2022高考数学文人教A版一轮复习学案7.3 合情推理与演绎推理 【含解析】

7.3 合情推理与演绎推理必备知识预案自诊知识梳理合情推理定义特点由的推理到、由到由到的推理一般步骤通过个别情况发现某些相同性质;定义特点由的推理到、由到由到的推理一般步骤通过个别情况发现某些相同性质;题(猜想)找出两类事物之间的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)归纳推理类比推理由某类事物的具有某些特征,推出该类由两类对象具有和其中一类对象事物的都具有这些特征的推理,或者由的,推出另一类对象也具有这概括出的推理些特征的推理演绎推理定义:,我们把这种推理称为演绎推理.特点:(3)模式:“:““三段论”的结构①大前提——已知的;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对的判断做出“三段论”的表示①大前提——②小前提——③结论——SP;;1考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)归纳推理得到的结论不一定正类比推理得到的结论一定正. ((2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推. ((3)在类比平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合.((4)“所有3的倍数都是9的倍某数m是3的倍则m一定是9的倍这是三段论推理但其结论是错误. ()n(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是a=n(n∈N*). ((6)在演绎推理只要符合演绎推理的形,结论就一定正. (2.下列说法正确的()nA.B.合情推理得到的结论一定是正确的C.合情推理得到的结论不一定正确D.3.如图根据图中的数构成的规,a表示的数是 ( )A.12 B.48C.60 D.1444.(2020山东潍坊二,3)甲、乙、丙三人,一人是律,一人是医一人是记.已知的年龄比医生甲的年龄和记者不记者的年龄比乙根据以上情下列判断正确的是( )A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师n n 46 3n n 5 7 4 5.(20206){a中a>0,d≠0,aa>aa.类比{b中,b>0,q≠0,bn n 46 3n n 5 7 4 ()2PAGEPAGE3A.b5b7>b4b8 B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5关键能力学案突破考考点归纳推理(多考向探究)考向1 数的归纳【例(2020安徽寿县一,文下面的数表森德拉姆其特点是表中的每行每上的数都成等差数,则第n行第n个数字( )2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1……………C.n2+1 D.n2思考归纳推理的步骤是什么?考向2 式的归纳

=1,

+ 1 =1,

+ 1 + 1 =1 +1+21 +…+ 1 等于(

31+2)

1+2+3

21+2

1+2+3

1+2+3+4

1+21+2+3 1+2+…+12A.5 B.11 C.11 D.126 12 13 13思考式的归纳如何实现?考向3 形的归纳【例】(2020湖南大学附中9月摸,理10)如图所,在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属按下列规,把金属片从一根针上全部移到另一根针每次只能移动一个金属;②在每次移动过程每根针上较大的金属片不能放在较小的金属上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(6)=( )A.61 B.33 C.63 D.65思考形的归纳有几种?解题心得1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.常见的归纳推理分为数、式的归纳和形的归纳两类::,找出等式左右两侧的规律及符号可解.:①与不等式有关的推理:观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解;②与数列有关的推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可;,.对点训练1(1)如下分组正整数对:第一组为{(1,2),(2,1)},第二组为{(1,3),(3,1)},第三组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四组{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此规则第30组第20个数对( )A.(12,20) B.(20,10) C.(21,11) D.(20,12)71373对于大于1的自然数m分裂”:23{,33{9,4315…,仿此若m3的分裂中有一个是123,则m为( )A.9 B.10 C.11

5 11

17,19()n(n>1,n∈N*),a则

+ 9

9

9 = .n 𝑎2𝑎3

𝑎3𝑎4

𝑎4𝑎5

𝑎2019𝑎2020考考点类比推理【例4(1如果O是线段AB则·+·将它类比到平面O△ABC

·+S

·

·𝐶0将它类比到空间的情形△OBC应该是OABCD,则有

△OCA

△OBA(2)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+ 1 中“…”,,1+1=x1+ 1

𝑥 21+…类似上述过则√6+√6+√6+…( )A.1 B.2 C.3 D.4思考类比推理的关键是什么?解题心得类比推理的关键及类型..②用一类事物的(或猜想).(,,);;圆锥曲线间的类比等.2

=n(n+1),

𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)-(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)求出数列{a

