2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）

2022年全国统一高考数学试卷（新高考I）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)若集合M={x|«V4},N={x|3x21},则MAN=()

A.{x|0^x<2}B.{x||^x<2}

C.{x|3WxV16}D.{x||^x<16}

2.（5分）若i（1—z）=1,则z+2=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（5分）在aABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记刀=落CD=n,则

CB=（）

A.3n~2nB.-2n+3nC.3jr+2nD.2^+3n

4.（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分

水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；

水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间

的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水

量约为（V7p2.65）（）

A.1.0X109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

5.（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

1112

--c.--

A.6B.32D.3

6.（5分）记函数f（x）=sin（u）x+-）+b（w>0）的最小正周期为T.若

4

手VTVTT,且y=f（x）的图像关于点（芸2）中心对称，则f（；）=（）

35

Ic3

X--

2-2D.

A.B.

61贝

/z69(z

7.xl.Ienx

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

8.(5分)已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一球面上.若该球

的体积为36%且3W1W3百，则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.[18,蜘B.苧孝

C.[.，D.[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分。

(多选)9.(5分)已知正方体ABCD—AiBiJDi，则()

A.直线BCi与DA1所成的角为90°

B.直线BQ与CAi所成的角为90°

C.直线BC]与平面BBjDiD所成的角为45°

D.直线BC】与平面ABCD所成的角为45°

(多选)10.(5分)已知函数f(x)=x3-x+l,则()

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

(多选)11.(5分)已知0为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py

(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则()

A.C的准线为y=—1B.直线AB与C相切

C.|OP|*|OQ|>|OA|2D.|BP|«|BQ|>|BA|2

(多选)12.(5分)已知函数f(x)及其导函数#(x)的定义域均为R,

记g(x)=f'(x).若f(|-2x),g(2+x)均为偶函数，则()

A.f(0)=0B.g(-i)=0

02

C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

o

13.（5分）（1一9（x+y）的展开式中x2y6的系数为（用数字作

答）.

22

14.（5分）写出与圆x2+y2=l和（x-3）+（y-4）=16都相切的一

条直线的方程.

15.（5分）若曲线y=（x+a）e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范

围是.

16.（5分）已知椭圆C：（a>b>0）,C的上顶点为A,两个焦点

为F〉F2,离心率为去过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，|DE|=6,

则4ADE的周长是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

17.（10分）记Sn为数列｛aj的前n项和，已知a1=l,｛闻是公差为第勺等

an3

差数列.

（1）求｛aj的通项公式；

（2）证明：-+-+-+-<2.

aia2an

18.（12分）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知」艺上=

1+sinA

sin2B

l+cos2B

(1)若C=§求B；

(2)求审的最小值.

19.(12分)如图，直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,AA^C的面积为2a.

(1)求A到平面AiBC的距离；

(2)设D为AiC的中点，AAi=AB,平面A〔BC，平面ABB〔Ai,求二面角A—

BD-C的正弦值.

20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习

惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调

查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称

为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有

差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”,

B表示事件“选到的人患有该疾病”，黑与畿的比值是卫生习惯不够良好对

患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

⑴证明：R=^・黯;

（ii）利用该调查数据，给出P（A|B）,P（A|B）的估计值，并利用（i）

的结果给出R的估计值.

附.K2=_____n(ad-bc)2_____

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

22

21.(12分)已知点A(2,1)在双曲线C：^-^—=1(a>l)上，直线1

azaz-l

交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求1的斜率；

(2)若tanNPAQ=2或,求4PAQ的面积.

22.(12分)已知函数f(x)=eX—ax和g(x)=ax—lnx有相同的最小

值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线丫=2其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个

不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022年全国统一高考数学试卷(新高考I)

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)若集合M={x|4V4},N={x|3xNl},则MCN=()

A.{x|0Wx<2}B.{x||^x<2}

C.{x|3^x<16}D.{x弓WxV16}

答案：D

解析：由《V4,得0WxV16,

；.M={x|Vx<4}={x|OWxV⑹,

由3x21,得x2号

.'.N={x13x》l}={x|x>|),

.,.MClN={x10^x<16}O{x|x»?={xqWxV16}.

