超几何分布课件 【知识精讲精研】 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布第七章

随机变量及其分布

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)复习回顾

每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是：

每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).采用有放回抽样采用不放回抽样解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2，3，4

则X的分布列是：X01234P

新知探究问题1

已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

概念生成一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为:超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

记为X~H(N,n,M).N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数（如次品数)

概念理解超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

当N=10,M=4时,N-M=6,n=3.当N=10,M=4时,N-M=6,n=8.k的第一个值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一个值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追问1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？概念理解超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①总体中含有两类不同的个体；②不放回地抽取；③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.追问2

怎样判断一个变量是否服从超几何分布？B概念辨析解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，

且N＝50,M＝1,n＝5.例1

从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.容易发现，每个人被抽到的概率都是.这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.因此甲被选中的概率为典例解析反思：以前我们是用什么方法解决这个问题的？解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为例2

一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率为(直接法)(间接法)典例解析(1)设随机变量X，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数

N，M，n的值；(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；(3)用表格的形式列出分布列.求超几何分布的分布列的步骤方法归纳1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.巩固练习课本80页

设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为解：2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.巩固练习课本80页

设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为解：新知探究：超几何分布的均值问题2服从超几何分布的随机变量的均值是什么?设随机变量X

服从超几何分布，则X

可以解释为从包含M件次品的N

件产品中，不放回地随机抽取n

件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率.我们猜想下面对均值进行证明.证明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由随机变量的定义：当m>0时，当m=0时，类似可以证明结论依然成立.若随机变量X服从超几何分布，则有

新知探究：二项分布的均值我们猜想解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为例3

一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布,X的分布列为n重伯努利试验随机变量服从二项分布随机变量服从超几何分布典例解析例3

(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解：(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下表所示.

样本中黄球的比例f20=是一个随机变量,根据表7.4-2算得|f20-0.4|≤0.16≤X≤10有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.典例解析

因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.解：(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下表所示.XP

两种摸球方式下,随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图(图7.4-4)看,超几何分布更集中在均值附近.例3

(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.典例解析

二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律,并且二者的均值相同,对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.问题3：二项分布、超几何分布有什么区别和联系？超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体容量

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算联系不放回放回两两有限无限古典概型独立重复试验(1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集