2022年湖南省衡阳市 衡东县荣桓中学高一数学文月考试题含解析

2022年湖南省衡阳市衡东县荣桓中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线过点（1，-1），且在两坐标轴上的截距之和为，则直线的力方程为（A）2x-y-3=0

（B）2x+y-1=0（C）x-2y-3=0

(D)2x+y-1=0或x-2y-3=0参考答案：D2.设a=cos6°﹣sin6°，b=，c=，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数恒等变换化简可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25°．根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a=cos6°﹣sin6°=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin24°，b==sin26°，c==sin25°．∵0°＜24°＜25°＜26°＜90°∴sin26°＞sin25°＞sin24°，即有：a＜c＜b，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．3.在空间中，给出下面四个命题：(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；(3)两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是()A．(1)(2)

B．(2)(3)

C．(3)(4)

D．(1)(4)参考答案：D4.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．考点：函数的单调性．5.已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数 B．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数C．f（x）和g（x）都是偶函数 D．f（x）和g（x）都是奇函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶函数的定义，即可判断f（x），g（x）的奇偶性．【解答】解：函数f（x）=x+，定义域为{x|x≠0}关于原点对称．由f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数；g（x）=2x+，定义域为R，由g（﹣x）=2﹣x+2x=g（x），则g（x）为偶函数．故选：A．6.设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有A．f()<f(2)<f()

B．f()<f(2)<f()

C．f()<f()<f(2)

D．f(2)<f()<f()参考答案：C函数满足f(2－x)＝f(x)，则：，，当x≥1时，f(x)＝lnx，即函数在区间上单调递增，由函数的单调性可得：，故.本题选择C选项.

7.设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经观察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（）A．，t∈[0，24] B．，t∈[0，24]C．，t∈[0，24] D．，t∈[0，24]参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=K+Asin（ωx+φ）中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．【解答】解：排除法：∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，∴由T=12可排除C、D，将（3，15）代入排除B．故选A【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．8.化简的结果是（

）.

.

.

.参考答案：C略9.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（

）A.

B.2

C.

D.4参考答案：D10.如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（

）A．①④B．①③C．②④D．①②参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，则A=(用反三角形式表示).参考答案：或

12.（5分）化简（1+tan2α）cos2α=

．参考答案：1考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系，计算求得结果．解答： （1+tan2α）cos2α=?cos2α=1，故答案为：1．点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．13.已知函数y=的单调递增区间为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣1＞0，求得函数的定义域，再由y=，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x2﹣1＞0，求得x＞1，或x＜﹣1，故函数的定义域为{x|x＞1，或x＜﹣1}，且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．14.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝__________.参考答案：80略15.设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)·(an＋3)，则数列{an}的通项公式an＝________.参考答案：2n＋1略16.等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为

．参考答案：17.在数列中，，，（），则该数列前2014项的和为_________．参考答案：4028略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA^平面ABC，VA=AB.（I）证明：平面VAC^平面VBC；（II）当三棱锥A-VBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小.参考答案：I）证明：∵AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，∴BC^AC，由VA^平面ABC，

∴BC^VA，而AC?VA=A，

∴BC⊥面VAC，

由BCì平面VBC，

∴平面VAC^平面VBC.

（II）方法1：∵VA^平面ABC，∴VA为三棱锥V-ABC的高，则，当DABC的面积最大时，最大.

设AB=2a，设BC=x(0<x<2a)，则，则∴当x2=2a2时，即时，DABC的面积最大，最大.…10分由(1)知：BC⊥面VAC，则DBVC为VB与平面VAC所成角，

在RtDVBC中，，，，∴DBVC=30°，故直线VB与平面VAC所成角为30°.

方法2：∵VA^平面ABC，∴VA为三棱锥V-ABC的高，则，当DABC的面积最大时，最大.

设AB=2a，过点C做CM^AB，垂足为M，则∴当M与O重合时，CM最大，此时，∴当，DABC的面积最大，最大.略19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC．由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．设QD=x，则S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，在Rt△POC中，PC=，所以PC=CD=DP，S△PCD==，由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时=．20.已知函数满足：①；②.（1）求的值；（2）设，是否存在实数使为偶函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）设函数，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．参考答案：解：（1），

①

又，即，②

将①式代入②式，得，又∵，

∴，．

（2）由（1）得，

，

假设存在实数使为偶函数，则有

，即，可得．

故存在实数使为偶函数．

（3）方法1∵函数，

有解，即又∵，∴的最小值为，∴；

又，

即，

（*）

∴当时，方程（*）有2个不同的实数根；

当时，方程（*）有1个实数根；

当时，方程（*）没有实数根．

综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；

当时，函数在定义域范围内有1个零点；

当时，函数在定义域范围内没有零点．

方法2∵函数，

有解，

又∵，∴的最小值为，∴；

又，

即

∴当时，直线与抛物线有2个不同的交点；

当时，直线与抛物线有1个交点；

当时，直线与抛物线没有交点．

综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；

当时，函数在定义域范围内有1个零点；

当时，函数在定义域范围内没有零点．略21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的