}的前n项和n = 3 n𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)S= ,b=n(n+1)(n+2),}n项和n 3 n n考点演绎推理T考点演绎推理】已知i,(cos1+isin1)·(cos2+isin2)=cos3+isin3;(cos3+isin3)·(cos4+isin4)=cos7+isin7;(cos5+isin5)·(cos6+isin6)=cos11+isin11;(cos7+isin7)·(cos8+isin8)=cos15+isin15.f(α)=cosα+isinα,α∈R.f(α),f(β),f(α+β);(2)计算:(2)计算:√3+1i6.思考演绎推理中得出的结论一定正确吗?,.,,可找一,,.3(1)(2020f(x)=2x+1,有下列四个命题:;;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定f(x)=2x+1其中正确的命题是()A.①② B.②④C.②③ D.①③已知函数y=x对任意bR,,都有aa+b>ab+ba试证明y=为R上的增函数.考考点生活中的合情推理【例】(1)(2020,10),,A,B,C,D50个,需要将发送给A,B,C,D四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,1,则()162种可行方案151种可行方案161种可行方案152种可行方案(2)(2020湖南长郡中学四,文14)甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游方法如第一步先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋(如图所),甲从中记下某个棋子坐标;第二甲分别告诉其他三告诉乙棋子的横坐,告诉丙棋子的纵坐告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相第三,由乙、丙、丁依次回对话如:乙先说我无法确,丙接着说我也无法确最后丁说我知则甲记下的棋子的坐标为 .思考如何解决生活中的合情推理问题?解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”——已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.对点训练4(1)(2020,5),乙的夜班比庚早三天,()A.甲 B.丙C.戊 D.庚(2)(2020理5)关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:,.()A.甲 B.丙C.甲与丙 D.甲与乙11.合情推理与演绎推理的区别(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演绎推理是由一般到特殊的推理;(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若大前提、小前提和推理形式正确,得到的结论一定正确.在数学研究中在数学研究中在得到一个新结论前合情推理能帮助猜测和发现结论在证明一个数学结论之前情推理常常能为证明提供思路与方向数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.“三段论式的演绎推理一定要保证大前提正确且小前提是大前提的子集关系这样经过正确推理才能得出正确结论.7.3 合情推理与演绎推理必备知识·预案自诊知识梳理部分整体特殊一般特殊特殊2.(3)①条件③特殊问题①M是P ②S是MPAGEPAGE81.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

考点自诊C A;,它们得到的结论不一定正确,故B,D错误,C正确.故选C.D ,nn个数n≥3时每一行的第一个数与最后一个数都等于n,中间每个数等于其肩上两个数的积,则a所表示的数是12×12=144.故选D.C ,,从而排除BD;,C.C {a}中4+6=3+7时,

a>aa,类比到等比数列{b}中,由5+7=4+8n时,b4+b8>b5+b因为

46 37 n7b4+b8-(b5+b)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b(1-q)+b4q3(q-1)=b(1-q)(1-q3)=b(1-q)2(1+q+q2)>0,所以7 4 4 4b4+b8>b5+b7成立.故选C.关键能力·学案突破例1C 设第n行第n个数字是a ,由题意第n行是首项为n+1,公差为n的等差数,nn所以a =(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故选C.nn例2C 1

=1, 1 + 1

=1=2, 1 + 1

1 =3,…,则1 +1+2

31+2 1+2+3

41+2 1+2+3 1+2+3+4

1+21 +…+ 1 =11.C.1+2+3 1+2+…+12 13例3C 由题设可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移动过程,每根针上较大的属片不能放在较小的金属片上,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推导出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故选C.对点训练1(1)C (2)C (3)20182019

(1)由题意可知第一组的各个数字和为3,第二组各个数4,5,6,…,nn+2,,3032,3020(21,11).C.(2)23m3,32+3+4+…+m=(2+𝑚)(𝑚-1)个,21233123-3+1=61个奇数m=10时(2+10)×(10-1)=54,2 2当m=11时,用去了(2+11)×(11-1)=65个奇数,故m=11.故选C.2(3)每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,n3n-3,

=3n-3,S=

+ 9 +

+…+

= 1 +n n 𝑎2𝑎3

𝑎3𝑎4

𝑎4𝑎5 𝑎2019𝑎2020

1×21+…+

=1-1+1−1+…+ 1 −

=2018,故答案为2018.2×3 2018×2019 2 2 3

2019

2019

2019例4(1V ·+V ·+V ·+V ·O-BCD O-ACD O-ABD O-ABC

⃗0 (2)B (1线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为V ·+V ·+V ·+V O-BCD O-ACD O-ABD O-ABC

⃗0.(2)由题知6+6+6+的值可以通过方程6+𝑥=x求出,因为6+𝑥=x,解得x2,所以√6+√6+6+2故选B.2𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)4

类比题中的方法裂项可得,n(n+1)(n+2)=𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)-(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)(𝑛+2),4则数列{b

}n

=𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3).n n 4例5解(1)猜想f(α)f(β)=f(α+β),f(α)f(β)=(cosα+isinα)·(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+(sinαcosβ+cosαsinβ)i=cos(α+β)+isin(α+β)=f(α+β).(2)因为f(α)f(β)=f(α+β),所以fn(α)=f(α)·f(α)·…·f(α)=f(nα)=cosnα+isinnα,所以√所以√3+1i6= cosπ+isinπ 6=cosπ+isinπ=-1.3(1)Df(x)=2x+1,,即大前提是,小前提是函数f(x)=2x+1函数f(x)=2x+1是增函数.由此可知,给出的四个命题中,①③正确,②④不正确.1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 (2)证明设x,x∈R,且x<x,则由题意得xf(x)+xf(x)>xf(x)+xf(x1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 所以x[f(x)-f(x)]+x[f(x)-f(x)]>0,[f(x)-f(x)](x-x)>01 1 2 2 2 1 2 1 2 因为x1<x

)-f(x

) 0,>1