故选：D.

2.(5分)若i(1—z)=1,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

解析：由i(1—z)=1,得1—z===G=—i,

1-Iz

z=1+i,则N=l—i,

•*.z+z—1+i+1—i--2.

故选：D.

3.(5分)在AABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记石5=落CD=n,则

CB=()

A.37f-2nB.~2n+3nC.3元+2元D.2n+3n

答案：B

解析：如图,

BC

>>1>>1—>>1>>>1>1>

CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,

22'722

：.-CB=-CD-CA,

22

即方=3而-2CA=3n-2iT.

故选:B.

4.（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分

水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；

水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间

的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水

量约为(V7p2.65)()

A.1.0X109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

答案：C

解析：140km2=140X106m2,180km2=180X106m2,

根据题意，增加的水量约为

140x106+180x106+V140x106x180x106

---------------------------------------X(157.5-148.5)

_(140+180+6077)x1()6

---------------x,

3

a(320+60X2.65)X106X3

=1437X106

—1.4X109m3.

故选：C.

5.(5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

答案：D

解析：从2至8的7个整数中任取两个数共有废=21种方式，

其中互质的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,

78,共14种，

故所求概率为首=|.

故选：D.

6.(5分)记函数f(x)=sin(wx+-)+b(w>0)的最小正周期为T.若

4

学VTVTT,且y=f(x)的图像关于点(:，2)中心对称，则f(5)—()

A.1B.-C.-D.3

22

答案：A

解析：函数f(x)=sin(wx+-)+b(w>0)的最小正周期为T,

4

则T=2,由至VTVTT,得名〈生VTT,

3333

：.2<n<3,

Vy=f(x)的图像关于点号，2)中心对称，

.•.b=2,

且sin(―co+-)=0,则些co+£=kTT,k£Z・

2424

.*.a)=-(k--),kGZ,取k=4,可得3=%.

3'4，2

Af(x)=sin(-x+-)+2,则f(-)=sin(-X-+-)+2=-l+2=l.

242224

故选：A.

7.(5分)设a=0.1e°i,b=L,c=—InO.9,则()

9

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案：C

解析：构造函数f(x)=lnx+-,x>0,

则fz(x)=--,x>0,

Xxz

当f'(x)=0时，x=l,

0<xVl时，f'(x)<0,f(x)单调递减;

x>l时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

Af(x)在x=l处取最小值f(1)=1,

/.lnx>1-

X

1

AlnO.9>1--=一,

9

■皿得

Ac<b；

V-lnO.9=ln—>1--

9io磊

.•.詈e。】

.*.a<b；

设g(x)=xeX+ln(1—x)(0<x<l),

1(x2-l)ex+l

则g'(x)=(x+1)ex4

x-1x-1

令h(x)=ex(x2—1)+1,h'(x)=ex(x2+2x—1),

当0VxVa-l时，h;(x)<0,函数h(x)单调递减,

当夜一IVxVl时，h，(x)>0,函数h(x)单调递增,

Vh(0)=0,.,.当OVxVV^—1时，h(x)<0,

当OVxVV^—1时，g'(x)>0,g(x)=xex+ln(1—x)单调递增,

：.g(0.1)>g(0)=0,

AO.le01>-lnO.9,

.*.a>c,

.\c<a<b.

故选：C.

