第5章-刚体转动及角动量守恒课件

5.1刚体的平动和定轴转动5.3转动定律的应用5.4刚体定轴转动的角动量守恒定律5.2刚体定轴转动定律5.5刚体定轴转动的功和能第五章刚体的定轴转动力学(Mechanics)实践与应用刚体平动质点运动

1.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线

.什么是刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）一刚体的平动和定轴转动2.

转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.一刚体的平动和定轴转动定轴转动参量刚体转轴1.角位置q转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp参考方向Xpp刚体中任一点p刚体定轴转动的运动方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度btddwb变角加速b()tb常量b匀角加速b0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量例1已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且

t

=0

时

w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程转动方程微积分示例线量与角量的关系例2bw定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度，已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw

瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr刚体转动定律引言刚体的转动定律二刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向1外力矩与合外力矩方向刚体的角动量刚体的角动量2刚体的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri角动量大小（速度~半径）Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元总角动量大小L∑Liw∑2mriri()wJ对质量连续分布的刚体L∑LiwwJm2r()dLwJ定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量3刚体的定轴转动定律首先，刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理ddtLSiMi外M外因为ddtLM外那么（相当于）刚体的定轴转动定律定轴转动刚体的角加速度α与刚体所受的合外力的力矩M

成正比，与刚体的转动惯量J

成反比。角加速度方向与力矩方向一致（常用在某转轴上的分量式）4转动惯量及其计算Mb=J将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度JJ∑rmiriri2

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关对质量连续分布的刚体用积分求J，如对体分布情形：r为体积元

dV处的密度rVdVrmdJr2m2J的单位为m2kg转动惯量的性质分析对分离和连续刚体，转动惯量都符合标量叠加原则转动惯量的计算举例（1）可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则Jrmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lJrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)（2）质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的JLmOdmrdrJ2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的JLmOdmrdrJ2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22JOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L平行移轴定理对新轴的转动惯量JO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得J端31mL2Jmdr2m考虑:圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的J取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3J2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球体算例匀质实心球对心轴的JmORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Jd距为半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmJd21其中JJd212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面J

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面J

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2J

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴J

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mJ

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2J

=2m

R3转动定律例题一三、转动定律应用选例bJM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定由转动定律而于是利用有利用初始条件:t=0,0=0,0=0◆刚体定轴转动定律的应用细杆受力P

和N合力矩：解:

细杆长为l,

质量为m,

求从竖直位置由静止转到角时的角加速度和角速度.OPNl例1积分:在角时角速度解：分析受力：图示质点A质点B例2如图，斜面倾角为α，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为R、质量为m。求：物体运动中定滑轮两侧绳中张力及B下落加速度a（不计摩擦）滑轮（刚体）联系量联立：aA=aB=a=g-2a-gsinɑ；

T1

=mg-2ma；T2=mg-ma

为什么此时T1

≠T2

？转动定律例题二例3已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Jb

a=RbJ=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g*如果考虑有转动摩擦力矩

Mr

,则转动式为(T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。转动定律例题三思考Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMJFR21mR22FmRabR2Fm（B）bJRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g

【思考】电风扇在开启电源后，经过时间达到了额定转速（此时相应的角速度为）。关闭电源后，经过时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为

J

。假定摩擦阻力矩和电磁力矩均为常量，试推算电机的电磁力矩.解：设M为电磁力矩，Mf为阻力矩，根据刚体定轴转动定律：开启电源：积分得：关闭电源：积分得解（1）、（2）得所以电机的电磁力矩为课前问题八1刚体的定轴转动定律及在Z轴上的分量式的表达式2分立及连续质点结构的刚体的转动惯量表达式Jrmiriri2∑rVdVrmdJr2m2……刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理JJtdd()dtdtddJw合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）L112d2121dt2ttMLLLLJwJw冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理四刚体的角动量定理及守恒定律回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩∑MiLtdd∑i系统的总角动量的变化率1dt2ttM系统的总冲量矩系统的总角动量增量∑()1LLii2系统：、轻绳mm1（忽略质量）再解前例wOvm1gm1mRR静止释放b求角加速度wtdd解得bgm121m(m1+)R∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd总合外力矩对O的角动量mm1对O的角动量gm1RLmLm1Jw21mR2wm1vR同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddb而刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律3刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0若则Ltdd0即LJw常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，MJw

刚体的角动量保持不变刚体的角动量守恒定律回转仪定向原理LwJ万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小角动量守恒LwJ恒矢量回转仪定向原理wJ其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基座回转体（转动惯量）Jw回转仪的这种高速自转时保持转轴方向不变的特性，可用作定向装置。回转仪的定向作用不受地磁及周围磁场的影响，因此广泛应用于飞机自动驾驶及导弹、火箭、舰船的导航。

