2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.（3分）下列运算中，计算正确的是（）

A.（b—a）2=b2—a2B.3a•2a=6a

C.（-x2）2=x4D.a64-a2=a3

2.（3分）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形

的是（）

A.GffiDB®

3.（3分）学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳

次数分别是172,169,180,182,175,176,这6个数据的中位数是（）

A.181B.175C.176D.175.5

4.（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯

视图，则所需的小正方体的个数最多是（）

fflzi由

左视图俯视图

A.7B.8C.9D.10

5.（3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,

单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

6.（3分）已知关于x的分式方程智-£=1的解是正数，则m的取值范

围是（）

A.m>4B.m<4

C.m>4且mW5D.mV4且mWl

7.（3分）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某

班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和

围棋（两种都购买）共花费360元.其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有

多少种购买方案？（）

A.5B.6C.7D.8

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形0BAD

的顶点B在反比例函数y=:的图象上，顶点A在反比例函数y=:的图象上，顶

点D在x轴的负半轴上.若平行四边形0BAD的面积是5,则k的值是（）

9.（3分）如图，AABC中，AB=AC,AD平分/BAC与BC相交于点D,点E是

AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若4ABC的面积是24,

PD=1.5,则PE的长是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

10.（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点F是CD上

一点，0EL0F交BC于点E,连接AE,BF交于点P,连接0P.则下列结论：①AE

±BF；②N0PA=45。；③AP-BP=&0P；④若BE：CE=2：3,则tanNCAE号；⑤四

边形0ECF的面积是正方形ABCD面积的;.其中正确的结论是（）

4

A.①②④⑤B.①②③⑤

C.①②③④D.①③④⑤

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.（3分）我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，

共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为

12.（3分）在函数丫=而［1中，自变量x的取值范围是.

13.（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,0A=0C,

14.（3分）在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜

色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是.

15.（3分）若关于x的一元一次不等式组「X-的解集为x<2,则a的

Ix—a<0

取值范围是.

16.（3分）如图，在。0中，AB是。0的弦，。。的半径为3cm.c为。。上

一点，ZACB=60°,则AB的长为cm.

17.（3分）若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,

则这个圆锥的底面半径为cm.

18.（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZBAD=60°,

AD=3,AH是NBAC的平分线，CELAH于点E,点P是直线AB上的一个动点，则

0P+PE的最小值是.

19.（3分）在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P

是直线BC上的一个动点.若4APE是直角三角形，则BP的长为.

20.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A］，A2,A3,A4…在x轴上且

0Ai=l,0A2=20Ar0A3=20A2,0A4=20A3…按止匕规律，过点A2,A3,A4…作

x轴的垂线分别与直线y=V5x交于点电,B2,B3,B4…记△OA1B1，A0A2B2,

△3A3B3,△OA4B4…的面积分别为Si，S2,S3,S4…则S2022=.

三、解答题（满分60分）

21.（5分）先化简，再求值：（臣詈一1）+工，其中a=2cos3。。+1.

22.(6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长

度，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(l,-1),B(2,-5),

C(5,-4).

(1)将aABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△AiBiJ,

画出两次平移后的△A1B1C〉并写出点A1的坐标；

(2)画出△AiBiJ绕点J顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的

坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果

保留TT).

23.（6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1,0）,点B（2,-3）,

与y轴交于点3抛物线的顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P,使4PBC的面积是4BCD面积的4倍，若存在,

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.（7分）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进

行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是:

A组：x<8.5

B组：8.5^x0

C组：94V9.5

D组:9.5<x<10

E组：x^lO

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下

列问题：

（1）本次共调查了名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少

人？

25.(8分)为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往

B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修,

此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的

蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车

离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是km/h,乙车出发时速度是km/h；

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)

的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.

26.（8分）AABC和4ADE都是等边三角形.

（1）将4ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P

（点P与点A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立（不需证明）；

（2）将4ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接

PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

（3）将4ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接

PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

27.（10分）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳.已知购进

10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳

绳共需300元.

（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花

费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少

28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴

上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方

程x2-7x+12=0的两个根（0A<0B）,tanNDAB=%动点P从点D出发以每秒

1个单位长度的速度沿折线DC-CB向点B运动，到达B点停止.设运动时间为t

秒，AAPC的面积为S.

