75知识讲解 合情推理与演绎推(理)(提高)1211

合情推理与演绎推理【学习目标】理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。”.【要点梳理】要点一、推理的概念及分类推理的概念：或假设)()叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．要点诠释：任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什因为根据……，可知……”“如果……，那么……”等．推理的分类：合情推理推理演绎推理合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等、实验和实践的结果、个人的经验和推理是最常见的合情推理。归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理的推理过程要点诠释：演绎推理：演绎推理是由一般到特殊的推理．要点二、归纳推理定义：事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳。归纳推理的特点归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前“”的情况有可能发生的（述的；前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．要点诠释：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.运用归纳推理时的一般步骤通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律；把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想；对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．一般模式：部分整体，个体一般一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.完全归纳法和不完全归纳法完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的逻辑论证和实践检验．要点三、类比推理定义：类比推理（以下简称类比）其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理的几个特点基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．运用类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性．用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想．要点诠释：越可靠．事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性具有必然性．类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．要点四、演绎推理定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.要点诠释：①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称——结论．（3）用集合的观点理解“三段论”M的所有元素都具有性质PSM的子集，那么S中所有元素都具有性质P要点诠释：它是完全可靠的推理。要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理．②类比推理是由特殊到特殊的推理．③演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。②演绎推理所得的结论一定正确。总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发.要点诠释：注意：在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．【典型例题】类型一、归纳推理1.用推理的形式表示数列23,3343,n3,的前nSn.【思路点拨】依题意，Sn

表示数列的前n项和，即Sn

132333n3.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出S与n.n【解析】对数列,23,33,43,,n3,的前1,2,3,4,5 项和分别进行计算：S 1，1S 23932(12)2，2S 23333662(123)2，3S 233343100102(1234)2，4S 23334353225152(12345)2.5观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，n(n1)2 n2(n1)2由此猜想数列的前n项和Sn

(123n)2

2 4 .【总结升华】】①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理..③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前n项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系..举一反三：【变式】在数{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an( )1A．2n－2－2B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4【答案】∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.故应选B.【变式】用推理的形式表示等差数列135，2n－1的前n项和S.n【答案】对等差数列，，，，2n，的前，，6项的和分别进行计算：S1；1S 13422；2S 135932；3S 13571642；4S 135792552；5S 13579113662；6观察可得，前n项和等于序号的平方，由此可猜想Sn【变式3】

n2.各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q 都有a am n

ap

。当a1b4时，求通项公式a。(1am

)(1an

) (1ap

)(1a) 2 5 nq【解析】由

a am n

a ap q(1am

)(1an

) (1ap

)(1a)q得(11得(11a)(1na)(12an1a。1n2n1

a a)1 4 2a 1将a，a

代入化简得a

n11 2 2

n a 2n1n=3

2a126331。23 a2 28 122n=4

2a180341。34 a2 82 34133∴由此归纳出a

3n1

（n∈N*）n 3n1（归纳猜想出的结论应予以严格证明才可，此处证明略）2．12部分，24部分，3条相交但不共点的7条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？n3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论.【解析】设平面被nSnn=1时，S1=1+1=2；当n=2时，S2=1+1+2=4；当n=3时，S3=1+1+2+3=7；当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11.据此猜想，得S

1n(n1)

n2n2.n 2 2个数的差的规律是成等差数列，故可归纳。举一反三：【高清课堂：401470例题2】【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。【高清课堂：401470例题1】【变式】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规,试猜测第n个图中有个.( )n21【答案】D

n2n

C.n+1 D.n2n1第(2),1,,共有2(21)1个点;第(3),1,共有3(31)1个点;第(4),中间有1,共有4(41)1个点;第(5),中间有1,共有5(51)1个点;……,n1另外的点指向n,n-1个点共n(n-11n2n1个点.【变式3】将正△ABC分割成个全等的小正三角（如图图2-1-1-2分别给出了n=2，3的情形在每个三角形的顶点各放置一个数使位于的三边及平行于某边的任一直线上的（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为（，则有（f3 ，f（） 。【答案】n=32-1-13y1+y2=b+c，z1+z2=c+a。x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z。26g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2。即g1而f(3)abcxx

y

z

g12110。3进一步可求得f（4）=5。

1 2

2 1 2 3 3∵f(1)1

3 6 33 3，f(2) f(1) 。3 3 3 310 64 4f(3) f(2) ，3 3 3105 5f(4)5 f(3) 。3 3n1由此归纳出f(n)f(n1) ，3n1 n1 n所以f(n)f(n1) f(n2) 3 3 3L

n1nn1L3f(1)

n1nn1L321

1(n2)。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6类型二、类比推理例3.在中,若C900,则cos2

