轴心受压杆件的整体稳定

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3.1轴心受压构件的整体失稳现象无缺陷的轴心受压构件在压力较小时，只有轴向压缩变形，并保持直线平衡状态。此时如果有干扰力（或荷载继续加大）使构件产生微小弯曲，当撤去干扰力（或荷载），构件将恢复到原来的直线平衡状态，则此构件处于稳定平衡状态；若构件不能恢复到原来的直线平衡状态，则此构件处于不稳定平衡状态。

我们研究的内容就是找出从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态之间的临界状态，并将构件控制在临界状态之内，那么构件就是稳定的。第三章轴心受压杆件的整体稳定无缺陷的轴心受压构件（双轴对称的工型截面）通常发生弯曲失稳，构件的变形发生了性质上的变化，即构件由直线形式改变为弯曲形式，且这种变化带有突然性。对某些抗扭刚度较差的轴心受压构件（十字形截面），当轴心压力达到临界值时，稳定平衡状态不再保持而发生微扭转。当轴心力在稍微增加，则扭转变形迅速增大而使构件丧失承载能力，这种现象称为扭转失稳。截面为单轴对称（T形截面）的轴心受压构件绕对称轴失稳时，由于截面形心和剪切中心不重合，在发生弯曲变形的同时必然伴随有扭转变形，这种现象称为弯扭失稳。轴心受压构件的三种整体失稳状态第三章轴心受压杆件的整体稳定

（a）弯曲失稳（b）扭转失稳（c）弯扭失稳第三章轴心受压杆件的整体稳定§3.2理想轴心受压构件弯曲失稳

理想轴心受压构件（1）杆件为等截面理想直杆；（2）压力作用线与杆件形心轴重合；（3）材料为匀质，各项同性且无限弹性，符合虎克定律；（4）构件无初应力，节点铰支。3.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载

欧拉（Euler）早在1744年通过对理想轴心压杆的整体稳定问题进行的研究，当轴心力达到临界值时，压杆处于屈曲的微弯状态。在弹性微弯状态下，根据外力矩平衡条件，可建立平衡微分方程，求解后得到了著名的欧拉临界力和欧拉临界应力。第三章轴心受压杆件的整体稳定方程通解：临界力：临界应力：欧拉公式：第三章轴心受压杆件的整体稳定Ncr——欧拉临界力，常计作NE

cr——欧拉临界应力，常计作E

E——材料的弹性模量A——压杆的截面面积——杆件长细比（=l0/i）i——回转半径（i2=I/A）m----构件的计算长度系数l----构件的几何长度1、理想轴心受压构件弯曲屈曲临界力随抗弯刚度的增加和构件几何长度的减小而增大；2、当构件两端为其它支承情况时，通过杆件计算长度的方法考虑。第三章轴心受压杆件的整体稳定§3.3理想轴心受压构件的非弹性弯曲失稳

弹性屈曲与非弹性屈曲

欧拉公式只适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例极限，即：第三章轴心受压杆件的整体稳定

1889年恩格塞尔（EngesserF.）提出了切线模量理论，建议用变化的变形模量Et代替欧拉公式中的弹性模量E，从而得到弹塑性临界力。切线模量理论采用如下假定：①杆件是挺直的；②杆件两端铰接，荷载沿杆轴线作用；③杆件产生微小的弯曲变形（小变形假定）；④弯曲前的平截面弯曲变形后仍为平面；⑤弯曲变形时全截面没有出现反号应变。轴向增加的平均压应力大于因弯曲引起杆件凸侧纤维的拉应力。

切线模量理论（tangentmodulustheory）2t2crlIEFp=2t2crlpsE=第三章轴心受压杆件的整体稳定33图3.5第三章轴心受压杆件的整体稳定

双模量理论（doublemodulustheory）

双模量的概念是康西德尔（ConsidereA.）于1891年提出的，该理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的轴向荷载保持常量；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应变，即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区（凸面）的变形模量为弹性模量E，因为Et<E，弯曲时截面的弯曲中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移。，称为折算模量中性轴的位置确定第三章轴心受压杆件的整体稳定§3.2.3缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响