（1）求点C的坐标；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在点P,使4CMP是等腰三角形？若存

在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2022年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

参考答案

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.（3分）下列运算中，计算正确的是（）

A.（b—a）2=b2—a2B.3a•2a=6a

C.（-x2）2=x4D.a64-a2=a3

答案：C

解析：A.（b-a）2=b2-2ab+a2,故A不正确；

B.3a•2a=6a2,故B不正确;

C.（-x2）2=x4,故C正确；

D.a64-a2=a4,故D不符合题意；

故选：C.

2.（3分）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形

的是（）

A®

答案：c

解析：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

3.（3分）学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳

次数分别是172,169,180,182,175,176,这6个数据的中位数是（）

A.181B.175C.176D.175.5

答案：D

解析：将这组数据从小到大排列为：169,172,175,176,180,182,

中位数=出产=175.5,

故选：D.

4.（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯

视图，则所需的小正方体的个数最多是（）

丑自

左视图俯视图

A.7B.8C.9D.10

答案：B

解析：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，

中间最高是2层，要是最多就都是2层，

最前面的最高是1层，

所以最多的为：2+2X2+1X2=8.

故选：B.

5.（3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,

单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

答案：B

解析：设共有x支队伍参加比赛，

根据题意，可得空=45,

解得x=10或x=-9（舍），

共有10支队伍参加比赛.

故选：B.

6.（3分）已知关于x的分式方程答—2=1的解是正数，则m的取值范

围是（）

A.m>4B.m<4

C.m>4且mW5D.m<4且m#l

答案：C

解析：方程两边同时乘以x-l得，2x-m+3=x-l,

解得x=m-4.

Tx为正数，

.•.m-4>0,解得m>4,

Vx^l,

.".m-4WL即m#5,

Am的取值范围是m>4且mW5.

故选：C.

7.（3分）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某

班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和

围棋（两种都购买）共花费360元.其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有

多少种购买方案？（）

A.5B.6C.7D.8

答案：A

解析：设购买毛笔x支，围棋y副，

根据题意，得15x+20y=360,

3

•・y=i8-产

•••两种都买，

/.18A>0,x、y都是正整数，

4

解得xV24,

故x是4的倍数且xV24,

/.x-4,y=15或x=8,y=12或x=12,y=9或x=16,y=6或x=20,y=3；

，共有5种购买方案，

故选：A.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形OBAD

的顶点B在反比例函数y=:的图象上，顶点A在反比例函数y=:的图象上，顶

点D在x轴的负半轴上.若平行四边形OBAD的面积是5,则k的值是（）

解析：设B（a,-）,

a

,:四边形OBAD是平行四边形，

.,.AB/7DO,

:.A（勺，-）,

3a

.,.AB=a--,

3

•••平行四边形OBAD的面积是5,

（a-勺）=5,

a3

解得k=-2,

故选：D.

9.（3分）如图，^ABC中，AB=AC,AD平分NBAC与BC相交于点D,点E是

AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若aABC的面积是24,

PD=1.5,则PE的长是（）

C.3.5D.3

答案：A

解析：如图，过点E作EG_LAD于G,

TAB=AC,AD平分NBAC,

AAD1BC,BD=CD,

AZPDF=ZEGP=90°,EG〃BC,

•.•点E是AB的中点，

，G是AD的中点，

...EG^BD,

•.•F是CD的中点，

，DF=±D,

2

，EG=DF,

VZEPG=ZDPF,

/.△EGP^AFDP(AAS),

，PG=PD=L5,

.,.AD=2DG=6,

,:AABC的面积是24,

.」BC・AD=24,

2

ABC=484-6=8,

，DF』BC=2,

4

.\EG=DF=2,

由勾股定理得：PE=M+1.52=2.5.

故选：A.

10.（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点F是CD上

一点，0EL0F交BC于点E,连接AE,BF交于点P,连接0P.则下列结论：①AE

1BF；②N0PA=45。；③AP-BP=&0P；④若BE：CE=2：3,则tan/CAE=*⑤四

边形0ECF的面积是正方形ABCD面积的;.其中正确的结论是（）

4

A.①②④⑤B.①②③⑤

C.①②③④D.①③④⑤

答案：B

解析：①•.•四边形ABCD是正方形，

.*.AB=BC=CD,AC±BD,ZABD=ZDBC=ZACD=45°.

