第四章-统计推断-课件

统计推断(statisticalinference)大家好统计推断由一个样本或一糸列样本所得的结果来推断总体的特征假设检验参数估计大家好第一节第二节第三节第四节第五节假设检验的原理与方法样本平均数的假设检验样本频率的假设检验参数的区间估计与点估计方差的同质性检验大家好第一节假设检验的原理与方法大家好一概念：

假设检验（hypothesistest）又称显著性检验（significancetest）,就是根据总体的理论分布和小概率原理，对未知或不完全知道的总体提出两种彼此对立的假设，然后由样本的实际原理，经过一定的计算，作出在一定概率意义上应该接受的那种假设的推断。第一节假设检验大家好小概率原理

概率很小的事件在一次抽样试验中实际是几乎不可能发生的。=0.05/0.01

如果假设一些条件，并在假设的条件下能够准确地算出事件Ａ出现的概率α为很小，则在假设条件下的n次独立重复试验中，事件A将按预定的概率发生，而在一次试验中则几乎不可能发生。大家好假设检验参数检验非参数检验平均数的检验频率的检验方差的检验秩和检验符号检验游程检验秩相关检验大家好统计假设测验的基本思想设某地区的当地小麦品种一般667m2产300kg，即当地品种这个总体的平均数为μ0=300(kg),并从多年种植结果获得其方差σ2=(75)2kg。若从这一总体中随机抽取n个个体构成样本，则样本观察值可表示为：yi=μ0+εi(i=1,2,…,n)现有某新品种通过25个小区的试验，计算其样本平均产量为每667m2为330kg。新品种的样本观察值可表示为：xi=μ+εi(i=1,2,…,n)式中μ为新品种的总体平均数。新品种与地方品种的差异（品种效应）用τ表示，则τ＝μ－μ0

8大家好代入上式得：xi=μ0+τ+εi(i=1,2,…,n)对xi求平均数，并将式子稍作变形得：－μ0=τ+为表型效应，在本例中，τ为处理效应，为误差效应。9大家好

由于处理效应τ＝μ－μ0无法计算，统计推断只能从第（2）种可能性出发，即假设处理效应不存在，试验表型效应全为试验误差。（1）处理效应与误差效应；（2）全为试验误差。－μ0=τ+从式可知表型效应的构成有二种可能性然后再计算该假设出现的概率，最后依概率的大小判断假设是否成立，从而推断处理效应是否存在（反证法）。这就是统计假设测验的基本思想。10大家好二、假设检验的步骤治疗前0＝126

2＝240

N(126,240）治疗后n＝6x＝136未知那么＝0?即克矽平对治疗矽肺是否有效？例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)，

2＝240

(mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x=136(mg/L)。大家好1、提出假设无效假设/零假设/检验假设备择假设/对应假设0＝

0

误差效应处理效应H0HA大家好例：克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？平均数的假设检验检验治疗后的总体平均数是否还是治疗前的126(mg/L)？x-0＝136-126＝10(mg/L)这一差数是由于治疗造成的，还是抽样误差所致。本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗效。而相对立的备择假设表示拒绝H0，治疗后的血红蛋白平均数和治疗前的平均数来自不同总体，即克矽平有疗效。H0:μ=μ0=126(mg/L)HA:μ≠μ0

大家好2、确定显著水平＝0.05显著水平*极显著水平**能否定H0的人为规定的概率标准称为显著水平，记作。统计学中，一般认为概率小于0.05或0.01的事件为小概率事件,所以在小概率原理基础上建立的假设检验也常取=0.05和=0.01两个显著水平

。P<＝0.01＝0.05大家好3、选定检验方法，计算检验统计量，确定概率值u=x-

x

136-126=√40=1.581

根据研究设计的类型和统计推断的目的选择使用不同的检验方法。例：0.9500

-1.96x0+1.96x0.025否定区否定区接受区0.025u>1.96大家好4、作出推断结论：是否接受假设P>P<小概率原理接受H0否定HA否定H0接受HA可能正确可能错误大家好例：上例中P>0.05所以接受H0，从而得出结论：使用克矽平治疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其差值10应归于误差所致。大家好0.950.0250.025u>1.96u>2.58P(u)<0.05P(u)<0.01差异达显著水平差异达极显著水平大家好P(-1.96x<x<

+1.96x)=0.950.025临界值：+ux0.950-1.96x+1.96x0.025否定区否定区接受区u+1.96x三、双尾检验与单尾检验大家好0P(-2.58x<x<

