2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市高二年级下册学期第一次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市高二下学期第一次月考数

学（理）试题

一、单选题

—-/=1

1.双曲线3'的焦点坐标是

（-及）侬,）

A.,0,0B（-2,0）,（2,0）

（）（）

C0-V20,72D（0,-2）,（0,2）

【答案】B

【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据/=/+〃求焦点坐标.

--y2=1

【详解】因为双曲线方程为3-，所以焦点坐标可设为（士c，°）,

因为c2=/+〃=3+1=4,c=2,所以焦点坐标为（±20）,选B.

【点睛】由双曲线方程整一万="”℃°）可得焦点坐标为也,0）（。二^^7）,顶点坐标为

b

（±0,0）,渐近线方程为a.

2.命题“mx>0,x2—x-1"的否定是（）

A.3x>0,x2^x-1B.VxWO,x2=x-1

C.3x^0,x-=x-1D.VA>0,X2^X-1

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“女>0,/=x-1”

的否定是：Vx>0,NWx-1.

故选：D

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.

2

3.已知：P：x—4>°,Q.X-3X-4>0,贝。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断命题P和q之间的逻辑推理关系，即可判断出答案.

【详解】解不等式f-3x-4>°得x<-l或x>4,

由已知即p:x>4,则°成立时，/x2-3x-4>0一定成立；

当4：x2-3x-4>0成立时，可能是x<T,不一定是x>4,

故P是《的充分不必要条件，

故选：A

4.已知点点一3,1,-4),点/关于x轴的对称点的坐标为()

A.(T-1,-4)g(-3,-1,4)c.(3,1,4)Q(3,-1,-4)

【答案】B

【分析】根据空间点关于直线对称的知识确定正确选项.

【详解】空间点关于x轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，

所以A关于x轴的对称点为(-3，T，4).

故选：B

5.经过点尸(％一2)的抛物线的标准方程是()

A.y1=x^xl=yB.V=-x或x=8y

C.X?=-8y或V=xD./=-8了或/=-》

【答案】C

【分析】设抛物线的标准方程，将点的坐标代入，求得参数的值，即得答案.

【详解】设抛物线的方程为/=2px,(p>0)或/=-2。'％(">0),

将点尸(4,-2)代入，可得4=8〃或16=4”,

1

P--f.

解得2或P=4,

故抛物线的标准方程为V=x或V=-8y,

故选：C

6.若双曲线，916"的左、右焦点分别为6,耳，点p在双曲线E上，且忸周=3,则|阴|等

于()

A.11B.9C.5D.3

【答案】B

【分析】由双曲线的定义运算即可得解.

【详解】由双曲线的定义得忙用7叼=2a=6,即|3-|网=6,

因为1%>°,所以阀1=9

故选：B.

7.在棱长为1的正方体/BCD—中，用和N分别为4片和8片的中点，那么直线工〃与

23叵_2

A.5B.5C.10D.5

【答案】A

【分析】在48上取一点Q,使得4,连接N0.则NCNQ（或其补角）即为直线与CN

所成角.利用余弦定理求出直线与CN所成角的余弦值.

BQ=-BA

【详解】在48上取一点。，使得4,连接N0

NBQB\

在△44”和△极。中，^4-4W-2NAA\M=NNBQ=90。,

所以AAAM〜“NB。,所以乙必^=NN0B,所以NM4B=NNQB,

所以加/N0.

所以NCN0（或其补角）即为直线，加与CN所成角.

V5

CN=yJCB2+BN2=

在棱长为1的正方体/BCD—4AG.中,2

QN=y]QB2+BN2当CQ=ylCB2+BQ2=

2

cosNCNQ=「「

5

/x__x__

在三角形CQN中.利用余弦定理可得：24

2

所以与CN所成角的余弦值是5.

故选：A

旦

8.在平面直角坐标系》伽中，椭圆c的中心在原点，焦点6、名在y轴上，离心率为T,过

片的直线/交椭圆于A、8两点，且△ZB用的周长为16,则椭圆C的方程为（）.

V必

-----F---=I—4--=1

A.84B.48

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义可求得。的值，结合椭圆的离心率公式可求得，的值，进而可求得分的值,

结合椭圆的焦点位置可得出椭圆c的标准方程.

【详解】由题意可知，/^叫的周长为/+|/周+|阳=（］.+|阳）+（|阴+忸用）=4。=16,

.,.a=4,

_c_c_41_____

又因为椭圆C的离心率为可得c=20,.,»=扬-。2=2&,

x：+/=1

又因为椭圆C的焦点在夕轴上，因此，椭圆C的方程为816.

故选：D.

x+1

y------

9.设曲线xT在点32）处的切线与直线"+y+l=°垂直，则。=

1,1

A.2B.2C.2D.-2

【答案】D

fx—1—(x4-1)2,.21

【详解】‘(x7>(x-l)NI(37)25,直线ax+y+l=O的斜率为一a.所以a=-2,

故选D

10.已知斜率为百的直线/经过抛物线V=2”,（p>0）的焦点F,并与抛物线交于A,8两点，且

MM=8,则p的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标，利用直线点斜式方程写出直线/的方程，将直线与抛物线

_52

X1+x2=

方程联立，化筒整理，求得一3,利用焦点弦长公式，结合题中条件得到关于夕的等量关系,

求得结果.

