2022-2023学年浙江省舟山市台门中学高二数学文测试题含解析

2022-2023学年浙江省舟山市台门中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若则函数的单调递增区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.曲线在点(－1,2)处的切线方程为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】先求出曲线在处的导数值，即为切线斜率，进而由点斜式即可得解.【详解】对求导得：，时在点(－1,2)处的切线斜率为3.切线方程为，整理得：.故选D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.3.点P（1，）为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为（）A．（0，，0） B．（0，） C．（1，0，） D．（1，，0）参考答案：D【考点】空间中的点的坐标．【分析】过点（x，y，z）作平面xOy的垂线，垂足的坐标为（x，y，0）．【解答】解：∵点P（1，）为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，∴点Q的坐标为（1，，0）．故选：D．4.判断圆与圆的位置关系A．相离

B.外切

C.内切

D.相交参考答案：D略5.若双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，则K的值是（）A．±24 B．±6 C．24 D．6参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距，求解K即可．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=K的焦距是6，可得=3，解得k=±6．故选：B．6.如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为=．故选：A．7.一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的个数为（▲）个

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B8.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费,超过50kg的部分按0.85元/kg收费.相应收费系统的流程图如图所示,则①处应填（

）.y＝0.85x

B.y＝50×0.53＋(x－50)×0.85

C.y＝0.53x

D.y＝50×0.53＋0.85x参考答案：B9..已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.等差数列中，则的值为（

）

（A）21

(B)

19

(C)

10

(D)

20参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.读程序甲：INPUTi=1

乙：INPUT

I=1000

S=0

S=0WHILEi≤1000

DO

S=S+i

S=S+I

i=i+l

I=I一1

WEND

LoopUNTILI<1

PRINTS

PRINT

SEND

END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是

(

)A．程序不同结果不同

B．程序不同，结果相同C．程序相同结果不同

D．程序相同，结果相同参考答案：B12.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是_______（用分数表示）参考答案：【分析】求出三张卡片全排列和满足条件的事件的种数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片全排列，共有种结果满足条件的事件共有种结果根据古典概型概率公式得到：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.13.已知，，，….类比这些等式，若（均为正实数），则=

．参考答案：4114.函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，则a=

．参考答案：6【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=1，根据导数在x=0和x=1两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，∴导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=1，导数在x=0的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值，∴f（0）=a=6．导数在x=1的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．

故答案为：6．15.函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是

．参考答案：[﹣3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：求出f′（x），因为要求函数的增区间，所以令f′（x）大于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+∞）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．解答： 解：f′（x）=3x2+a，令f′（x）=3x2+a＞0即x2＞﹣，当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得x＞，或x＜﹣；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以≤1，解得a≥﹣3，所以实数a的取值范围是[﹣3，+∞）故答案为：[﹣3，+∞）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．16.如果物体沿与变力=（F单位：N，X单位：M）相同的方向移动，那么从位置0到2变力所做的功W=参考答案：

17.某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有_

__种不同的种花方法。参考答案：72根据题意，分4步进行分析：①，对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②，对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，③，对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，④，对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，则区域4、5共有2+1=3种着色方法；则一共有4×3×2×（1+2）=72种着色方法；故答案为：72

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率…∴直线AB的垂直平分线的斜率为1…又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…∴圆C的半径长…∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称∴点P在直线l：x+y+1=0上∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）…∵以MN为直径的圆经过原点O∴以MN为直径的圆的半径长…∵MN是圆C的弦，∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或∴点P坐标为（﹣1，0）或…∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，∴直线MN的斜率为1…∴直线MN的方程为：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0…【点评】本题考查直线与圆的方程的综合运用，涉及直线与圆的位置关系，解题的关键求出圆的标准方程．19.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点（1，1），且在点（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，求a、b、c的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．【分析】先求函数y=ax2+bx+c的导函数f′（x），再由题意知函数过点（1，1），（2，﹣1），且在点（2，﹣1）处的切线的斜率为1，即f′（2）=1，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可【解答】解：∵f（1）=1，∴a+b+c=1．又f′（x）=2ax+b，∵f′（2）=1，∴4a+b=1．又切点（2，﹣1），∴4a+2b+c=﹣1．把①②③联立得方程组解得即a=3，b=﹣11，c=9．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD（6分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA（9分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．21.（本小题满分12分）2010年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为，且（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款.（利息=贷款量乘以利率）(1)写出小陈采用优惠贷款方式贷款应支付的利息;(2)一年期优惠利率为多少时,两种贷款的利息差最大?参考答案：解：（1）由题意，贷款量为(，应支付利息=

（2）小陈的两种贷款方式的利息差为

令=0，解得或

当

所以，时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率为4.68%时,利息差最大.略22.已知直线l的极坐标方程为（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），圆C的参数方程为（为参数）（Ⅰ）当时，求圆心C到直线l的距离；（Ⅱ）若直线l被圆C截的弦长为，求a的值.参考答案：