+2.58x)=0.99-2.58x+2.58x0.990.0050.005临界值：+2.58x双尾检验(two-sidedtest)否定区否定区接受区大家好例：研究矮壮素使玉米矮化的效果，从理论上判断，喷施矮壮素只可能矮化无效而不可能促进植物长高，因此假设H0：喷施矮壮素的株高与未喷的相同或更高，即H0：μ≥μ0，对应HA：μ＜μ0

，即喷施矮壮素的株高较未喷的为矮。但在某些情况下，双尾测验不一定符合实际需要。在已知μ不可能小于μ0时，则备择假设为HA：μ>μ0在已知μ不可能大于μ0时，则备择假设为HA：μ<μ0大家好注：备择假设比无效假设重要，具体选择要由实际问题来确定，一般把期望出现的结论作为备选假设。例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上，现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为30.2mm，标准差为2.5mm，问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？H0:μ≤μ0=30(cm)，即该棉花品种纤维长度达不到纺织品生产的要求。HA:μ>μ0大家好0.950.950.050.051.64-1.64H0：≤0HA：>0假设：否定区H0：≥0HA：<0左尾检验右尾检验单尾检验(one-sidedtest)接受区接受区返回大家好u0.05=1.64u0.01=2.33单尾检验分位数双尾检验分位数u0.05=1.96u0.01=2.58２２否定区否定区否定区接受区接受区＞大家好四、两类错误假设检验的两类错误H0正确

H0错误否定H0错误()推断正确(1-)接受H0推断正确(1-)错误()第一类错误（typeIerror），又称弃真错误或错误;第二类错误（typeIIerror），又称纳伪错误或错误大家好0ⅠⅡ0.025Ⅰ和Ⅱ重合=

00.950.025错误犯第一类错误的概率等于显著水平值大家好ⅠⅡC1C2220u-uⅠ和Ⅱ不重合犯第二类错误的概率记为值大家好１、两类错误既有联系又有区别

错误只在否定H0时发生

错误只在接受H0时发生错误增加错误减小错误增加错误减小结论大家好2、还依赖于-0的距离结论3、n,

2可使两类错误的概率都减小.大家好255270285300315330345360μ0μ30大家好分析题意提出假设确定显著水平计算检验统计量作出推断假设检验的步骤:大家好第二节样本平均数的假设检验大家好大样本平均数的假设检验－－u检验小样本平均数的假设检验－－t检验单样本双样本大家好一、一个样本平均数的假设检验大家好适用范围：检验某一样本平均数x所属的总体平均数是否和某一指定的总体平均数0相同。若相同，则说明该样本属于这个以0为平均数的指定总体；若不相同，则说明该样本所属的总体与这个指定总体（0）不同，即有显著或极显著差异。大家好1、总体方差σ2已知，无论n是否大于30都可采用u检验法例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm，标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm，问新育苗方法与常规方法有无显著差异？分析（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2已知,

采用u检验；（２）新育苗方法的鱼苗体长≥或≤常规方法鱼苗体长，应进行双尾检验。大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:μ=μ0=7.25(cm)，即新育苗方法与常规方法所育鱼苗一月龄体长相同；HA:μ≠μ0选取显著水平α＝0.05u>1.96否定H0，接受HA；认为新育苗方法一月龄体长与常规方法有显著差异。P<0.05大家好2、总体方差σ2未知，但n>30时，可用样本方差s2来代替总体方差σ2，仍用u检验法总体(μ0)样本(n>30)x

s2σ2大家好例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上，现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为30.2mm，标准差为2.5mm，问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？分析（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知，n=400>30，可用s2代替σ2进行u检验；（２）棉花纤维只有>30mm才符合纺织品的生产要求，因此进行单尾检验。大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:μ≤μ0=30(cm)，即该棉花品种纤维长度达不到纺织品生产的要求。HA:μ>μ0选取显著水平α＝0.05u<1.645接受H0，否定HA；认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品生产的要求。P>0.05大家好3、总体方差σ2未知，且n<30时，可用样本方差s2来代替总体方差σ2，采用df=n-1的t检验法总体(μ0)样本(n<30)x

s2σ2大家好例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10个点采集水样，测定含氧量为：4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。分析（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知，n=10<30，可用s2代替σ2进行t检验；（２）该次测定的水中含氧量可能>或<多年平均值，用双尾检验。大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:μ＝μ0=4.5(mg/L)，即认为该次测定与多年平均值没有显著差别。HA:μ≠μ0选取显著水平α＝0.05在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；认为该次抽样所测结果与多年平均值无显著差别，属于随机误差。t0.05(9)=2.262P>0.05大家好二、两个样本平均数的假设检验样本平均数的假设检验大家好适用范围：检验两个样本平均数x1和x2所属的总体平均数1和2是否来自同一总体。大家好样本1X1样本2X2总体1μ1

