有理系数多项式

有理系数多项式第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三二、本原多项式1.定义设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

是一有理系数多项式.选取适当的整数c

乘f(x)，总可以使c

f(x)是一整系数多项式.如果c

f(x)的各项系数有公因子，就可以提出来，得到第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三c

f(x)=d

g(x)，也就是其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于1的公因子.例如第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三定义10

如果一个非零的整系数多项式g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b0

的系数bn,bn-1,…,b0

没有异于1的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r

与一个本原多项式g(x)的乘积，即第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三f(x)=r

g(x).可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果f(x)=r

g(x)=r1

g1(x),其中g(x),g1(x)都是本原多项式，r=

r1,g(x)=

g1(x).因为f(x)与g(x)只差一个常数倍，所以f(x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式g(x)的因那么必有第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三式分解问题.下面我们进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘乘积的问题是一致的.积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的作为准备，我们先证2.性质定理10(高斯(Gauss)引理)

两个本原多项式的乘积还是本原多项式.第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三证明设g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,是两个本原多项式，h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0

是它们的乘积.我们用反证法.如果h(x)不是本原的，也就是说h(x)的系数dn+m,dn+m-1

,…,d0

有而第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三一异于1的公因子，那么就有一个素数p

能整除h(x)的每一个系数.因为f(x)是本原的，所以p

不能同时整除f(x)的每一个系数.令ai

是第一个不能被p

整除的系数，即p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同样地，g(x)也是本原的，令bj是第一个不能被p

整除的系数，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期三我们来看h(x)的系数di+j,由乘积的定义di+j=aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+...+ai-1bj+1+ai-2bj+2+….由上面的假设，p

整除等式左端的di+j

，p

整除右端aibj

以外的每一项，但是p

不能整除aibj

.这是不可能的.这就证明了，h(x)一定也是本原多项式.证毕第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期三三、整系数多项式的分解定理定理11

如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.证明设整系数多项式f(x)有分解式f(x)=g(x)h(x)，其中g(x),h(x)是有理系数多项式，且(g(x))<(f(x))，(h(x))<(f(x)).第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期三令f(x)=af1(x)，g(x)=rg1(x)，h(x)=sh1(x)，这里f1(x)，g1(x)，h1(x)都是本原多项式，a是整数，r,s

是有理数.于是af1(x)=rsg1(x)h1(x).由g1(x)h1(x)是本原多项式，从而rs=a.这就是说，rs是一整数.因此，我们有第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期三f(x)=(rsg1(x))h1(x).这里rsg1(x)与h1(x)都是整系数多项式，且次数都低于f(x)的次数.证毕由定理的证明容易得出推论

设f

(x)，g

(x)是整系数多项式，且g

(x)是本原的.如果

f

(x)=g

(x)h

(x)，其中h

(x)是有理系数多项式，那么

h

(x)一定是整系数的.第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期三四、整系数多项式的有理根的求法定理12

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中r,s

互素，那么必有s|an,r|a0.特别地，如果

f(x)的首项系数an=1，那么f(x)的有理根都是整数，而且是a0的因子.第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期三证明因为是f(x)

的一个有理根.因此在有理数域上从而(sx-r)|f(x).因为

r,s

互素，所以sx-r是一个本原多项式.根据上述第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期三f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0),式中bn-1,…,b0都是整数.比较两边系数，即得an

=sbn-1,a0=-rb0.因此s|an,r|a0.证毕第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期三五、举例例1

求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根.解这个方程的有理根只可能是用剩余除法可以得出，除去1以外全不是它的根，因之这个方程的有理根只有x=1.第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期三例2

证明f(x)=x3-5x+1在有理数域上不可约.证明如果f(x)可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根.但是f(x)的有理根只可能是1.直接验算可知1全不是根，因而f(x)在有理数域上不可约.第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期三六、整系数多项式不可约的条件定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p,使得1.

p

|

an;2.

p

|

an-1,an-2,…,a0;3.

p2

|

a0;那么f(x)在有理数域上是不可约的.第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期三证明如果f(x)在有理数域上可约，那么由f(x)可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m<n,l+m=n).因此an=blcm,a0=b0c0.因为p|a0,所以p能整除b0或c0.但p2|a0,第十九页，共二十一页，编辑于2023年，星期三所以p

不能同时整除b0及c0.因此不妨假设p|b0

但p|c0.另一方面，因为p|an,所以p|bl.假设b0,b1,…,bl

中第一个不能被p

整除的是bk.比较f(x)中xk

的系数，得等式ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,