理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，实际结构都存在不同程度的缺陷，一般指几何缺陷和力学缺陷。试验和理论分析均表明，缺陷的存在降低了构件的稳定承载力，因此不能直接用理想条件所得到的临界力作为设计标准，而应考虑缺陷的影响。

第三章轴心受压杆件的整体稳定1、初弯曲（初挠度）的影响

经实测得到的型钢和焊接组合截面钢构件的初弯曲形状如图中实线所示第三章轴心受压杆件的整体稳定

钢构件的初始弯曲形式多样，分析中通常假设杆轴线的初始弯曲挠度曲线为正弦曲线（如图中虚线所示），这样能简化分析而不影响结果的普遍性。令其通解为

EI/Fα²=()00=++¢¢yyFyEIlxaαyαypsin22-=+¢¢lxFE/1aF/FEαxBαxAypFsincossin-++=第三章轴心受压杆件的整体稳定

根据边界条件：x=0,y=0;x=l,y=0得：当有初弯曲时,则,只有方程的解为

从上述求解过程可以看出，利用边界条件并不能得到稳定方程解出临界力。不妨分析荷载—挠度曲线，从中找出临界力。在P作用下，杆件任一点的总挠度为Y0=B0sin=αlA0sin¹αl0=AlxaF/FE1F/FEypsin-=lxaF/Flxa1F/FEyyyppsin11sin1E0-=øöççèæ-+=+=F/FE第三章轴心受压杆件的整体稳定当时，杆件中点的总挠度为相应的荷载—挠度曲线见图。图中实线表示构件是完全弹性的，以时的水平线为其渐近线，当杆件中点挠度时，F才逼近临界荷载FE，与初始挠度值无关。实际材料不是无限弹性的，对于有初始弯曲的实际轴心受压构件，当截面承受较大弯矩时就开始屈服而进入弹塑性状态，荷载—挠度曲线如图中虚线所示，从图中可知，有初始弯曲的轴心受压柱实际上是极值点失稳问题，其极限荷载并不是FE而是Fu。E1F/Fa-=dEFF=第三章轴心受压杆件的整体稳定构件初弯曲（初挠度）的影响0.50a=3mm1.0Ym/aa=1mma=0ABB’A’有初弯曲的轴心受压构件的荷载－挠度曲线如图，具有以下特点：①y和Y与a成正比，随P

的增大而加速增大；②初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力PE；当y趋于无穷时，P趋于PE

fy0λ欧拉临界曲线对x轴仅考虑初弯曲的柱子曲线对y轴xxyyscr第三章轴心受压杆件的整体稳定3、残余应力的影响

型钢轧制、组合截面钢构件制作过程中的焊接及火焰切割等，都可以在构件中产生自相平衡的应力，即残余应力。残余应力虽然不影响结构的静力强度，但对疲劳强度、钢材的低温冷脆性能、结构的刚度和稳定性能均有不利影响。

残余应力降低构件的刚度

残余应力降低构件的临界力

第三章轴心受压杆件的整体稳定

由于柱截面有残余应力（本例中其峰值为）而提前屈服，导致截面弹性区缩小所造成的。理想弹塑性体本应该在平均应力达到时屈服，现在提前在应力为时开始屈服，当翼缘端部的残余应力值更大时，纤维开始屈服时的平均应力将更小。如果不是短柱而是一般的中长柱，由于有残余应力使构件截面提前屈服、弹性部分减小，当构件开始屈曲而变为微弯过程中，构件截面只有弹性部分起抗弯作用，构件截面弹性部分减小导致刚度不断降低。

