数在复平面内对应的点位于（

）

（A）第一象限

（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：答案：C8.向量在正方形网格中的位置如图所示，则（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C考点：平面向量基本定理因为

故答案为：C9.已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A． B．1 C． D．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：z=====+i，∴|z|==1，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．10.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l：与x轴交于点A，点P在直线l上，圆：上有且仅有一个点B满足，则点P的横坐标的取值集合为

．参考答案：以AP为直径的圆与圆C相切，设，所以以AP为直径的圆圆心为，半径为，因此外切时：，内切时：，即点的横坐标的取值集合为

12.等差数列的前项和为，则______________.参考答案：213.设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________．参考答案：因为函数是奇函数，所以，即，所以，即，所以，所以，，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范围是。14.已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则__________．参考答案：由，得，两式相加得，又，，所以，从而.15.在中，，，，则

；

.参考答案：16.若tan（θ+）=，则tanθ=

．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵tan（θ+）===，∴解得：tan．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．17.已知向量夹角为

，且||=1，|2－|=，则||=________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.

参考答案：解（1）设的公差为.因为所以……3分解得或（舍），故，……5分

（2）由（1）可知，，所以.……8分故…………10分略19.在锐角中，内角所对的边分别为.已知（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的最大值.参考答案：略20.如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；（2）求直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接CB1交BC1于点O，连接EC，EB1，推导出EO⊥CB1，EO⊥BC1，从而EO⊥平面BCC1B1，由此能证明平面EBC1⊥平面BCC1B1．（2）取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，推导出C1H⊥平面BB1A1A，则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角，由此能求出直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值．【解答】证明：（1）如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，连接EC，EB1，依题意有；EB=EC1=EC=EB1，…∴EO⊥CB1，EO⊥BC1，∵CB1∩BC1=O，∴EO⊥平面BCC1B1，∵OE?平面BC1E，∴平面EBC1⊥平面BCC1B1．…解：（2）如图2，取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，∵AA1⊥平面ABC，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A，平面A1B1C1∩平面BB1A1A=A1B1，又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1，∴C1H⊥平面BB1A1A，则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角．…令棱长为2a，则C1H=，BC1=，∴所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为．…21.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,其中α为参数,在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为.（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;（2）若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点.求点M到直线l的距离的最大值.参考答案：（1）∵直线的极坐标方程为，即.由，，可得直线的直角坐标方程为.将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.……………5分（2）设，.点的极坐标化为直角坐标为.则.∴点到直线的距离.当，即时，等号成立.∴点到直线的距离的最大值为.……………10分22.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．

因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．

（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