云南省昆明市羊街中学2021年高三数学理模拟试题含解析

云南省昆明市羊街中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.若正数满足：，则的最小值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C3.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C【分析】先根据复数的四则运算求得z，再利用复数几何意义求解结论.【详解】由，得，则，∴复数在复平面内对应的点为，∴复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础题.4.如图是函数在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且，则A?w的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知函数有导数，且，则为（

）

A.-1

B.3

C.1

D.2参考答案：B略6.设实数满足条件且的最小值为，则的最大值为

（

）10

12

14

15

参考答案：A略7.已知函数，。定义：，，……，，…满足的点称为的n阶不动点。则的n阶不动点的个数是（

） A．n个

B．2n2个

C．2（2n-1）个

D．2n个参考答案：D函数，当时，，当时，，∴的1阶不动点的个数为2，当，，当，当，当，∴的2阶不动点的个数为，以此类推，的n阶不动点的个数是个。8.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(

)

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时满足条件，输出，选B.9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中，平面，由图可得：，所以，，所以最长的棱长.故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.10.已知集合，，则RA=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果解答：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．点评：本题考查古典概型，考查对数的性质，是一个比较简单的综合题，解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数．12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，则球的表面积为.参考答案：【知识点】球的体积和表面积．菁优G8

解析：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为.【思路点拨】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．13.已知平面区域，则平面区域的面积为

．参考答案：14.已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为

．参考答案：略15.数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为，第项及以后各项的和为，若

，

，,…,,则等于

．

参考答案：16.若实数a、b、c成等差数列，点P(–1,0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0,3)，则线段MN长度的最小值是

参考答案：17.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为

．参考答案：4【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出an、Sn，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？参考答案：解析：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增汽车万辆，则，对于，有所以当，即时。当，即时数列逐项增加，可以任意靠近因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即（）则，即万辆综上，每年新增汽车不应超过万辆。19.（本小题满分12分）编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数

（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．参考答案：，共15种。…………8分20.（12分）

设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且成等比数列。

(I)证明；

(II)求公差的值和数列的通项公式。参考答案：解析：(I)证明：因成等比数列，故而

是等差数列，有于是

即

化简得

(II)解：由条件和得到由(I)，代入上式得

故

因此，数列的通项公式为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21.已知数列{}的前n项和为，满足

（1）证明:数列{+2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；

（2）若数列{}满足，设是数列的前n项和，求证：参考答案：证明：（1）由得：Sn=2an－2n当n∈N*时，Sn=2an－2n，①

则当n≥2,n∈N*时，Sn－1=2an－1－2(n－1).

②

①－②，得an=2an－2an－1－2，

即an=2an－1+2，

∴an+2=2(an－1+2)

∴

当n=1时，S1=2a1－2，则a1=2，

∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列.……5分∴an+2=4·2n－1，∴an=2n+1－2，

（2）证明：由

则③

，④

③－④，得

所以：.22.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】综合题．【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．由余弦定理得BC=．所以船的行驶速度为（海里/小时）．

（II）如图所示，设直线AE与BC