2022北京海淀八一学校校初二（下）期中数学试题及答案

2022北京八一学校初二（下）期中数学一、选择题（每题3分）第－题均有四个这项，符合题意的选项只有一个．1.下列各式中，是最简二次根式的是（）1A.B.32C.7D.a222.如图，在平行四边形ABCD中，∠AC＝，则∠B的度数为（）A.140°B.120°C.110°D.100°3.下列运算正确的是（）A.8－2＝2B.2＝－3）1913C.4＝2D.4+9＝4＋94.如图，在RtABC中，∠＝90°，AC6BC＝，若DE分别为边AC的中点，则DE的长为（）A.B.5C.4D.35.在△中，∠A，∠，∠C对边分别是，，，下列条件中，不能判定△是直角三角形的是（）A.∶∶c＝∶∶3B.＝3b＝，c5D.∠＋∠B＝）C.＝1b＝10，c＝36.如图，数轴上点M所表示的数为mm的值是（A.5－2B.5－1C.5＋1D.－57.下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）．．．A对角线互相平分的四边形是平行四边形1/28B.有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.有两组对角相等的四边形是平行四边形，()，将线段B4,0AB平移得到线段CD，点B对应点C恰好落在y轴上，且四边形A1,08.如图，已知点ABCD的面积为，则四边形ABCD的周长为（）A.B.16C.18D.9.图1是第七届国际数学教育大会（﹣）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2OAAA＝AA…AA＝1OA的长为（）11223788A.22B.3C.10D.1110.如图，在直角△ABC中，AB=BCD上一动点，以为直角边作等腰直角△DBEDE交于点F，连接CE．过点B作BQDE于点PQ．下面结论中正确的有（）个①△ABDCBE：②∠CDE=ABD；③ADCQ2=DQ2：④当ADDC=1：，S△+S△DCE=S△；⑤当时=时，BDEF=2+1．A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题311.若x−1在实数范围内有意义，则x取值范围是__．2/2812.比较大小：23________13（填＞”、、“”）13.如图，ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，的长为，则△OBC的周长为___________．14.如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（11015.若n是整数，则正整数n的最小值是_____．16.在△中，∠BAC90°AB＝AC4为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段的长为____．三、解答题（题每小题3分，共12分，－每解题4分，－，每题5分，共52分）17.计算：（1）8＋32－18（2）8×6－46÷22（3）（23＋6）2（42＋3）（2－）18.下面是小明设计的“作平行四边形ABCD的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点，使点M为边的中点．作法：如图，①作射线DA：②以点A为圆心，长为半径画弧，交DA的延长线于点；3/28③连接交于点M．所以点M就是所求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接ACEB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵AE＝_________，∴四边形EBCA是平行四边形（_________）（填推理的依据）∴AM＝MB（_________）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边的中点．19.如图，△中，∠ACB＝90°，AB50BC＝，⊥于D的长．20.＝7＋2，b＝7－2，求a2－＋2的值．21.如图，在平行四边形ABCD中，点EF分别在AD，上，且AE＝CF，连接BEDF．求证：BE＝DF．22.如图，四边形中，∠B＝90°AB＝4＝3CD＝AD＝．求四边形ABCD的面积．23.如图，△D是边上任意一点，F是中点，过点C作∥交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B30°，∠CAB＝45°AC＝6，＝BD的长．4/2824.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如＋22＝（1＋2）2．善于思考的小明进行了以下探索：设＋b2＝（m＋n2）2（其中、bm、n均为整数），则有a＋b2＝m22mn2＋2n2，m2＋n2，＝mn．这样小明就找到了把类似＋b2的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明方法探索并解决下列问题：（1、bm、n均为整数时，若ab5＝（m＋n5）2，用含mn的代数式分别表示、，则：a＝，＝（2）利用所探索的结论找一组正整数abmn填空：（3＋65＝（m＋n5）．且mn均为正整数，求a的值．；＋5＝（＋5）225.如图，在△ABC中，ABAC，∠BAC30°，作射线BM，∠ABM80°D在射线上，连接AD，E是AD的中点，BE的对称点为，连接DF．（1）依题意补全图形：（2）判断与DF的数量关系并证明：（3）平面内一点GDGDB，FGFC，求∠的值．26.