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有两层或三层同心圆环

“香熏球”、“卧褥香炉”、“熏球”西汉末丁缓的“被中香炉”是世界上已知最早的常平架，其构造精巧，无论球体香炉如何滚动，其中心的半球形炉体都能始终保持水平。镂空球内有两个环互相垂直而可灵活转动，炉体可绕三个互相垂直的轴转动。其原理与陀螺仪的万向架相同在欧洲，最先提出类似设计的，是文艺复兴时期的大画家、科学家达芬奇（1452-1519），已较我国晚了1000多年。但遗憾的是，这项杰出的创造，在我国仅应用于生活用具。16世纪，意大利人希·卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用于航海上，使它产生了巨大的作用

花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Jw变大，乘积保持不变，Jw变大则Jw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw共轴系统的角动量守恒共轴系统若0JMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统J轮J人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台J轮w轮LSi末+J人台w人台LSi初0得J人台w人台J轮w轮导致人台反向转动守恒例题一wA静已知例1AJBJA、B两轮共轴A以wA作惯性转动解法提要以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量wAAJ+0()AJ+BJwAB末态角动量得wABwAAJ()AJ+BJ求两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wABwAB例2:有一子弹,质量为m,以水平速度v射入杆的下端而不复出,求杆和子弹开始一起运动时的角速度?mv0解:

碰撞时间很短,考虑：杆和子弹组成的系统动量守恒?系统对轴O轴角动量守恒!M.lO请考虑如果子弹穿出或反弹的情形。例3:大圆盘质量为M,半径为R.人质量为m.二者最初都相对地面静止.当人沿盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度?解:

以盘+人为系统对竖直轴的外力矩=0系统对轴的角动量守恒.令与分别表示人和盘对地面发生的角位移，则o人在盘上走一周时这是一道角动量守恒+相对运动的题型，请大家注意方法，并与动量守恒+相对运动题型的比较。o

例4

质量很小长度为l的均匀细杆,可绕过其中心

O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为l/4处,并背离点O向杆的端点A爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:小虫落在杆上后瞬间的角速度？

欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解（1）小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒（2）由角动量定理即（3）考虑到转动动能刚体定轴转动的功能关系五刚体定轴转动的功能关系wOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量

JEk21Jw2得刚体转动动能公式1转动动能力矩的功2力矩的功和功率OqdjPrrdtF力

的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩作用下，刚体由

转到，q12qMM作的总功为dAAq12qMqd力矩的瞬时功率NAddtwMqddtM刚体的动能定理3刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mA21v21mv202刚体转动的动能定理？由

力矩的元功dAqdM转动定律bJMdAbJqdJwdtdqdJqdtdwdJwwd则AdAqdMq0qw0wJwwd2121202JwJw合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为动能定理例题二解法提要外力矩作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212J0w212J得w2AJ代入得wgmL2LmJ231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例1水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴动能定理例题一例2R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴求圆盘下摆时质点的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要对1m2m系统外力矩的功转动动能增量w2J21m1其中J212R+m22RR2mCOSg06得w2m2g()+m12m2R由转动定律（瞬时性）得bJMcosR2mg03J32mg()+m12m2R则atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2动能定理例题三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作负功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG从水平摆至垂直由Aw212J0w212J得w2AJ转轴对质心轴的位移

L4rJJc+mr2Lm2487代入得w247gL已知思考求摆至垂直位置时杆的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置静止释放含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动+rE机械A外A非保内力矩力矩(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动系统（轮、绳、重物、地球）忽略摩擦A外力力矩0,A非保守内力矩力0E平动E转动E势,,,E0平动E0转动E势0,,J++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmJ212,av22()hh0,vwRabR,00势ghhv00vawbOm1m1mR例1

一长为l

,质量为

的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为

的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.

子弹初速率为多少?解把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒射入竿后，子弹、杆和地球为系统，机械能守恒Lo例2一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴O固定.在微扰动作用下以O为轴倒下.求:杆与竖直方向成

角时，对轴的角速度=

？解：（1）利用刚体的定轴转动定律先求在任意角时杆对O点的力矩(重力矩)。质量元：dmx质量元对轴的力矩为M是变力矩，由刚体定轴转动瞬时作用定律：(变角加速度)进而可由积分求出（2）又解：由转动动能定理解先求在任意角时杆对点O的力矩(重力矩)由转动动能定理.Lcox刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同.Lcohc（3）再解:用机械能守恒来解请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然最后一种用能量守恒是最简单的。L/2L/2hc{刚体定轴转动定律：刚体的转动惯量：角动量定理：角动量守恒定律：刚体转动的功和能：刚体定轴转动小结质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)质点的运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度质量m,力F转动惯量

,力矩M力的功力矩的功动能转动动能势能质心势能质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)质点的运动刚体的定轴转动运动定律转动定律动量定理角动量定理动量守恒角动量守恒动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt说明：

1、粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，可把它们看成一个刚体，不要分开考虑。（2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；（3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。2、用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑例1.