8.（5分）已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一球面上.若该球

的体积为36m且3W1W3百，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,芳|B.耳,第

C.苧亭D.[18,27]

答案：C

解析：如图：

正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E,连接

PE,则球心0在直线PE上，连接0A,

设正四棱锥的底面边长为a,高为h,

在Rt^PAE中，PA2=AE2+PE2,gpi2=(^)2+h2=^a2+h2,

•.•球0的体积为36n,

...球0的半径R=3,

在RtaOAE中,OA2=OE2+AE2,即-=(九一3)2+(个)2,

♦'♦-a?+九2—6/i=0,

2

A-a2+h2=6九，

2

.*.l2=6h,

又・・・3<1W3后

••MM,

22

・••该正四棱锥体积V(h)=|a2/i=|(12/i—2/i2)/i=—|/i3+4h2,

(h)=-2F+8h=2h(4-h),

.•.当,<h<4时，Vz(h)>0,V(h)单调递增;

当4Vh旺时，W(h)<0,V(h)单调递减，

；.V(h)max=V(4)=y,

又,：V(-)=-,V(-)=-,且二〈风，

242444

A-^V(h)〈竺，

43

即该正四棱锥体积的取值范围是[今，?],

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分。

(多选)9.(5分)已知正方体ABCD—AiBigDi，则()

A.直线BCi与DA1所成的角为90°

B.直线BJ与CAi所成的角为90°

C.直线BCi与平面BBiDiD所成的角为45°

D.直线BJ与平面ABCD所成的角为45°

答案：ABD

A------------BAiBiJDi

连接BiC,由AiB]〃DC,AiB1=DC,得四边形为平行四边形,

.•.DA/BiC,

•.•BCJBiC,

...直线BCi与DA1所成的角为90°,故A正确;

VAiBilBCi，BCilBiC,A1B1nB1C=B1,

，BCi_L平面DAiBiC,而CAiU平面DA1B1C,

...BCJCAi，即直线BCi与CAi所成的角为90°,故B正确；

设AiCiABiDi=0,连接B0,可得C】O_L平面BB1D1D,即NgBO为直线BQ

与平面BB1DW所成的角，

VsinZC1BO=^-=i,

1BQ2

二直线BCi与平面BB1D1D所成的角为30°,故C错误；

•.•CCi，底面ABCD,

...NCiBC为直线BCi与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.

故选:ABD.

（多选）10.（5分）已知函数f（x）=x3-x+l,则（）

A.f（x）有两个极值点

B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=f（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f（x）的切线

答案：AC

解析：f'（X）=3x2—1,令f'（x）>0,解得*<一?或*>/,

令『（x）<0,解得一

在（―8,—4），（斗，+8）上单调递增，在（―*苧）上单调递减，

且f（—四）=卫>0,f虎）=*>0

3939

.,.f（X）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误;

又f（x）+f（—x）=x3—x+1—x3+x+l=2,则f（x）关于点（0,1）

对称，故选项C正确；

假设y=2x是曲线y=f（x）的切线，设切点为（a,b）,则FfT”,

i2a=b

显然（1,2）和（一1,-2）均不在曲线y=f（x）上，故选项D错误.

故选：AC.

(多选)11.(5分)已知0为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py

(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则()

A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切

C.|OP|*|OQ|>|OA|2D.|BP|«|BQ|>|BA|2

答案：BCD

解析：•••点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，

；.2p=l,解得p=%

抛物线C的方程为x2=y,准线方程为y=；,选项A错误；

由于A(1,1),B(0,-1),则心8=生3=2,直线AB的方程为y=2x

1—0

—1,

联立(yv=,2x—1，可得x2—2x+l=0,解得x=l,故直线AB与抛物线C相

(x2=y

切，选项B正确；

根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx-l(k>2),

与抛物线在第一象限交于Plx〉yi),Q(x2,y2),

联立『入，1,消去y并整理可得x2—kx+l=0,则Xi+x2=k,XiX2=l,,

Iy=x2

2

yxy2=(kxx—1)(kx2—1)=kxxx2—k(xx+x2)+1=1

2

OP*0Q=J*+yf-J-+y」-j2xiyi-yj2x2y2=2y/x1y1x2y2==

|0A|2

由于等号在Xi=X2=%=y2=l时才能取到，故等号不成立，选项C正确；

IBPI•|BQ|=J*+(Yi+1尸・J-+。2+1尸>+4yl•y/x1+4y2=

J5好,=57(XIX2)2=5=IBA12,选项D正确.