已知∠MON90°AON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1CDOB，CDOA，连接ADBD；①△AOB与△全等，∠OBA＋∠ADC＝°；②若OA＝OB＝bBD＝；（用含，b的式子表示）（2）如图2，在线段上截取BEBEOA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．5/286/28参考答案一、选择题（每题3分）第－题均有四个这项，符合题意的选项只有一个．1.下列各式中，是最简二次根式的是（）1A.B.32C.7D.a22【答案】C【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】A、被开方数含分母，不最简二次根式，不符合题意，B、32=42，被开方数含能开的尽方的因数或因式，不符合题意，C、7是最简二次根式，符合题意，D、a2=a，被开方数含能开的尽方的因数或因式，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查最简二次根式，掌握简二次根式的定义是解题关键．2.如图，在平行四边形ABCD中，∠AC＝，则∠B的度数为（）A.140°B.120°C.110°D.100°【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得A=C，结合已知条件即可求解．，∥【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A=C∴，∥，A+B=180，∠＋∠C＝140°，A=，B=180−A=，故选C【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．3.下列运算正确的是（A.8－2＝2）B.2＝－3）7/281913C.4＝2D.4+9＝4＋9【答案】A【解析】【分析】根据二次根式加减与二次根式的性质，分别计算求解即可【详解】解：A.8－2＝2，故该选项正确，符合题意；B.C.2＝3，故该选项不正确，不符合题意；）193734＝，故该选项不正确，不符合题意；D.4+9＝13，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次根式的性质与计算，掌握二次根式的性质是解题的关键．4.如图，在RtABC中，∠＝90°，AC6BC＝，若DE分别为边AC的中点，则DE的长为（）A.B.5C.4D.3【答案】B【解析】12【分析】首先利用勾股定理可求出的长，再由三角形中位线定理可得到DE=AB，问题得解．【详解】解：∵在Rt△中，∠ACB=90°，=6，BC=8，∴AB=2+=10，2∵点DE分别为AC，的中点，∴DE是△ABC的中位线，1∴DE=AB=5，2故选．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及勾股定理的运用，熟记性质与定理是解题的关键．5.在△中，∠A，∠，∠C的对边分别是，，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∶∶c＝∶∶3C.＝1b＝10，c＝3【答案】AB.＝3b＝，c5D.∠＋∠B＝8/28【解析】【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．【详解】A.a∶∶c＝∶∶3，a=2k,b=2k,c=k设则aa2+b+b2=8kc2,c2=9k2222不能判定△是直角三角形，故A选项符合题意；B.a＝3b＝，c5a2b2c225+==a+b=c222△是直角三角形,故B选项不符合题意；C.a＝1b＝10，c＝3a2c2b210+==a+c=b222△是直角三角形,故C选项不符合题意；D.∠＋∠B＝C=180−(+)=AB△是直角三角形,故D选项不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．6.如图，数轴上点M所表示的数为mm的值是（）A.5－2B.5－1C.5＋1D.－5【答案】B【解析】【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值．【详解】解：∵12+2=5，2∴m故选：．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．=5−1，7.下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）．．．A.对角线互相平分的四边形是平行四边形9/28B.有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.有两组对角相等的四边形是平行四边形【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故B符合题意；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意；D、两组对角相等的四边形是平行四边形，故D不符合题意．故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．，()，将线段B4,0AB平移得到线段CD，点B的对应点C恰好落在y轴上，且四边形A1,08.如图，已知点ABCD的面积为，则四边形ABCD的周长为（）A.B.16C.18D.【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据点B的坐标求出AB，再利用平行四边形的面积求出OC，然后利用勾股定理列式求出BC，再根据平行四边形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵线段平移得到线段，∴ABCDAB=，∴四边形ABCD是平行四边形，∵（10），（40∴AB=4-1=3，∵四边形ABCD的面积为9，∴3•OC=9，解得OC=3，在Rt中，由勾股定理得，BC=2+2=4+2=5，2∴四边形ABCD的周长=2（3+5=16．