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文档简介

柯西不等式与排序不等式及其应用学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．

2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.

3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点：

柯西不等式及排序不等式的应用.

难点：

利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式

学习策略：

这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。

知识要点梳理

知识点一：柯西不等式

1．二维形式的柯西不等式：

（1）向量形式：

设是两个向量，则

（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。

（2）代数形式：

①若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）

②若a、b、c、d都是正实数，则

（当且仅当ad=bc时，等号成立）

③若a、b、c、d都是实数，则

（当且仅当ad=bc时，等号成立）

注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；

（3）三角形式：

设，则。

2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：

若都是实数，

则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：

若都是实数，则

，

当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

知识点二：排序不等式（又称排序原理）

设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则

≤≤

即：反序和≤乱序和≤顺序和．

当且仅当时，反序和等于顺序和。

注意：

学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．

规律方法指导

（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使

一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

（2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。

（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减

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