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文档简介
2022年全国统一高考数学试卷(新高考I)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)若集合M={x|«V4},N={x|3x21},则MAN=()
A.{x|0^x<2}B.{x||^x<2}
C.{x|3WxV16}D.{x||^x<16}
2.(5分)若i(1—z)=1,则z+2=()
A.-2B.-1C.1D.2
3.(5分)在aABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记刀=落CD=n,则
CB=()
A.3n~2nB.-2n+3nC.3jr+2nD.2^+3n
4.(5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分
水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;
水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间
的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水
量约为(V7p2.65)()
A.1.0X109m3B.1.2X109m3
C.1.4X109m3D.1.6X109m3
5.(5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的
概率为()
1112
--c.--
A.6B.32D.3
6.(5分)记函数f(x)=sin(u)x+-)+b(w>0)的最小正周期为T.若
4
手VTVTT,且y=f(x)的图像关于点(芸2)中心对称,则f(;)=()
35
Ic3
X--
2-2D.
A.B.
61贝
/z69(z
7.xl.Ienx
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.a<c<b
8.(5分)已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36%且3W1W3百,则该正四棱锥体积的取值范围是()
A.[18,蜘B.苧孝
C.[.,D.[18,27]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项
中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得
0分。
(多选)9.(5分)已知正方体ABCD—AiBiJDi,则()
A.直线BCi与DA1所成的角为90°
B.直线BQ与CAi所成的角为90°
C.直线BC]与平面BBjDiD所成的角为45°
D.直线BC】与平面ABCD所成的角为45°
(多选)10.(5分)已知函数f(x)=x3-x+l,则()
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
(多选)11.(5分)已知0为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py
(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()
A.C的准线为y=—1B.直线AB与C相切
C.|OP|*|OQ|>|OA|2D.|BP|«|BQ|>|BA|2
(多选)12.(5分)已知函数f(x)及其导函数#(x)的定义域均为R,
记g(x)=f'(x).若f(|-2x),g(2+x)均为偶函数,则()
A.f(0)=0B.g(-i)=0
02
C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
o
13.(5分)(1一9(x+y)的展开式中x2y6的系数为(用数字作
答).
22
14.(5分)写出与圆x2+y2=l和(x-3)+(y-4)=16都相切的一
条直线的方程.
15.(5分)若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线,则a的取值范
围是.
16.(5分)已知椭圆C:(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点
为F〉F2,离心率为去过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,
则4ADE的周长是.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
17.(10分)记Sn为数列{aj的前n项和,已知a1=l,{闻是公差为第勺等
an3
差数列.
(1)求{aj的通项公式;
(2)证明:-+-+-+-<2.
aia2an
18.(12分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知」艺上=
1+sinA
sin2B
l+cos2B
(1)若C=§求B;
(2)求审的最小值.
19.(12分)如图,直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,AA^C的面积为2a.
(1)求A到平面AiBC的距离;
(2)设D为AiC的中点,AAi=AB,平面A〔BC,平面ABB〔Ai,求二面角A—
BD-C的正弦值.
20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调
查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称
为对照组),得到如下数据:
不够良好良好
病例组4060
对照组1090
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有
差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”,
B表示事件“选到的人患有该疾病”,黑与畿的比值是卫生习惯不够良好对
患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
⑴证明:R=^・黯;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)
的结果给出R的估计值.
附.K2=_____n(ad-bc)2_____
•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
22
21.(12分)已知点A(2,1)在双曲线C:^-^—=1(a>l)上,直线1
azaz-l
交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求1的斜率;
(2)若tanNPAQ=2或,求4PAQ的面积.
22.(12分)已知函数f(x)=eX—ax和g(x)=ax—lnx有相同的最小
值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线丫=2其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个
不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
2022年全国统一高考数学试卷(新高考I)
参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)若集合M={x|4V4},N={x|3xNl},则MCN=()
A.{x|0Wx<2}B.{x||^x<2}
C.{x|3^x<16}D.{x弓WxV16}
答案:D
解析:由《V4,得0WxV16,
;.M={x|Vx<4}={x|OWxV⑹,
由3x21,得x2号
.'.N={x13x》l}={x|x>|),
.,.MClN={x10^x<16}O{x|x»?={xqWxV16}.