故选：BCD.

(多选)12.(5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,

记g(x)=f'(x).若f(|-2x),g(2+x)均为偶函数，则()

1

A.f(0)=0B.g(一与=0

2

C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)

答案：BC

解析：•••£(|—2x)为偶函数，

，可得f(--2x)=f(-+2x),

22

**.f(X)关于X=|对称，

令x=3可得f(--2X-)=f(-+2X-),即f(-1)=f(4),故C正

42424

确；

Vg(2+x)为偶函数，

Ag(2+x)=g(2—x),g(x)关于x=2对称，故D不正确；

Vf(x)关于x=|对称，

，x=|是函数f(x)的一个极值点，

函数f(x)在(|,t)处的导数为0,即g(|)=f'(|)=0,

又，g(x)的图象关于x=2对称，

，g<j)=g(|)=0，

函数f(x)在I}t)的导数为0,

.,.x=3是函数f(x)的极值点，又f(x)的图象关于x=$(寸称，

t)关于x=?的对称点为(，，t),

由x=［是函数f(x)的极值点可得x=1是函数f(X)的一个极值点，

.,.g(-)=f'(-)=0,

22

进而可得g(1)=g=0,故x=(是函数f(x)的极值点，又f(x)的

图象关于x=|对称，

(-,t)关于x=3的对称点为(一工，t),：.g(--)=f'(--)=0,

22222

故B正确;

f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定

值，故A错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（1—7）（x+y）-的展开式中x2y6的系数为（用数字作

答）.

答案：-28

8

解析：（X+y）的通项公式为Tr+i=C「x8-ryr,

当时，26当时，35

r=6T7=CgXy,r=5T6=CgXy,

.•.（1—与（x+y）8的展开式中x2y6的系数为谶一

56=-28.

故答案为：一28.

22

14.（5分）写出与圆x?+y2=l和（x—3）+（y—4）=16都相切的一

条直线的方程.

答案：x=—1（填3x+4y—5=0,7x—24y—25=0都正确）

解析：圆x?+y2=1的圆心坐标为0（0,0）,半径口=1,

22

圆（X—3）+（y—4）=16的圆心坐标为C（3,4）,半径米=4,

如图：

・・・|0。=、+=2，J两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.

•:k℃=%

.•山的斜率为一§设直线I］：y=—；x+b,即3x+4y—4b=0,

由耳^=1,解得b=：(负值舍去)，则k：3x+4y—5=0；

54

由图可知，k：X=-1;卜与13关于直线丫=3对称，

(x=_1

联立；4，解得12与％的一个交点为(—1，一，，

(y-x3

在I2上取一点(一1，0),

该点关于y=gx的对称点为(X。，y。)，

ryo_4Xo-l

则卜y：3,解得对称点为(《，一胃).

=___2525

<x0+l4

•,•用3=至；=台则b：y="x+l)W即7x—24y-25=0.

25十

22

...与圆x2+y2=l和(x-3)+(y-4)=16都相切的一条直线的方程

为：x=—1(填3x+4y—5=0,7x—24y—25=0都正确).

故答案为：x=-l(填3x+4y—5=0,7x-24y-25=0都正确).

15.(5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范

围是.

答案：(一8,-4)U(0,+8)

xxx

解析：y'=e+(x+a)e,设切点坐标为(x(),(x0+a)e°),

.•.切线的斜率k=ex<>+(x0+a)ex。,

xxx

，切线方程为y—(x0+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(x—x0),

又•••切线过原点，

xxx

—(x0+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(~x0),

2

整理得：x0+ax0—a=0,

•.•切线存在两条，

.•.方程有两个不等实根，

/.A=a2+4a>0,解得aV—4或a>0,

即a的取值范围是(—8,—4)U(0,+°°),

故答案为：(-8,-4)U(0,+8).