Acos2B1,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想。【思路点拨】从方法的类比入手。【解析】,PABC中，三个侧面PABPBCPCA两两垂直，且与底面所成的角分别为,，则cos2cos2cos21”PABC的射影为O，延长COABMPOh由PCPA,PCPB得PC面PAB，从而PCPM，又PMCcossinPCO

h ，cos h ，cos hPC PA PBV

1PAPBPC1(1PAPBcos1PBPCcos1PCPAcos)hPABC

6 32 2 2 cos cos ( )h1即cos2 cos2 cos2 1PC PA PB【总结升华】主要考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间。角等等；找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）举一反三：a2b2【变式】在中，若则△ABC的外接圆半径ra2b22展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S—ABC中，若、SBSC两两垂直则四面体S—ABC的外接球半径R= .a2a2b2c23例4.已知等差数列an

的公差为d，前n项和Sn

有如下性质：②若mnpq，则a am n

a ap

(m,n,p,qN*)③若mn2p(m,n,pN*)，则a a 2a .m n p类比上述性质，在等比数列bn

中，写出相类似的性质.【解析】在等比数列bn

中，公比为q，前n项和为Sn②若mnpq，则a am n

a ap

(m,n,p,qN*)③若mn2p，则a am n

a2p

pN*)【总结升华】本题考查等差数列与等比数列的类一种较本质的认识是：等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若m,n,p,qN*,mnpq,则a am n

a a ；p q等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若m,n,p,qN*,且mnpq,则a a a a）.m n p q举一反三：【变式1】已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差列定义给等和数的定义： ；已知数列an

是等和数列，且a1

2，公和为5，那么a18

的值．这个数列的前n项和S 的n计算公式．【答案】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个5n1n为奇数 2常数叫做该数列的公和；a18

3；Sn

y

5n,n为偶数2【变式2】通过计算可得下列等式：22－12=2×1+1，32－22=2×2+142－32=2×3+1，……(n+1)2－n2=2×n+1。将以上各等式两边分别相加得：(n+1)2－12=2(1+2+…+n)+n，n(n1)即123Ln 。2（1）类比上述求法，请你求出12+22+32+…+n2的值。（2）根据上述结论试求12+32+52+…+992的值。【答案】（1）∵23－13=3×12+3×1+1，33－23=3×22+3×2+1，43－33=3×32+3×3+1，……(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。将以上各式两边分别相加得(n+1)3－13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n，1 (1n) 1∴1222Ln2

3(n131n

2 n

n(n1)(2n1)。6（2）12+32+52+…+992=12+22+32+…+1002―(22+42+62+…+1002)=12+22+32+…+1002―4(12+22+32+…+502)1 1= ×100×101×201－4× ×50×51×101=166650。6 6类型三：演绎推理例5. 用三段论的形式写出下列演绎推理．菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直．和∠2和∠2不是对顶角．（3）是有理数．【解析】正方形是菱形正方形的对角线互相垂直两个角是对顶角则两角相等（大前提）（小前提）（结论）（大前提）∠1和∠2不相等（小前提）∠1和∠2不是对顶角（结论）（3）所有的循环小数都是有理数（大前提）0.33g是循环小数 （小前提）0.33g是有理数 （结论）【总结升华】】””在大前提和小前提后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．举一反三：【变式】把下列演绎推理写成三段论的形式．在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．【答案】大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃；小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃；结论：水会沸腾．例．已知：在梯形D中（如右图所示．C和D是它的对角线．求证：1.AC平分∠BCD，2.DB平分∠CBA．【解析】1.（1）等腰三角形两底角相等， （大前提）△DAC是等腰三角形、DC是两腰， （小前提）∠1=∠2． （结论）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等， （大前提）∠1和∠3是平行线BC被AC截出的内错角， （小前提）∠1=∠3． （结论）等于同一个量的两个量相等， （大前提）∠2和∠3都等于（小前提）∠2=∠3． （结论ACDB【总结升华】】这个证明中如果把2.也详细地写出，则一共进行六次三段论推理．因此一个命题的证明形式，确切地并不写出，某一次三段论推理的小前提如果是它前面某次三段论推理的结论，也就不再写出了．如上的证明可写成：（省略了大前提）∴∠1=∠2．∵AD∥BC，且被AC截得内错角为和∠3， （省略大前提）∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，即AC平分（省略大前提