故选:D.
2.(5分)若i(1—z)=1,则z+2=()
A.-2B.-1C.1D.2
答案:D
解析:由i(1—z)=1,得1—z===G=—i,
1-Iz
z=1+i,则N=l—i,
•*.z+z—1+i+1—i--2.
故选:D.
3.(5分)在AABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记石5=落CD=n,则
CB=()
A.37f-2nB.~2n+3nC.3元+2元D.2n+3n
答案:B
解析:如图,
BC
>>1>>1—>>1>>>1>1>
CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,
22'722
:.-CB=-CD-CA,
22
即方=3而-2CA=3n-2iT.
故选:B.
4.(5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分
水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;
水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间
的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水
量约为(V7p2.65)()
A.1.0X109m3B.1.2X109m3
C.1.4X109m3D.1.6X109m3
答案:C
解析:140km2=140X106m2,180km2=180X106m2,
根据题意,增加的水量约为
140x106+180x106+V140x106x180x106
---------------------------------------X(157.5-148.5)
_(140+180+6077)x1()6
---------------x,
3
a(320+60X2.65)X106X3
=1437X106
—1.4X109m3.
故选:C.
5.(5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的
概率为()
答案:D
解析:从2至8的7个整数中任取两个数共有废=21种方式,
其中互质的有:23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,
78,共14种,
故所求概率为首=|.
故选:D.
6.(5分)记函数f(x)=sin(wx+-)+b(w>0)的最小正周期为T.若
4
学VTVTT,且y=f(x)的图像关于点(:,2)中心对称,则f(5)—()
A.1B.-C.-D.3
22
答案:A
解析:函数f(x)=sin(wx+-)+b(w>0)的最小正周期为T,
4
则T=2,由至VTVTT,得名〈生VTT,
3333
:.2<n<3,
Vy=f(x)的图像关于点号,2)中心对称,
.•.b=2,
且sin(―co+-)=0,则些co+£=kTT,k£Z・
2424
.*.a)=-(k--),kGZ,取k=4,可得3=%.
3'4,2
Af(x)=sin(-x+-)+2,则f(-)=sin(-X-+-)+2=-l+2=l.
242224
故选:A.
7.(5分)设a=0.1e°i,b=L,c=—InO.9,则()
9
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.a<c<b
答案:C
解析:构造函数f(x)=lnx+-,x>0,
则fz(x)=--,x>0,
Xxz
当f'(x)=0时,x=l,
0<xVl时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
x>l时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
Af(x)在x=l处取最小值f(1)=1,
/.lnx>1-
X
1
AlnO.9>1--=一,
9
■皿得
Ac<b;
V-lnO.9=ln—>1--
9io磊
.•.詈e。】
.*.a<b;
设g(x)=xeX+ln(1—x)(0<x<l),
1(x2-l)ex+l
则g'(x)=(x+1)ex4
x-1x-1
令h(x)=ex(x2—1)+1,h'(x)=ex(x2+2x—1),
当0VxVa-l时,h;(x)<0,函数h(x)单调递减,
当夜一IVxVl时,h,(x)>0,函数h(x)单调递增,
Vh(0)=0,.,.当OVxVV^—1时,h(x)<0,
当OVxVV^—1时,g'(x)>0,g(x)=xex+ln(1—x)单调递增,
:.g(0.1)>g(0)=0,
AO.le01>-lnO.9,
.*.a>c,
.\c<a<b.
故选:C.
