2021年广东省珠海市南屏中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年广东省珠海市南屏中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设非零向量，满足，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.

2.若曲线的所有切线中，只有一条与直线垂直，则实数的值等于（

） A．0 B．2 C．0或2 D．3参考答案：B3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（

）A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：C由S=0,n=1,第一次循环:S=0+,n=2;第二次循环:S=+=,n=3;第三次循环:S=+=,n=4;第四次循环:S=+=,n=5;第五次循环:S=+=,n=6;第六次循环:S=+=,n=7;第七次循环:S=+=,n=8;符合题意输出n=8,故选C.4.（00全国卷）函数的部分图象是参考答案：答案:D5.已知向量，，若，则(

)A.

B.

C.0

D.1参考答案：C=,=,解方程=得0.选C.6.复数（为虚数单位）的虚部为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知推导出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8.已知，则（

）

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a

参考答案：D9.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣m，0），B（m，0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则正数m的最小值与最大值的和为（）A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大（小）值即为|OP|的最大（小）值，可得结论．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴，∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|﹣r=5﹣1=4，∴正数m的最小值与最大值的和为10．故选B．10.有以下四个命题，其中真命题为（）A．原点与点（2，3）在直线2x＋y-3＝0的同侧B．点（2，3）与点（3，1）在直线x-y＝0的同侧C．原点与点（2，1）在直线2y-6x＋1＝0的异侧D．原点与点（2，1）在直线2y-6x＋1＝0的同侧参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数是定义域上的连续函数，则实数

．参考答案：略12.若曲线在点处的切线平行于轴，则

．参考答案：本题考查切线方程、方程的思想.依题意13.函数的最小正周期为．参考答案：【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．14.已知函数的最大值为，则实数的值是

.参考答案：15.（5分）（理）．参考答案：π+2【考点】：定积分．【专题】：计算题．【分析】：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．【点评】：此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．16.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取值范围是

.参考答案：17.已知全集，集合，，则A∪B中所有元素的和是

.参考答案：2006或2007或－2【分析】首先化简集合，然后分：①A中有两个相等的实数根，②，③A中有两个不相等的实数根，三种情况进行讨论即可求得结果.【详解】由题意可知，

（1）若A中有两个相等的实数根，则，此时，所有元素之和为2007；

（2）若，则，由韦达定理可知，所有元素之和为-2；

（3）若A中有两个不相等的实数根，且，则由韦达定理可知，所有元素之和为2008+(-2)=2006.

故答案为:2006或2007或-2.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y(美元)与其重量x(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．

(注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)参考答案：解析：(Ⅰ)依题意设，

……………2分

，故．……………4分(Ⅱ)设这颗钻石的重量为克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

价值损失为．………………6分

价值损失的百分率为

∴价值损失的百分率为37.5％．

……8分(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为，

等号当且仅当m=n时成立.

即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大.19.（本小题满分10分）已知数列满足且（1）

计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；（2）

求证：当时，参考答案：⑴，，，猜想：．……………2分①当时，，结论成立；

②假设当时，结论成立，即，则当时，，即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分⑵原不等式等价于．证明：显然，当时，等号成立；当时，，综上所述，当时，．…………………10分20.（本题满分10分）已知函数（∈R）．（1）若函数在区间上有极小值点，求实数的取值范围；（2）若当时，，求实数的取值范围．参考答案：【答案解析】（1）

（2）或解析：（1）

令

得或，

使函数在区间上有极小值点，则解得：．

……4分（2）由题意知，即使时，．

①当，即时，在上单调递增，

，得或，

由此得：；②当，即，在为增函数，在上为减函数，所以，得或由此得；③当，即，

在上为减函数，所以得或，由此得；由①②③得实数的取值范围为或．………………10分【思路点拨】（1）若函数在区间上有极小值点，则在区间上有解，由此得关于a的不等式.

(2)命题为在时恒成立，所以只需．而，所以①当，即时，在上单调递增，

，得或，

由此得：；②当，即，在为增函数，在上为减函数，所以，得或由此得；③当，即，

在上为减函数，所以得或，由此得；由①②③得实数的取值范围为或．21.(本小题满分12分)设数列的前项和为,且.（1）证明:数列是等比数列；（2）若数列满足，求数列的前项和为．参考答案：（1）证明：因为，则……1分

所以当时，，

整理得．由，令，得，解得．

所以是首项为3，公比为2的等比数列．

（2）解：因为，

由，得．

所以

所以．

略22.已知函数，