残余应力降低构件的刚度

第三章轴心受压杆件的整体稳定

残余应力降低构件的临界力

以两端铰接的挺直轴心受压轧制宽翼缘工字钢构件为例，由于有残余应力，对存在弹塑性屈曲问题的中长柱，发生屈曲时构件截面只有弹性部分起抗弯作用，则构件的临界力为比值称为临界力折减系数。

相应的临界应力为当绕强轴（x轴）弯曲时，若忽略腹板的影响，有IIlEIlEtIFe222e2cr´==pp第三章轴心受压杆件的整体稳定当绕弱轴（y轴）弯曲时，有

截面残余应力对稳定承载力的影响：（1）残余应力降低了构件的稳定承载力；（2）同样的截面形式，不同的残余应力发布影响不同；（3）同样的截面，同样的残余应力，对不同的轴影响不同。第三章轴心受压杆件的整体稳定残余应力对构件稳定承载力的影响

fy0λ欧拉临界曲线σcrxσcryσE仅考虑残余应力的柱子曲线lp第三章轴心受压杆件的整体稳定实际轴心受压构件的整体稳定a、b、c、d四条柱子曲线第三章轴心受压杆件的整体稳定3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定图3.13

实际工程中受压杆件的端部大多既非铰接又非固接，而是介于铰接和固接之间，可称为具有弹性支承的受压杆件。第三章轴心受压杆件的整体稳定（1）一端固定一端弹性水平约束支承的压杆或δ—弹性支承端B的水平位移；kb-—弹簧刚度令α²=F/E，式（3.35）的通解为：由边界条件y(0)=0,y`(x)=0,y(l)=-δ得到线性代数方程组：；第三章轴心受压杆件的整体稳定由α²=F/EI

和，得令则；可表示为：第三章轴心受压杆件的整体稳定（2）一端自由一端弹性转动约束支承的压杆图3.15杆件在微弯曲平衡状态下，任一截面的弯矩为M=-F（δ-y），杆件失稳的平衡方程为：边界条件为：y（0）=0;y`(0)=θ=Fδ/R;y(L)=δ（3.42）解微分方程（3.4.2），并利用边界条件，得稳定方程：；第三章轴心受压杆件的整体稳定（3）一端铰支一端弹性转动约束支承的压杆图3.16杆件在微弯曲平衡状态下，任一截面的弯矩为M=Fy+FQ(l-x),杆件失稳的平衡微分方程为：（3.44）相应的边界条件为：有y（0）=0，y`（0）=-FQl/R,y(l)=0解微分方程（3.44），并利用边界条件，得稳定方程：(3.45)第三章轴心受压杆件的整体稳定3.2.7变截面轴心压杆的稳定如图所示的一级台阶轴心受压杆件平衡方程其通解分别为：第三章轴心受压杆件的整体稳定由边界条件及连续性条件得到：方程（3.52）中A1、B1和δ不全为0的条件是：展开式（3.53）后，得到稳定方程（3.54）第三章轴心受压杆件的整体稳定令β=l1/l2,m=I2/I1,则，式（3.54）可写为（3.55）

对在台阶处还有轴向力F2的情况，可采用相同的方法得到稳定方程：式中，第三章轴心受压杆件的整体稳定3.3.1剪切变形对临界力的影响EIGAlFP设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为和

同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立:二者共同影响产生的挠度为弯矩引起的变形曲率为剪力引起变形曲率为挠曲微分方程为或第三章轴心受压杆件的整体稳定EIGAlFP对于图示两端铰支的等截面杆,有令方程的通解边界条件代入曲微分方程得Sinml=0第三章轴心受压杆件的整体稳定临界荷载为：式中剪力的影响为式中，为单位剪力FQ=1作用下产生的附加转角，为欧拉临界应力第三章轴心受压杆件的整体稳定

大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离开一定的距离，获得较大的I，增强稳定性。扣件缀条式：斜杆、横杆与柱肢铰接。P缀板式：横杆与柱肢刚接。Pdb

组合压杆的临界荷载不仅与肢杆的横截面面积有关，还与扣件的横截面面积、排列形式和位置有关。组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临