8.(5分)已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36m且3W1W3百,则该正四棱锥体积的取值范围是()
A.[18,芳|B.耳,第
C.苧亭D.[18,27]
答案:C
解析:如图:
正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上,连接AC与BD交于点E,连接
PE,则球心0在直线PE上,连接0A,
设正四棱锥的底面边长为a,高为h,
在Rt^PAE中,PA2=AE2+PE2,gpi2=(^)2+h2=^a2+h2,
•.•球0的体积为36n,
...球0的半径R=3,
在RtaOAE中,OA2=OE2+AE2,即-=(九一3)2+(个)2,
♦'♦-a?+九2—6/i=0,
2
A-a2+h2=6九,
2
.*.l2=6h,
又・・・3<1W3后
••MM,
22
・••该正四棱锥体积V(h)=|a2/i=|(12/i—2/i2)/i=—|/i3+4h2,
(h)=-2F+8h=2h(4-h),
.•.当,<h<4时,Vz(h)>0,V(h)单调递增;
当4Vh旺时,W(h)<0,V(h)单调递减,
;.V(h)max=V(4)=y,
又,:V(-)=-,V(-)=-,且二〈风,
242444
A-^V(h)〈竺,
43
即该正四棱锥体积的取值范围是[今,?],
故选:C.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项
中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得
0分。
(多选)9.(5分)已知正方体ABCD—AiBigDi,则()
A.直线BCi与DA1所成的角为90°
B.直线BJ与CAi所成的角为90°
C.直线BCi与平面BBiDiD所成的角为45°
D.直线BJ与平面ABCD所成的角为45°
答案:ABD
A------------BAiBiJDi
连接BiC,由AiB]〃DC,AiB1=DC,得四边形为平行四边形,
.•.DA/BiC,
•.•BCJBiC,
...直线BCi与DA1所成的角为90°,故A正确;
VAiBilBCi,BCilBiC,A1B1nB1C=B1,
,BCi_L平面DAiBiC,而CAiU平面DA1B1C,
...BCJCAi,即直线BCi与CAi所成的角为90°,故B正确;
设AiCiABiDi=0,连接B0,可得C】O_L平面BB1D1D,即NgBO为直线BQ
与平面BB1DW所成的角,
VsinZC1BO=^-=i,
1BQ2
二直线BCi与平面BB1D1D所成的角为30°,故C错误;
•.•CCi,底面ABCD,
...NCiBC为直线BCi与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.
故选:ABD.
(多选)10.(5分)已知函数f(x)=x3-x+l,则()
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案:AC
解析:f'(X)=3x2—1,令f'(x)>0,解得*<一?或*>/,
令『(x)<0,解得一
在(―8,—4),(斗,+8)上单调递增,在(―*苧)上单调递减,
且f(—四)=卫>0,f虎)=*>0
3939
.,.f(X)有两个极值点,有且仅有一个零点,故选项A正确,选项B错误;
又f(x)+f(—x)=x3—x+1—x3+x+l=2,则f(x)关于点(0,1)
对称,故选项C正确;
假设y=2x是曲线y=f(x)的切线,设切点为(a,b),则FfT”,
i2a=b
显然(1,2)和(一1,-2)均不在曲线y=f(x)上,故选项D错误.
故选:AC.
(多选)11.(5分)已知0为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py
(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()
A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切
C.|OP|*|OQ|>|OA|2D.|BP|«|BQ|>|BA|2
答案:BCD
解析:•••点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
;.2p=l,解得p=%
抛物线C的方程为x2=y,准线方程为y=;,选项A错误;
由于A(1,1),B(0,-1),则心8=生3=2,直线AB的方程为y=2x
1—0
—1,
联立(yv=,2x—1,可得x2—2x+l=0,解得x=l,故直线AB与抛物线C相
(x2=y
切,选项B正确;
根据对称性及选项B的分析,不妨设过点B的直线方程为y=kx-l(k>2),
与抛物线在第一象限交于Plx〉yi),Q(x2,y2),
联立『入,1,消去y并整理可得x2—kx+l=0,则Xi+x2=k,XiX2=l,,
Iy=x2
2
yxy2=(kxx—1)(kx2—1)=kxxx2—k(xx+x2)+1=1
2
OP*0Q=J*+yf-J-+y」-j2xiyi-yj2x2y2=2y/x1y1x2y2==
|0A|2
由于等号在Xi=X2=%=y2=l时才能取到,故等号不成立,选项C正确;
IBPI•|BQ|=J*+(Yi+1尸・J-+。2+1尸>+4yl•y/x1+4y2=
J5好,=57(XIX2)2=5=IBA12,选项D正确.