故选：．10/28【点睛】此题考查了坐标与图形变化平移，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟记性质并求出长度．9.图1是第七届国际数学教育大会（﹣）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2OAAA＝AA…AA＝1OA的长为（）11223788A.22B.3C.10D.11【答案】A【解析】【分析】OA＝1，根据勾股定理可得OA＝2+2＝2，OA＝(2)2+2＝3，找到OAn＝n的规律，即123可计算OA8的长．【详解】解：∵OA1＝，∴由勾股定理可得OA＝2+2＝2，OA＝(2)…，2+2＝3，∴OAn＝n，∴OA8＝8＝22．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OA＝n是解题的关键．10.如图，在直角△ABC中，AB=BCD上一动点，以为直角边作等腰直角△DBEDE交于点F，连接CE．过点B作BQDE于点PQ．下面结论中正确的有（）个①△ABDCBE：②∠CDE=ABD；③ADCQ2=DQ2：④当ADDC=1：，S△+S△DCE=S△；⑤当时=时，BDEF=2+1．11/28A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得ABC=DBE=90，A=ACB==BED=，则可判定①；由DEB=ACB=,DFC=可得∠CDF=CBE，然后根据①可判定②；根据勾股定理的S△；根据等腰三角形三线合一、垂直平分线和勾股性质，得BD，通过三角形面积公式计算，得S△+SDCE定理的性质，得AD2CQ=DQ；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得BDDF，过点F作⊥于点=BD=BE==y,FH=EH=xH，进而根据等腰直角三角形的性质、二次根式的计算，即可得到答案．【详解】解：∵直角△中，AB=BC，等腰直角△DBE，∴，ABC=DBE=90，=A=ACB==BED=，∵+CBD=CBE+CBD=，∴=CBE，△和△=BC=CBE=BE，∴△ABDCBE，即①正确；∴BCE=A=45，=，DEB=ACB=,DFC=∵，∴由三角形内角和可知∠CDF=CBE，∴∠CDE=ABD，故②正确；∵ADDC=1：，∴设AD=CE=m，DC=2m，∴AC=m，∵在等腰直角△AC32m∴ABBC===，22∵ACE=90，∴=2+CE2=m，∵等腰直角△DBE10mBD=BE==∴22过点B作⊥，交于点，如下图，12/28∵等腰直角△ABC13BM=AC=m∴∴，2=1212133SAD=mm=m2，2241=CE=2mm=m2，2221110m5=BDBE==m2，2224S△，即④错误；∴S△+S△DCE连接QE，如下图：∵BQDE，△是等腰直角三角形，∴=，∵=，ACE=90，∴CE2+CQ=QE2，2∴AD2CQ2DQ2，即③正确；∵CD=BC，ACB45=180−ACBCDB=CBD==67.5，AB=BC=CD，∴2∴CFE=BFD=180−CBD−BDE=−−=,13/28∴==,∴，==过点F作⊥于点H，如图所示：BD=BE==y,FH=EH=x设，∵DEB=45，∴△FHE是等腰直角三角形，∴=2=2y,=2=2x，∴DEDFFE=+=+y2x=2y，()y=2+2x∴∴，()2+2x==2+1BDEF=2+1；故⑤正确；2x∴①②③⑤正确；故选：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及二次根式等知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形及勾股定理，从而完成求解．二、填空题（每题311.若x−1在实数范围内有意义，则的取值范围是．x【答案】x．【解析】【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案.【详解】解：若x1在实数范围内有意义，−x−1则，解得：x．故答案为：x．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式.12.比较大小：23________13（填＞”、、“”）14/28【答案】<【解析】【详解】先把23化为12的形式，再比较被开方数的大小.本题解析:∵23=12,12<13,∴12<13即23<13,故答案为<.13.如图，ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，的长为，则△OBC的周长为___________．【答案】14【解析】【分析】根据两对角线之和为18，可得出OBOC的值，再由=BC，可得出△OBC的周长．12【详解】由题意得，OBOC=（+BD=9，又∵ADBC=5，∴△OBC的周长=9+5=14．故答案为．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质．14.如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（110【答案】4.55【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-）尺，利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-）尺由勾股定理得x2+32=10−x)2解得x=4.55故答案为：4.55．15/28【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．15.若n是整数，则正整数n的最小值是_____．