总体2μ2两个样本平均数的假设检验步骤1、提出假设无效假设H0:μ1=μ2，两个平均数的差值是随机误差所引起的；备择假设HA:μ1=μ2，两个平均数的差值除随机误差外，还包含其真实的差异，即由效应差异引起的；大家好2、确定显著水平：0.05或0.013、检验统计量(1)样本平均数差数的平均数=总体平均数的差数.两个样本平均数的差数大家好(2)样本平均数差数的方差=两样本平均数方差之和.样本平均数差数的标准误大家好σ12=σ22=σ

n1=n2=n

σ12=σ22=σn1=n2=n

大家好当σ12和σ22已知H0：μ1=μ2=μ时

大家好当σ12和σ22未知，两样本都为大样本时H0：μ1=μ2=μ时

大家好当σ12和σ22未知，两样本都为小样本时H0：μ1=μ2=μ时

大家好4、作出推断，并解释之接受H0否定HA或否定H0接受HA或大家好试验设计成组数据平均数的比较成对数据平均数的比较大家好成组数据平均数的比较如果两个样本的各个变量是从各自总体中随机抽取的，两个样本之间的变量没有任何关联，即两个抽样样本彼此独立，则不论两样本的容量是否相同，所得数据皆为成组数据。两组数据以组平均数作为相互比较的标准，来检验其差异的显著性。根据两样本所属的总体方差是否已知和样本大小不同而采用不同的检验方法。大家好1、两个总体方差σ12和σ22已知，或σ12和σ22未知，但两个样本都是大样本，即n1>30且n2>30时，用u检验法。例：某杂交黑麦从播种到开花的天数的标准差为6.9dA法：调查400株，平均天数为69.5dB法：调查200株，平均天数为70.3d差异？分析（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检验，σ12=σ22=(6.9d)2,样本为大样本，用u检验。（２）因事先不知A、B两方法得到的天数孰高孰低，用双尾检验。试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花天数有无显著差别。大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:μ1＝μ2，即认为两种方法所得天数相同。HA:μ1≠μ2选取显著水平α＝0.05在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；认为两种方法所得黑麦从播种到开花天数没有显著差别。u<1.96，P>0.05大家好例：为了比较“42-67XRRIM603”和“42-67XPB86”两个橡胶品种的割胶产量，两品种分别随机抽样55株和107株进行割胶，平均产量分别为95.4ml/株和77.6ml／株，割胶产量的方差分别为936.36（ml/株）2和800.89（ml/株）2分析（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检验，σ12和σ22未知,n1>30且n2>30，用u检验。（２）因事先不知两品种产量孰高孰低，用双尾检验。试检验两个橡胶品种在割胶产量上是否有显著差别。大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:μ1＝μ2，即认为两品种割胶产量没有显著差别。HA:μ1≠μ2选取显著水平α＝0.01在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；两个橡胶品种的割胶产量存在极显著的差别，“42-67XRRIM603”割胶产量极显著高于“42-67XPB86”。u>2.58，P<0.01大家好2、两个总体方差σ12和σ22未知，且两个样本都是小样本，即n1<30且n2<30时，用t检验法。(1)如果σ12=σ22=σ2Se2σ2

平均数差数的标准误大家好H0:μ1＝μ2=μdf=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-2大家好例：用高蛋白和低蛋白两种饲料饲养一月龄大白鼠，在三个月时，测定两组大白鼠的增重(g)高蛋白组：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123低蛋白组：70,118,101,85,107,132,94分析（１）这是两个样本平均数的检验，σ12和σ22未知，且为小样本，用t检验。（２）事先不知两种饲料饲养大白鼠增重量孰高孰低，用双尾检验。试问两种饲料饲养的大白鼠增重量是否有差别？大家好（１）假设（2）水平（3）检验H0:σ12=σ22=σ2HA:σ12≠σ22选取显著水平α＝0.05