如图，质量为

M半径为

R

的转台初始角速度为0

,有一质量为m

的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度u沿半径向边缘走去,求人走了t时间后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）解：人与转台系统对轴角动量守恒设t

时刻人走到距转台中心r=ut

处，转台的角速度为.

刚体定轴转动趣题

例2

一杂技演员M

由距水平跷板高为

h

处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N

弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为

,跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解

（1）碰撞前

M

落在A点的速度

（2）碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度

（3）把M、N和跷板作为一个系统,

角动量守恒解得演员N以u

起跳,达到的高度①②③④⑤例3一轻绳跨过两个质量为m、半径为r

的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂质量为

2m

和m

的重物,如图,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要总摩擦力矩

是Mrr各微环带摩擦元力矩的积分Mrd环带面积dsdr环带质量dmpR2mds环带受摩擦力gmmdmfdr环带受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圆盘受总摩擦力矩MrMrd转一周摩擦力矩的总功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例4已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘刚体力学练习刚体力学练习

习题一如图，一个质量为m

的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮的质量为M、半径为

R，其转动惯量为，滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律对m：（1）对M：（2）又（3）联立（1）、（2）、（3）解得：——常矢量，与时间无关由初始条件：，得习题三如图所示，A、B两圆盘可分别绕，轴无摩擦地转动。重物C系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边缘之间无相对滑动。已知A、B的半径分别为，，A、B、C的质量分别为，，m，求：重物C由静止下降h时的速度v。

解一：应用机械能守恒定律不打滑：有考虑到：得

解二：应用牛顿第二定律和转动定律A：（1）B：（2）C：（3）不打滑，有（4）联立（1）、（2）、（3）、（4）解得：

习题四一质量为m

的子弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由

v减少到。若摆锤的质量为M，摆杆的质量也为M（均匀细杆），长度为

l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？

解：取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：即得摆锤开始转动的角速度为摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置为势能零点，到达最高点时有则得即

习题五空心圆环可绕光滑的竖直固定轴

AC自由转动，转动惯量为，环的半径为

R，初始时环的角速度为。质量为m

的小球静止在环内最高处

A

点，由于某种干扰，小球沿环向下滑动。问小球滑到与环心O

在同一高度的B

点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径解：在小球下滑过程中，系统角动量守恒和机械能守恒：对

B点：解得：因为对C点：所以得环的角速度仍为：小球相对环的速度即为小球相对地的速度：

习题六试证（1）半径和质量都相同的实心圆柱体、圆筒和实心球，沿同一斜面、同一高度从静止纯滚动地滚下时，它们到达底部的次序是：实心球最先，圆柱体次之，圆筒最后；（2）不同质量、不同半径的均匀实心圆柱体在斜面上滚下时质心具有同一加速度。证一：机械能守恒考虑到纯滚动：质心速度所以得因为所以即——得证证二：由上述结论质心速度质心加速度因为所以得即因而有——与m、R无关，得证

习题七设某机器上的飞轮的转动惯量为J，其在制动力矩的作用下，角速度由减小到，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？解：由转动定律：移项后两边积分：得再由转动动能定理得

习题八两均匀圆柱分别绕它们本身的轴转动，二轴互相平行。一圆柱的半径为，质量为，另一圆柱的半径为，质量为。开始它们沿同一转向分别以及的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。

解一：接触时产生摩擦力由转动定理得考虑到两圆柱在摩擦力的作用下作匀减速转动，有考虑到在它们C

点的线速度相等，有由（1）、（2）、（3）得由（4）、（5）得解（6）、（7）、（8）得

习题九水平面内有一静止的长为l，质量为m

的细棒，可绕通过棒一端O

点的铅直轴旋转。今有一质量为、速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）。试求：（1）子弹穿出瞬间，棒的角速度为多少？（2）当棒以ω转动时，受到的阻力矩为多少？（3）棒从变为时，经历的时间为多少？

解：（1）系统所受外力矩为零，角动量守恒：所以得（2）所以得（3）由有1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体(m1>m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力[B]·o(A)处处相等.(B)左边大于右边.(C)右边大于左边.(D)无法判断.

2.均匀细棒oA

可绕通过其一端

o而与