【答案】5【解析】【详解】n=95n，∵n是整数，∴正整数n的最小值是．故答案为．16.在△中，∠BAC90°AB＝AC4为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段的长为____．【答案】8或45或210【解析】【分析】根据题意分类讨论，①CAD=90，②ACD=90，③ADC=90，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】①如图，当CAD=90时，=90，==，△ACD是等腰直角三角形，AC===4,BAD=BAC+CAD=BD=AB+AD=4+4=8②如图，当ACD=90时，过点D作DE⊥BC，交的延长线于点E，=90，==，△ACD，是等腰直角三角形，16/28CD=AC=AB=4，DCE=180−ACD−ACB=DE⊥BC又DEC是等腰直角三角形=CE在Rt△DEC中，2=CE2+=2222==222在Rt在中，BC=AB22+AC22=4222()()中，BD=BE+=4222++22=45③如图，当ADC=90时=90，==，△ACD，是等腰直角三角形，2CD=AD=AC=22，2在Rt在Rt中，BC=AB22+AC=42222()()22中，BD=CD+2=+42=210综上所述，BD的长为：8或45或210【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题（题每小题3分，共12分，－每解题4分，－，每题5分，共52分）17.计算：（1）8＋32－18（2）8×6－46÷22（3）（23＋6）2（42＋3）（2－）【答案】（1）32（2）23（3）48243+（4）22−13【解析】17/28【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算计算即可；（2）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）根据多项式的乘法以及二次根式的混合运算进行计算即可【小问1详解】解：原式=22+42−32=62−32=32【小问2详解】解：原式=23【小问3详解】解：原式1224336=++=48+243【小问4详解】解：原式=2−52+32−15=22−13【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．18.下面是小明设计的“作平行四边形ABCD的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点，使点M为边的中点．作法：如图，①作射线DA：②以点A为圆心，长为半径画弧，交DA的延长线于点；③连接交于点M．所以点M就是所求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接ACEB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．18/28∵AE＝_________，∴四边形EBCA是平行四边形（_________）（填推理的依据）∴AM＝MB（_________）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边的中点．【答案】（1）见解析2）BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分【解析】分析】（）根据题意作出图形即可；（2）连接ACEB，根据作图以及平行四边形的性质与判定完成证明过程即可．【小问1详解】如图所示，【小问2详解】证明：连接ACEB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵AEBC，∴四边形EBCA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∴AM＝MB（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边的中点．故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．19.如图，△中，∠ACB＝90°，AB50BC＝，⊥于D的长．【答案】24【解析】19/281212ACBC【分析】先利用勾股定理求出的长，再由三角形面积公式S△=ABCD=BC•AC，得到CD=，AB由此即可得到答案．【详解】解：∵△是直角三角形，AB=50，=30，由勾股定理有：AC2AB﹣BC2，∴AC=50−302=40．21212又∵S△=ABCD=BCAC，ACBC4030==24；∴CD=AB504【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练运用勾股定理，特别注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．20.＝7＋2，b＝7－2，求a2－＋2的值．【答案】13【解析】a−b,ab【分析】先将代数式变形，再计算的值，代入代数式，根据二次根式的混合运算进行计算求解即可．【详解】解：a＝7＋2，＝7－2，a−b=22，ab=7−2=5原式=a2−2abb+ab+2=(−)ab+ab2(2=22+5=8+5=13【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，将代数式化简是解题的关键．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．21.如图，在平行四边形ABCD中，点EF分别在AD，上，且AE＝CF，连接BEDF．求证：BE＝DF．