16.(5分)已知椭圆C：(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点

为F「F2,离心率为去过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，|DE|=6,

则4ADE的周长是.

答案：13

解析：,••椭圆C：，真=1(a>b>0)的离心率为点

22

•••不妨可设椭圆C：3+3=1，a=2c,

4c23c2

的上顶点为A,两个焦点为Fi，F2,

...△AF1F2为等边三角形，

Y过Fi且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，

/.kDE=tan30°=亨，

由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,

设直线DE方程为y=g(x+c),D(Xi，y1)，E(x2,y2),

将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx—32c2=0,

=-

由韦达定理可得，X]+X2=—工，X1X2

2

DEI=52+l|x「X2|=7k2+1/(Xi+x2)—4X1X2

解得C=f,

o

由椭圆的定义可得，Z\ADE的周长等价于|DE|+|DF2l+|EF21=4a=8c=

8X—=13.

8

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

17.(10分)记Sn为数列｛aj的前n项和，已知a1=l,｛闻是公差为:的等

a

n3

差数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)证明：—+―+,,•+—<2.

ala2an

解答：(1)已知ai=l,｛包｝是公差为;的等差数列，

an3

所以餐=1+*建-1)=:般+也整理得Sn='an+|an，①,

3Ja53JJ

故当n22时，Sn-1=：(九—l)an-i+|an一1，②，

nana-a

①-②得：|an-|n-|n-l|n-l

故(n—1)an=(n+1)an_i，

化简得：工二"1,%!=」_,…，丝=二"=之

an_!n-1an_2n-2a22al1

所以强=四也，

a12

故an=g3(首项符合通项).

所以an=也罗.

证明：(2)由于an=也罗，

所以N=7^=2(工—工)，

ann(n+l)nn+1

所以」-+--+,,,+-2(1…+三---)=2X(1...-)V2.

y

aia2an'223nn+V'n+l

18.(12分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

1+sinA

sin28

l+cos2F*

(1)若C=4,求B；

(2)求号的最小值.

c2

解答：(1)v_£^_=.sin2B,1+COS2B=2COS2B^0,COSBWO.

1+sin力l+cos2B

.cosA2sinBcosBsinB

l+sini42COS2BCOS8'

化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB,

.,.cos(B+A)=sinB,

cosC=sinB,C=y,

.•・sinB=一,

2

VO<B<-,

3

6

(2)由(1)可得:-cosC=sinB>0,

/.cosC<0,CW(-,Tl),

2

・・・C为钝角，B,A都为锐角，B=C-^

sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=—cos2C,

2

a2+b2sin2A+sin2Bcos22C+cos2C(l-2sin2C)2+(l-sin2C)2+4sin4C-5sin2C2

c2sin2Csin2Csin2Csin2Csin2C

+4s讥2。_522vl3c—5=4或一5,当且仅当sinC=*时取等号.

V2

...包中的最小值为4a—5.

C2

19.(12分)如图，直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,AAjBC的面积为22.

(1)求A到平面A】BC的距离；

(2)设D为AiC的中点，AAi=AB,平面A】BC，平面ABBiA「求二面角A一

BD-C的正弦值.

解答：(1)由直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,

可得VAI-ABC=|VA[BICI-ABC三，

设A到平面A】BC的距离为d,由VAI-ABC=VA-AIBC，

S，d=

•"•|△A1BCp

.\!x2V2'd=|,解得d=&.