故选:BCD.
(多选)12.(5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,
记g(x)=f'(x).若f(|-2x),g(2+x)均为偶函数,则()
1
A.f(0)=0B.g(一与=0
2
C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)
答案:BC
解析:•••£(|—2x)为偶函数,
,可得f(--2x)=f(-+2x),
22
**.f(X)关于X=|对称,
令x=3可得f(--2X-)=f(-+2X-),即f(-1)=f(4),故C正
42424
确;
Vg(2+x)为偶函数,
Ag(2+x)=g(2—x),g(x)关于x=2对称,故D不正确;
Vf(x)关于x=|对称,
,x=|是函数f(x)的一个极值点,
函数f(x)在(|,t)处的导数为0,即g(|)=f'(|)=0,
又,g(x)的图象关于x=2对称,
,g<j)=g(|)=0,
函数f(x)在I}t)的导数为0,
.,.x=3是函数f(x)的极值点,又f(x)的图象关于x=$(寸称,
t)关于x=?的对称点为(,,t),
由x=[是函数f(x)的极值点可得x=1是函数f(X)的一个极值点,
.,.g(-)=f'(-)=0,
22
进而可得g(1)=g=0,故x=(是函数f(x)的极值点,又f(x)的
图象关于x=|对称,
(-,t)关于x=3的对称点为(一工,t),:.g(--)=f'(--)=0,
22222
故B正确;
f(x)图象位置不确定,可上下移动,即每一个自变量对应的函数值是确定
值,故A错误.
故选:BC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)(1—7)(x+y)-的展开式中x2y6的系数为(用数字作
答).
答案:-28
8
解析:(X+y)的通项公式为Tr+i=C「x8-ryr,
当时,26当时,35
r=6T7=CgXy,r=5T6=CgXy,
.•.(1—与(x+y)8的展开式中x2y6的系数为谶一
56=-28.
故答案为:一28.
22
14.(5分)写出与圆x?+y2=l和(x—3)+(y—4)=16都相切的一
条直线的方程.
答案:x=—1(填3x+4y—5=0,7x—24y—25=0都正确)
解析:圆x?+y2=1的圆心坐标为0(0,0),半径口=1,
22
圆(X—3)+(y—4)=16的圆心坐标为C(3,4),半径米=4,
如图:
・・・|0。=、+=2,J两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条.
•:k℃=%
.•山的斜率为一§设直线I]:y=—;x+b,即3x+4y—4b=0,
由耳^=1,解得b=:(负值舍去),则k:3x+4y—5=0;
54
由图可知,k:X=-1;卜与13关于直线丫=3对称,
(x=_1
联立;4,解得12与%的一个交点为(—1,一,,
(y-x3
在I2上取一点(一1,0),
该点关于y=gx的对称点为(X。,y。),
ryo_4Xo-l
则卜y:3,解得对称点为(《,一胃).
=___2525
<x0+l4
•,•用3=至;=台则b:y="x+l)W即7x—24y-25=0.
25十
22
...与圆x2+y2=l和(x-3)+(y-4)=16都相切的一条直线的方程
为:x=—1(填3x+4y—5=0,7x—24y—25=0都正确).
故答案为:x=-l(填3x+4y—5=0,7x-24y-25=0都正确).
15.(5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范
围是.
答案:(一8,-4)U(0,+8)
xxx
解析:y'=e+(x+a)e,设切点坐标为(x(),(x0+a)e°),
.•.切线的斜率k=ex<>+(x0+a)ex。,
xxx
,切线方程为y—(x0+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(x—x0),
又•••切线过原点,
xxx
—(x0+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(~x0),
2
整理得:x0+ax0—a=0,
•.•切线存在两条,
.•.方程有两个不等实根,
/.A=a2+4a>0,解得aV—4或a>0,
即a的取值范围是(—8,—4)U(0,+°°),
故答案为:(-8,-4)U(0,+8).