【答案】见解析【解析】20/28【分析】由平行四边形的性质得出AB＝，∠A＝∠，由即可得出△ABE≌△CDF，进而根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，∠＝∠C，在△ABE和△CDF中，AB=CDA=CAE=CF，∴△ABE≌△CDF（∴BEDF【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．22.如图，四边形中，∠B＝90°AB＝4＝3CD＝AD＝．求四边形ABCD的面积．【答案】四边形ABCD的面积为．【解析】【分析】连接AC，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【详解】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又AB=4BC=3，∴根据勾股定理得：AC=AB又=13，=12，2+BC2=5，∴AD2=132=169，CD2AC2=12+52=144+25=169，21/28∴CD2AC2AD，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S=S△+S△11==ABBC+AC22121×3×4+×12×52=36．答：四边形ABCD的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．23.如图，△D是边上任意一点，F是中点，过点C作∥交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B30°，∠CAB＝45°AC＝6，＝BD的长．【答案】（1）见解析；（2）31．+【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，根据等腰三角形的性质得到AD＝CE是得到四边形ADCE是平行四边形；（2）过点C作CG⊥G，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B30°，求得∠CDA60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：∵ABCE，∴∠CADACE，∠ADE＝∠CED，∵F是中点，∴AFCF，在△AFD与△CFE中，CAD=ACE=CED=CF∴△AFDCFEAAS∴ADCE，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CGG，∵CDBD，∠＝30°，22/28∴∠DCBB＝30°，∴∠CDA60°，在△ACG中，∠AGC90°，=6，∠CAG＝45°，6∴CGAG===3，2在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，CG=3，CGtanCDG=∴GD＝，∴=+=3+1．【点睛】本题考查平行四边形的判断、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如＋22＝（1＋2）2．善于思考的小明进行了以下探索：设＋b2＝（m＋n2）2（其中、bm、n均为整数），则有a＋b2＝m22mn2＋2n2，m2＋n2，＝mn．这样小明就找到了把类似＋b2的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1、bm、n均为整数时，若ab5＝（m＋n5）2，用含mn的代数式分别表示、，则：a＝，＝；（2）利用所探索的结论找一组正整数abmn填空：＋5＝（＋5）2（3＋65＝（m＋n5）．且mn均为正整数，求a的值．【答案】（1m25n2，mn；（2），，，2（答案不唯一）（3）=46或．【解析】【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2m＝，＝2，确定出a与b的值即可；（3）根据第（）题的结论，结合mn均为正整数，即可求解．【小问1详解】(m+n5)2=m+2mn5+n2，2∵又∵a+b5=(m+n5)2，∴am25n2，＝mn；23/28故答案为m2＋n2，mn；【小问2详解】令m＝，n2am＋5n21＋＝，bmn＝4，∴2145＝（125）2；故答案214，，；（答案不唯一）【小问3详解】由（）可知：m2＋n2，6＝mn，∴am25n2mn=3，∵am、n均为正整数，∴m=1，=3或m=3，=1，∴a＝1＋5×32=46或＝3＋5×12=14=46或．【点睛】本题考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．25.如图，在△ABC中，ABAC，∠BAC30°，作射线BM，∠ABM80°D在射线上，连接AD，E是AD的中点，BE的对称点为，连接DF．（1）依题意补全图形：（2）判断与DF的数量关系并证明：（3）平面内一点GDGDB，FGFC，求∠的值．【答案】（1）见解析2）=DF；证明见解析（3）或30°【解析】【分析】（1）依题意补全图形；（2）根据作图可得四边形ABDF是平行四边形，根据平行四边形的性质结合已知条件，可得结论；（3）分两种情况讨论，由“SSS可证△AFC≌△DGF，可得∠FAC＝∠GDF130°，即可求解．【小问1详解】如图所示，24/28【小问2详解】∵E是BE的对称点为F∴EFEB，=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DFAB，∵ABAC，∴ACDF【小问3详解】如图，∵∠ABM＝80°，AF，∴∠BAF＝100°＝∠FDB，∵∠BAC＝∴∠FAC＝∠BAC＋∠BAF＝130°，当点G在直线的下方时，∵ACABDF，FC，DGDBAF，1∴△AFCDGF（），∴∠FACG1DF＝，∵四边形ABFD是平行四边形∴∠FDB=BAF＝100°1∴∠BDG130°，25/28当点G在直线DF的上方时，同理可求∠