（4）推断两样本方差相等。大家好（3）检验（１）假设（2）水平H0:μ1＝μ2，即认为两种饲料饲养的大白鼠增重无差异。HA:μ1≠μ2选取显著水平α＝0.05大家好（4）推断在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；认为两种饲料饲养大白鼠的增重无显著差别，属于随机误差。t0.05(17)=2.110P>0.05df=(n1-1)+(n2-1)=17大家好2)σ12≠σ22，n1≠n2，采用近似地t检验，即Aspin-Welch检验法。大家好（3）σ12≠σ22，n1=n2=n

Se2σ2

df=n-1平均数差数的标准误当n1=n2=n时大家好成对数据平均数的比较成对（配对）比较法：将独立获得的若干份实验材料各分成两部分或独立获得的若干对遗传上基本同质的个体，分别接受两种不同的处理；或者同一个实验对象先后接受两种不同处理，比较不同的处理效应，这种安排称为配对实验设计。

成对数据，由于同一配对内两个供试单位的试验条件很是接近，而不同配对间的条件差异又可通过同一配对的差数予以消除，因而可以控制试验误差，具有较高的精确度。大家好x1x2样本1样本2……n对样本差数的平均数等于样本平均数的差数大家好H0:μd=0df=n-1样本差数的方差样本差数平均数的标准误t值大家好例：在研究饮食中缺乏VE与肝中VA的关系时，将试验动物按性别、体重等配成8对，并将每对中的两头试验动物用随机分配法分配在正常饲料组和VE缺乏组，然后将试验动物杀死，测定其肝中VA含量，结果如右表：配对正常饲料组VE缺乏组差数dd213550245011001210000220002400-400160000330001800120014400004395032007505625005380032505503025006375027001050110250073450250095090250083050175013001690000

合计

65007370000试检验两组饲料对试验动物肝中VA含量的作用有无显著差异。分析此题为成对数据，事先不知两组饲料作用孰大孰小，用双尾。大家好（１）假设（2）水平（3）检验H0:μd＝0HA:μd≠0α＝0.01（4）推断在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；两组饲料对动物肝中VA含量作用有极显著差异，正常饲料组的动物肝中的VA含量极显著高于VE缺乏组。t0.01(7)=3.499t>t0.01(7)

已知大家好第三节样本频率的假设检验大家好种子发芽不发芽害虫存活死亡植物结实不结实后代红花白花产品合格不合格二项分布频率分布合格率发芽率死亡率结实率性状比二项成数目标性状大家好频率的假设检验当np或nq<5由二项式(p+q)n展开式直接检验概率函数Cnxpxqn-xP(x)P(0)C50p0q50.00001P(1)C51p1q40.00045P(2)C52p2q30.0081P(3)C53p3q20.0729P(4)C54p4q10.32805P(5)C55p5q00.59049孵化小鸡的概率表(p=0.90q=0.10)P(0)或P(1)或P(2)<0.05，差异显著；P(3)或P(4)或P(5)>0.05，差异不显著。大家好频率的假设检验当np和nq>30中心极限定理正态分布（u检验）近似发芽率死亡率结实率性状比大家好频率的假设检验当5<np或nq<30由于二项总体的百分数（频率）是由某一属性的个体计算来的整数，所以是离散型的。当样本不太大时，把它当作连续型的近似正态总体来处理，结果会有些出入。补救的办法时仍按正态分布的假设检验计算，但必须进行连续性矫正，即随机变量所落的区间+0.5，如一个样本由矫正为。大家好一、一个样本频率的假设检验大家好适用范围：检验一个样本频率（记为）和某一理论值或期望值p的差异显著性。大家好其中q=1-p1、当np和nq>30，不需连续性矫正，则u值为：在二项分布中，事件A发生的频率x/n称为二项成数，即百分数或频率。则频率的平均数和标准误分别为：（见P33）大家好2、当5<np或nq<30时，趋近正态，需要进行连续性矫正，n≥30，u检验，uc值为：如果n<30，t检验，tc值为：其中“＋”表示在>p时取“－”；<p时取“＋”。大家好例：有一批蔬菜种子的平均发芽率为0.85，现随机抽取500粒，用种衣剂进行浸种处理，结果有445粒发芽，检验种衣剂对种子发芽有无效果？（3）不知使用种衣剂的发芽率是高是低，用双尾检验。分析（1）一个样本频率的假设检验；（2）np和nq>30，无需连续矫正，用u检验；大家好（１）假设（2）水平（3）检验（4）推断H0:p=0.85即用种衣剂浸种后的发芽率仍为0.85;HA:p≠0.85选取显著水平α＝0.05u>1.96，P<0.05在0.05显著水平上，否定H0，接受HA；认为种衣剂浸种能够显著提高蔬菜种子的发芽率。大家好二、两个样本频率的假设检验样本频率假设检验大家好适用范围：检验两个样本频率和差异的显著性。一般假定两个样本的方差是相等的，即大家好两个样本频率差数的标准误