AZB0E+ZE0C=90°,

VOE±OF,

/.ZF0C+ZE0C=90°.

ZBOE=ZCOF.

ZOBE=ZOCF=45°

在ABOE和ACOF中，，OB=OC

、ZBOE=ZCOF

.,.△BOE^ACOF(ASA),

.,.BE=CF.

AB=BC

在aBAE和ACBF中，，ZABC=ZBCF=90°

、BE=CF

AABAE^ACBF(SAS),

:.ZBAE=ZCBF.

VZABP+ZCBF=90",

AZABP+ZBAE=90°,

.,•ZAPB=90°.

，AE_LBF.

...①的结论正确；

②•.•NAPB=90°,ZA0B=90°,

.,.点A,B,P,0四点共圆，

AZAP0=ZAB0=45°,

.•.②的结论正确；

③过点0作OH_LOP,交AP于点H,如图，

.•.OH=OP*HP,

2

/.HP=V20P.

VOH±OP,

/.ZP0B+ZH0B=90o,

VOA1OB,

/.ZA0H+ZH0B=90°.

:.ZAOH=ZBOP.

VZ0AH+BAE=45°,N0BP+NCBF=45°,ZBAE=ZCBF,

JNOAH=NOBP.

ZOAH=ZOBP

OA=OB

{ZAOH=ZBOP

.,.△AOH^ABOP(ASA),

.,.AH=BP.

:.AP-BP=AP-AH=HP=V20P.

.•.③的结论正确；

©VBE：CE=2：3,

.,.设BE=2x,则CE=3x,

/.AB=BC=5x,

AAE=VAB2+BE2=V29x.

过点E作EG_LAC于点G,如图,

/.AG=VAE2—GE2=—x,

2

在RtZiAEG中，

•.,tan/CAE嘿，

3\[2

/.tan2^CAE=务"=

争7

•••④的结论不正确；

⑤•.•四边形ABCD是正方形，

.,.OA=OB=OC=OD,ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZD0A=90°,

AAOAB^AOBC^AOCD^ADOA（SAS）.

,.SAOBCqS正方形ABCD,

,.SABOE+S^OEC二S正方形ABCD,

由①知：△BOEgZkCOF,

，SAOBE=SAOFC，

,•SAOEC+SAOFCGS正方形ABCD•

即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的"

...⑤的结论正确.

综上，①②③⑤的结论正确.

故选：B.

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.（3分）我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，

共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为

答案：1.89X108

解析：1.89亿=189000000=1.89X1（）8.

故答案为：L89X108.

12.（3分）在函数y=居二？中，自变量x的取值范围是.

答案：x芸

解析：根据题意得，2X-320,

解得心去

故答案为：x，］.

13.（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,OA=OC,

请你添加一个条件,使AAOB名△COD.

解析：添加的条件是OB=OD,

'AO=CO

理由是：在AAOB和△（：（©中，，ZAOB=ZCOD

、BO=DO

.,.△AOB^ACOD（SAS）,

故答案为：OB=OD（答案不唯一）.

14.（3分）在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜

色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是.

答案：：

解析：•.•在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外

其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，

工摸到红球的概率是：三=；.

2+43

故答案为：g.

15.（3分）若关于x的一元一次不等式组/X-1<3的解集为x<2,则a的

Ix—a<0

取值范围是.

答案：a22

Y<2

（x<a

•.•不等式组的解集为xV2,

，a22.

故答案为：a，2.

16.（3分）如图，在。0中，AB是。0的弦，。。的半径为3cm.c为上

一点，ZACB=60°,则AB的长为cm.

B

w

c

答案：3V3

解析：连接AO并延长交。0于点D,

TAD是。。的直径，

/.ZABD=90°,

VZACB=60°,

/.ZADB=ZACB=60°,

在RtAABD中,AD=6cm,

.•.AB=AD・sin60。=6Xy=3V3(cm),

故答案为：3V3.

17.(3分)若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,

则这个圆锥的底面半径为cm.

答案：|

解析：圆锥侧面展开图扇形的弧长为：**=三九，

loU3

设圆锥的底面半径为r,

贝！J211T=y7T,

•5

..r-cm.