16.(5分)已知椭圆C:(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点
为F「F2,离心率为去过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,
则4ADE的周长是.
答案:13
解析:,••椭圆C:,真=1(a>b>0)的离心率为点
22
•••不妨可设椭圆C:3+3=1,a=2c,
4c23c2
的上顶点为A,两个焦点为Fi,F2,
...△AF1F2为等边三角形,
Y过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,
/.kDE=tan30°=亨,
由等腰三角形的性质可得,|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,
设直线DE方程为y=g(x+c),D(Xi,y1),E(x2,y2),
将其与椭圆C联立化简可得,13x2+8cx—32c2=0,
=-
由韦达定理可得,X]+X2=—工,X1X2
2
DEI=52+l|x「X2|=7k2+1/(Xi+x2)—4X1X2
解得C=f,
o
由椭圆的定义可得,Z\ADE的周长等价于|DE|+|DF2l+|EF21=4a=8c=
8X—=13.
8
故答案为:13.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
17.(10分)记Sn为数列{aj的前n项和,已知a1=l,{闻是公差为:的等
a
n3
差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:—+―+,,•+—<2.
ala2an
解答:(1)已知ai=l,{包}是公差为;的等差数列,
an3
所以餐=1+*建-1)=:般+也整理得Sn='an+|an,①,
3Ja53JJ
故当n22时,Sn-1=:(九—l)an-i+|an一1,②,
nana-a
①-②得:|an-|n-|n-l|n-l
故(n—1)an=(n+1)an_i,
化简得:工二"1,%!=」_,…,丝=二"=之
an_!n-1an_2n-2a22al1
所以强=四也,
a12
故an=g3(首项符合通项).
所以an=也罗.
证明:(2)由于an=也罗,
所以N=7^=2(工—工),
ann(n+l)nn+1
所以」-+--+,,,+-2(1…+三---)=2X(1...-)V2.
y
aia2an'223nn+V'n+l
18.(12分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
1+sinA
sin28
l+cos2F*
(1)若C=4,求B;
(2)求号的最小值.
c2
解答:(1)v_£^_=.sin2B,1+COS2B=2COS2B^0,COSBWO.
1+sin力l+cos2B
.cosA2sinBcosBsinB
l+sini42COS2BCOS8'
化为:cosAcosB=sinAsinB+sinB,
.,.cos(B+A)=sinB,
cosC=sinB,C=y,
.•・sinB=一,
2
VO<B<-,
3
6
(2)由(1)可得:-cosC=sinB>0,
/.cosC<0,CW(-,Tl),
2
・・・C为钝角,B,A都为锐角,B=C-^
sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=—cos2C,
2
a2+b2sin2A+sin2Bcos22C+cos2C(l-2sin2C)2+(l-sin2C)2+4sin4C-5sin2C2
c2sin2Csin2Csin2Csin2Csin2C
+4s讥2。_522vl3c—5=4或一5,当且仅当sinC=*时取等号.
V2
...包中的最小值为4a—5.
C2
19.(12分)如图,直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,AAjBC的面积为22.
(1)求A到平面A】BC的距离;
(2)设D为AiC的中点,AAi=AB,平面A】BC,平面ABBiA「求二面角A一
BD-C的正弦值.
解答:(1)由直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,
可得VAI-ABC=|VA[BICI-ABC三,
设A到平面A】BC的距离为d,由VAI-ABC=VA-AIBC,
S,d=
•"•|△A1BCp
.\!x2V2'd=|,解得d=&.