在总体p1和p2未知，H0:p1=p2，可用两样本频率的加权平均值作为对p1和p2的估计，即：大家好1、当np和nq>30，不需连续性矫正，用u检验：在H0:p1=p2下，大家好2、当5<np或nq<30，需进行连续性矫正，如果n>30,用u检验：在H0:p1=p2下，大家好2、当5<np或nq<30，需进行连续性矫正，如果n<30,用t检验：在H0:p1=p2下，大家好例：研究地势对小麦锈病发病的影响比较两块麦田锈病发病率是否有显著性差异。低洼地麦田378株，其中锈病株342株高坡地麦田396株，其中锈病株313株（3）事先不知两块麦田的锈病发病率孰高孰低，用双尾检验。分析（1）2个样本频率的假设检验；（2）np和nq>30，无需连续矫正，用u检验；大家好（１）假设（2）水平（3）检验H0:p1=p2即两块麦田锈病发病率没有显著差异。HA:p1≠p2选取显著水平α＝0.01大家好在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；认为两块麦田锈病发病率有极显著差异，即地势对小麦锈病的发生有极显著影响作用，低洼地小麦锈病的发病率极显著高于高坡地。（4）推断u>2.58，P<0.01大家好第四节：参数的区间估计与点估计一、参数区间估计与点估计的原理三、两个总体平均数差数的区间估计与点估计二、总体平均数的区间估计与点估计四、总体频率、两个总体频率差数的区间估计与点估计大家好参数的区间估计与点估计是建立在一定理论基础上的一种方法。由中心极限定理和大数定律，只要抽样为大样本，不论其总体是否为正态分布，其样本平均数都近似服从正态分布N(μ，σ2/n)。大家好00.95（接受区）0.0250.025临界值接受区0-1.96x0+1.96x大家好大家好大家好uα：正态分布下置信度P=1-α时的u临界值1-α：置信水平大家好知道x，但不知道μ1-α置信区间、置信距大家好用样本平均数x对总体平均数μ的置信度为P=1-α的区间估计。用样本平均数x对总体平均数μ的置信度为P=1-α的点估计。大家好参数的区间估计也可用于假设检验。对参数所进行的假设如果落在该区间之外，就说明这个假设与真实情况有本质的不同，因而就否定零假设，接受备择假设。置信区间是在一定置信度P=1-α下总体参数的所在范围，故对参数所进行的假设如果落在该区间内，就说明这个假设与真实情况没有不同，因而就可以接受零假设。大家好无论区间估计还是点估计，都与概率显著水平α的大小联系在一起。α越小，则相应的置信区间就越大，也就是说用样本平均数对总体平均数估计的可靠程度越高，但这时估计的精度就降低了。在实际应用中，应合理选取概率显著水平α的大小，不能认为α取值越小越好。大家好二、总体平均数μ的区间估计和点估计

当为大样本时，不论总体方差σ2为已知或未知，可以利用样本平均数x和总体方差σ2作出置信度为P＝1-α的总体平均数的区间估计为：大家好其置信区间的下限L1和上限L2为总体平均数的点估计L为大家好当样本为小样本且总体方差σ2未知时，σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为大家好其置信区间的下限L1和上限L2为：总体平均数的点估计L为：

tа为正态分布下置信度P＝1－α时的t临界值大家好例4.14测得某批25个小麦样本的平均蛋白质含量＝14.5％，已知σ＝2.50％，试进行95％置信度下的蛋白质含量的区间估计和点估计。分析：本例σ为已知,置信度P＝1-α

=0.95，u0.05=1.96。大家好蛋白质含量的点估计为：说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～15.48％的区间里。大家好三、两个总体平均数差数µ1-µ2的区间估计与点估计

当两个总体方差σ12和σ22为已知，或总体方差σ