3

故答案为：

18.（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZBAD=60°,

AD=3,AH是NBAC的平分线，CELAH于点E,点P是直线AB上的一个动点，则

0P+PE的最小值是

解析：连接0E,过点0作0F_LAB,垂足为F,并延长到点0',使O'F=0F,

连接O'E交直线AB于点P,连接0P,

...AP是00'的垂直平分线，

，0P=0'P,

.,.0P+PE=0/P+PE=0'E,

此时，OP+PE的值最小，

•.•四边形ABCD是菱形，

，AD=AB=3,ZBAC=iZBAD,OA=OC=-AC,OD=OB』BD,ZA0D=90o,

222

VZBAD=60°,

.•.△ADB是等边三角形，

，BD=AD=3,

.,.OD=-BD=-,

22

/.AO=VAD2—DO2=J32—（|）2=苧，

.\AC=20A=3V3,

VCE±AH,

/.ZAEC=90°,

.,.OE=OA=iAC=—,

22

:.Z0AE=Z0EA,

〈AE平分NCAB,

/.Z0AE=ZEAB,

:.Z0EA=ZEAB,

，OE〃AB,

ZE0F=ZAF0=90°,

在RtZiAOF中，Z0AB=|ZDAB=30°,

.•.nOrF*=^IOcA=—3^3,

24

：.00'=20F1理，

2

2

在RtZkEOO'中，O'E=JEO+OO/?=J（苧）2+（等）2=苧,

.,.OP+PE=^,

2

AOP+PE的最小值为竽，

故答案为：竽.

19.（3分）在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P

是直线BC上的一个动点.若4APE是直角三角形，则BP的长为.

答案：斗或自或6

34

解析：若AAPE是直角三角形，有以下三种情况：

①如图1,ZAEP=90",

/.ZAED+ZCEP=90°,

•..四边形ABCD是矩形,

/.ZC=ZD=90°,

：.ZCEP+ZCPE=90°,

:.ZAED=ZCPE,

.,.△ADE^AECP,

•ADDE129-4

:.—=—,即nn一二—

CECP4CP

.,.CP=|,

VBC=AD=12,

.•.BP=12芸

VZDAE+ZBAE=NBAE+NBAP=90°,

，ZDAE=ZBAP,

VZD=ZABP=90°,

.,.△ADE^AABP,

•ADDE0n125

t•=,Rp=9

ABPB9BP

・'BP/

③如图3,ZAPE=90°,设BP=x，则PC=12-x,

D

BPC

图3

同理得：△ABPS^PCE,

•ABBPRn9x

PCCE12-x4

/.X1=X2=6,

.\BP=6,

综上，BP的长是4或手或6.

34

故答案为：弓或弓或6.

20.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A],A2,A3,A4…在x轴上且

0Ai=l,0A2=20Ar0A3=20A2,0A4=20A3…按止匕规律，过点A「A2,A3,A4…作

x轴的垂线分别与直线y=V5x交于点电,B2,B3,B4…记△OA1B1，A0A2B2,

解析：VOA^l,0A2=20A!，

»,•0A2=2j

V0A3=20A2,

.*.0A3=4,

V0A4=20A3,

:.OA4—8,

把x=l代入直线y=V3x中可得：y=V3,

AjBi=V3,

把x=2代入直线y=V5x中可得：y=2V3,

A2Bz=2V^,

把x=4代入直线y=V3x中可得：y=4V3,

A3B3=4V^>

把x=8代入直线y=6x中可得：y=8V3,

A4.B4=8,

/.S1=k)A1«A1B1=ixixV3=ix2°X(2°XV3),

=1

S2^A2*A2B2=ix2X2V3=ix2X⑵乂回，

z2

S3=10A3«A3B3=ix4X4V3=ix2X(2XV3),

33

S4=^OA4*A4B4=1X8X8V3=1X2X(2XV3),

，X22021X20214041

•-S2022=j（2XV3）=2V3,

故答案为：2例41

三、解答题（满分60分）

21.（5分）先化简，再求值：（手一1）一生i,其中a=2cos30°+1.

az-la+1

/a2-2aa2-l、2a-l

(-7----------o)-j----------

a2-la2-la+1

1—2aa+1

-----------------X--------

(a+l)(a-l)2a-l

_1

1-a

当a=2cos30。+1=2X曰+1=每1时，

原式^^二一2?.