(2)连接AB1交A出于点E,
•.FAi=AB,
,四边形为正方形,
.•.ABi_LAiB,
又•.•平面A】BC_L平面ABB1A1,平面A$Cn平面ABB】Ai=AiB,
平面A]BC,
.'.ABJBC,
由直三棱柱ABC—AiBiCl知BBiJ_平面ABC,
.,.BBjlBC,又ABiCBBi=B>
.•.BCL平面ABB】Ai,
/.BC±AB,
以B为坐标原点,BC,BA,BBi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角
•.•AAi=AB,
.,.BCxV2ABxi=2V2,
又挪XBCXAA1=4,解得AB=BC=AA】=2,
贝ijB(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A、(0,2,2),D(1,1,1),
则曲=(0,2,0),~BD=(1,1,1),BC=(2,0,0),
设平面ABD的一个法向量为祠=(x,y,z),
则[一±84-2y一0,令x=],则丫=。,z=_|;
{n-BD=x+y+z=0
,平面ABD的一个法向量为元=(1,0,-1),
设平面BCD的一个法向量为访=(a,b,c),
则三BC=2a=0,令b=l,则a=0,c=T,
平面BCD的一个法向量为沅=(0,1,-1),
cos<元,m>=^==l,
二面角A-BD-C的正弦值为Jl-(|)2=y.
20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调
查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称
为对照组),得到如下数据:
不够良好良好
病例组4060
对照组1090
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有
差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”,
B表示事件“选到的人患有该疾病”,畿与畿的比值是卫生习惯不够良好对
患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i>证明:R=黯黯;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)
的结果给出R的估计值.
n(ad-bc)2
附:K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
解答:(1)补充列联表为:
不够良好良好合计
病例组4060100
对照组1090100
合计50150200
200X(40X90-10x60)2
计算K2==24>6.635,
100x100x50x150
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:
R_P(B|A)P(肥)
P(B|A):P(B|A)
_P(B|A)^P(B|A)
P(B|A)P(B|A)
P(4B)P(XB)
_P(X),P0)
p(-m)p(-8)
P(A)~P(A)~
P(AB)P(AB)
PQ4B)P(砌
__P(B),P(B)
P(AU)PG4B)
P(B)P(B)
_P(A|B).P(A|B)
P(A|B)P(A|B);
(ii)利用调查数据,P(A1B)P(A|B)=—=-,P(A|B)=1-
10051710010k17
P(A|B)=|,P(A|B)=1-P(A|B)=^,
29_
所以R=^X琴=6.
510
22
21.(12分)已知点A(2,1)在双曲线C:与一」-=1(a>l)上,直线1
a2az-l
交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求1的斜率;
(2)若tanNPAQ=2/,求4PAQ的面积.
解答:(1)将点A代入双曲线方程得2一号=1,
化简得a,-4a2+4=0,
丫2
/.a2=2,故双曲线方程为^•—y2=i,
由题显然直线1的斜率存在,设1:y=kx+m,设P(X〉yQQ(x2,y2),
则联立双曲线得:(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,
2m?+2
4kmxx=——
故Xi+X2=-2k2-1'12z2k2-1
kAP+K
”AQXi-2X2-2Xi-2X2-2
化简得:2kxix2+(m—1—2k)(xi+x2)—4(m—1)=0,
故型等辿+(m—l—2k)(-曾-)-4(m-1)=0,
即(k+1)(m+2k-1)=0,而直线1不过A点,故k=-l;
(2)设直线AP的倾斜角为a,由tan/PAQ=2&,
r.Z.PAQ
2tan—
=2A/2,得tan竽=¥
l-tari2^^
由2a+NPAQ=n,
,TT-ZPAQ
・・a=----------------
2
得k?ip=tana=&,即三|=鱼,
联立”=或,及]—赤=1得X]=W叱,力=容
代入直线]得m=|,故Xi+X2=m,X1X2=Y
rfn|AP|=V3ix1-2|,|AQ|=V3IX2-2|
由tanNPAQ=2近,得sinNPAQ=#
=
故SAPAQ=,AP||AQ|sinNPAQ=V^|XIX2-2(xx+x2)+4|—^~-
22.(12分)已知函数f
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