(2)连接AB1交A出于点E,

•.FAi=AB,

，四边形为正方形，

.•.ABi_LAiB,

又•.•平面A】BC_L平面ABB1A1，平面A$Cn平面ABB】Ai=AiB,

平面A]BC,

.'.ABJBC,

由直三棱柱ABC—AiBiCl知BBiJ_平面ABC,

.,.BBjlBC,又ABiCBBi=B>

.•.BCL平面ABB】Ai，

/.BC±AB,

以B为坐标原点，BC,BA,BBi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角

•.•AAi=AB,

.,.BCxV2ABxi=2V2,

又挪XBCXAA1=4,解得AB=BC=AA】=2,

贝ijB(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A、(0,2,2),D(1,1,1),

则曲=(0,2,0),~BD=(1,1,1),BC=(2,0,0),

设平面ABD的一个法向量为祠=(x,y,z),

则[一±84-2y一0,令x=],则丫=。，z=_|；

{n-BD=x+y+z=0

，平面ABD的一个法向量为元=(1,0,-1),

设平面BCD的一个法向量为访=(a,b,c),

则三BC=2a=0,令b=l,则a=0,c=T,

平面BCD的一个法向量为沅=(0,1,-1),

cos＜元，m＞=^==l，

二面角A-BD-C的正弦值为Jl-(|)2=y.

20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习

惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调

查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称

为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有

差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”,

B表示事件“选到的人患有该疾病”，畿与畿的比值是卫生习惯不够良好对

患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

(i＞证明：R=黯黯；

(ii)利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用(i)

的结果给出R的估计值.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解答：(1)补充列联表为:

不够良好良好合计

病例组4060100

对照组1090100

合计50150200

200X(40X90-10x60)2

计算K2==24>6.635,

100x100x50x150

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)(i)证明:

R_P(B|A)P(肥)

P(B|A)：P(B|A)

_P(B|A)^P(B|A)

P(B|A)P(B|A)

P(4B)P(XB)

_P(X),P0)

p(-m)p(-8)

P(A)~P(A)~

P(AB)P(AB)

PQ4B)P(砌

__P(B),P(B)

P(AU)PG4B)

P(B)P(B)

_P(A|B).P(A|B)

P(A|B)P(A|B)；

(ii)利用调查数据，P(A1B)P(A|B)=—=-,P(A|B)=1-

10051710010k17

P(A|B)=|,P(A|B)=1-P(A|B)=^,

29_

所以R=^X琴=6.

510

22

21.(12分)已知点A(2,1)在双曲线C：与一」-=1(a>l)上，直线1

a2az-l

交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

（1）求1的斜率;

(2)若tanNPAQ=2/,求4PAQ的面积.

解答：（1）将点A代入双曲线方程得2一号=1，

化简得a，-4a2+4=0,

丫2

/.a2=2,故双曲线方程为^•—y2=i,

由题显然直线1的斜率存在，设1：y=kx+m,设P(X〉yQQ(x2,y2),

则联立双曲线得：(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,

2m?+2

4kmxx=——

故Xi+X2=-2k2-1'12z2k2-1

kAP+K

”AQXi-2X2-2Xi-2X2-2

化简得：2kxix2+(m—1—2k)(xi+x2)—4(m—1)=0,

故型等辿+(m—l—2k)(-曾-)-4(m-1)=0,

即(k+1)(m+2k-1)=0,而直线1不过A点，故k=-l；

(2)设直线AP的倾斜角为a,由tan/PAQ=2&,

r.Z.PAQ

2tan—

=2A/2,得tan竽=¥

l-tari2^^

由2a+NPAQ=n,

,TT-ZPAQ

・・a=----------------

2

得k?ip=tana=&,即三|=鱼，

联立”=或，及］—赤=1得X］=W叱，力=容

代入直线］得m=|,故Xi+X2=m，X1X2=Y

rfn|AP|=V3ix1-2|,|AQ|=V3IX2-2|

由tanNPAQ=2近，得sinNPAQ=#

=

故SAPAQ=，AP||AQ|sinNPAQ=V^|XIX2-2(xx+x2)+4|—^~-

22.(12分)已知函数f