1—V3—13

22.(6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长

度，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(l,-1),B(2,-5),

C(5,-4).

(1)将AABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△AiBiJ,

画出两次平移后的△AiBiCi，并写出点A1的坐标；

(2)画出aAiBiCi绕点J顺时针旋转90°后得到△A2B2J,并写出点A2的

坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果

保留7T).

解答：(1)如图，ZkAiBig即为所求，点Ai的坐标(-5,3)；

(2)如图，ZkAzB2cl即为所求，点A2的坐标(2,4)；

(3),.,AiCi=V32+42=5,

...点Ai旋转到点A?的过程中所经过的路径长=瞥=

23.（6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（T,0）,点B（2,-3）,

与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P,使4PBC的面积是ABCD面积的4倍，若存在,

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解答：(1)•••抛物线丫=*2+6*+(:经过点人(-1,0),点B(2,-3),

,(1-b+c=O

(4+2b+c=-3

解得b=-2,c=-3,

.••抛物线的解析式：y=x2-2x-3；

(2)存在，理由如下：

*.*y=X2—2x—3=(x—I)2—4,

.♦.D点坐标为(1,-4),

令x=0,贝！］y=x2—2x—3=-3,

，C点坐标为（0,-3）,

又-B点坐标为（2,-3）,

，BC〃x轴，

•\SABCDWX2X1=1,

设抛物线上的点P坐标为（m,m2-2m-3）,

22

/.SAPBC=1X2X|m-2m-3-（-3）|=|m-2m|,

当|m2-2m|=4X1时，

解得m=l±V^,

当m=l+V^时，m2-2m-3=L

当时，m2-2m-3=L

综上，P点坐标为（1+用，1）或（1-芯，1）.

24.（7分）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进

行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是:

A组：x<8.5

B组：8.5<x<9

C组：9Wx<9.5

D组：9,5<x<10

E组：x210

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下

列问题：

（1）本次共调查了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少

人？

即本次共调查了100名学生,

故答案为：100；

即D组所对应的扇形圆心角的度数是72°；

(4)1500X^-375(人)，

答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人.

25.(8分)为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往

B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修,

此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的

蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车

离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是km/h,乙车出发时速度是km/h；

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)

的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.

解答：(1)由图象可得，

甲车的速度为：5004-5=100(km/h),

乙车出发时速度是：3004-5=60(km/h),

故答案为：100,60；

(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)

的函数解析式是y=kx+b,

•.•点(9,300),(12,0)在该函数图象上，

.C9k+b=300

,•[12k+b=0

解瞰/黑

即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函

数解析式是y=-100x+1200；

(3)设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km,

当0VmV5时，

100m-60m=120,

解得m=3；

当5.5VmV8时，

100(m-5.5)+120+300=500,

解得m=6.3；

当9VmV12时，

乙车返回的速度为：3004-(12-9)=100(km/h),

100(m-8)+100(m-9)=120,

解得m=9.1；

答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km.

26.(8分)^ABC和aADE都是等边三角形.

(1)将4ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P

(点P与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明)；

(2)将4ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接

PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将aADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接

PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

解答：(2)PB=PA+PC,理由如下：

如图②，在BP上截取BF=PC,连接AF,

图②

•.'△ABC、ZiADE都是等边三角形,

.*.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

:.NBAC+NCAD=NCAD+NDAE,

即NDAB=NEAC,

/.AABD^AACE(SAS),

:.NABD=NACE,

VAB=AC,BF=CP,

.'.△BAF^ACAP(SAS),

.*.AF=AP,ZBAF=ZCAP,

/.ZBAC=ZPAF=60°,

...△AFP是等边三角形，

，PF=PA,

.,.PB=BF+PF=PC+PA；

(3)PC=PA+PB,理由如下：

如图③，在PC上截取CM=PB,连接AM,

同理得：△ABDgAACE(SAS),

I.NABD=NACE,

VAB=AC,PB=CM,

AAAMC^AAPB(SAS),

.•.AM=AP,NBAP=NCAM,

，NBAC=NPAM=60°,

.'.△AMP是等边三角形，

.•.PM=PA,

.\PC=PM+CM=PA+PB.

27.(10分)学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳.已知购进

10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳

绳共需300元.

(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花

费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少

元？

解答：(1)设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，

依题意得：｛IM