【详解】抛物线V=

,y=>/3（x--）

根据题意，直线/的方程为2,

2°3(x--)2-2px

与抛物线方程V=2px联立得2

3%2—5px+~P=0

整理得4,

5P

X1+x2

所以3,

所以画“+MP哼+”华=8

所以。=3,

故选：C.

11.已知“（4—2）,尸为抛物线『="的焦点，点加在抛物线上移动，当+M日取最小值时,

点M的坐标为（）

A.（°,°）BY,一2四）c.Rd）D.ST

【答案】D

【分析】过〃点作准线/的垂线，垂足为E,由抛物线定义，知阿目=附同，当M在抛物线上移动

时，当三点共线时，|“E|+|M4|最小，由此即可求出结果.

【详解】如图所示，过/点作准线/的垂线，垂足为E,由抛物线定义，知1"1=也斗

当M在抛物线上移动时，四目+四川的值在变化，显然/移动到阳，时，4",£三点共线,

阕+|必最小,此时W//0X,把产-2代入V=8x,得

fl

所以当|M4MMF|取最小值时，点w的坐标为（2

故选：D.

12.设0g是椭圆亍+彳一1的两个焦点，P在椭圆上，已知八昂巴是一个直角三角形的三个顶

点，且附3P用,则阀耳明的值是（）

312537

A.5或2B.5或5C.5或5D.2或2

【答案】D

【分析】由题设可知根,X轴或可’可，由此进行分类讨论，利用已知条件结合椭圆的定义求

屿

出附|,照|,即可求出।尸玛।的值.

二+匚1

【详解】因为昂巴为椭圆94两个焦点，

所以。=3/=2,c=-9-4=45,

则.耳（一60）,乙（亚0）,

因为附1>1叫，则P点位于X轴右侧，则"S轴或平

故当时J_x轴时，p的横坐标为15,其纵坐标为3,

4414

l^l=T\PF\=2a--=-

则n|3,l33,

14

♦币=3=7

|Pg「4~2

故§;

当尸片_LP乙时，设忸用="，0<m<3,则附|=2"加=6-机，

由勾股定理可得4c°="/+(6-")2,即20=2/-12加+36,

解得"?=2或机=4(舍去)，

四=匕=2

故叫I2,

四7

综上，1尸61的值为5或2,

故选：D

二、填空题

13.函数P=sin3x+cos'的导数为

【答案］3cos3x-3cos2xsinx

【分析】根据题意，由符合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.

［详解］因为F=sin3x+cos3x,ynjy'=3cos3x-3cos2xsinx

故答案为：3cos3x-3cos2xsinx

江一片=1

14.若双曲线/b2的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程.

［答案］y=±0

【分析】根据离心率得出c=2q,结合得出a,b关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

e=_=2

【详解】解：由题可知，离心率。,即c=2a,

2=6

又“2+/=02=4/,即〃=3°2,贝1J4，

故此双曲线的渐近线方程为y=±6x.

故答案为：卜=土后.

15.已知片、鸟是等轴双曲线C:x2-/=］的左、右焦点，点p在c上，//桃二60二则

附H%等于

【答案】4

【分析】利用余弦定理结合双曲线的定义可求得卢耳卜归e1的值.

222

【详解】解：••・双曲线C的方程为：x-y=\t.^=b=\,得。=，/+/=拒,

由此可得6（-0'°）、出a°）,焦距*=2号

...4桃=6（y...忻用2=|明2+忸周2_2匹卜忸用COS60。，

即陶卜附『T明•附1=8,①

又,••点尸在双曲线C：/-/=l上，.,.附H尸闾=2。=2,

平方得附『一2附|•熙|+|尸玛J=4,②

①-②，得陶•幽=%

故答案为：4.

片+片=1

16.已知点,（4°）,以2,2）是椭圆25+9一内的两个点，M是椭圆上的动点，则心㈤网的

最大值为.

【答案】1°+29##2函+10

【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.

二+J

【详解】依题意，椭圆方程为259，所以a=5,6=3,c=4,

所以'（4,0）是椭圆的右焦点，设左焦点为C（T°）,

MJ+MB2aMC+MB=XQ+MBMC

根据椭圆的定义可知ll\\=~\\\\\\-\\,

\MB\-\MC\<\BC\=J（-4-2）2+（0-2）2

所以MH+胸的最大值为io+2回

故答案为：10+2加

三、解答题

17.已知正方体"8C。-44G2,。是底/8CZ）对角线的交点

(I)求异面直线G°与g所成角的余弦值;

⑵求证：4°，平面"8Q

巫

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】(1)采用平移法将异面直线G°与所成角，转化为直线G°与8G所成角，解三角形即

可求得答案；

(2)证明A,ClStAt根据线面面垂直的判定定理即可证明结论.

【详解】⑴连接g,因为*DG，4B=D£,

故四边形ABC'D'为平行四边形，则AD\〃8G,

则异面直线G0与g所成角，即为直线G。与BQ所成角,

即为所求角或其补角，

BC、=20OB=>BD=ROG=正+(&>="

设正方体棱长为2,在“℃nr中c中，2

频仍8=霓广蚂一也=’尸=正

则2OC\BG2-V6-2V22

故异面直线G0与力功所成角的余弦值为2.

（2）连接4G,则4GJ.BQ,

又CC|_L平面44G4,BRu平面4B£R,则CCJBR,

又4Gnc,c=G，4G，ccu平面J,C,C（故B、D、_L平面4cq

4Cu平面4£C,故BQJ&C,

同理可证4c'BE,而BQn8/=综BQ，,B］Au平面ABR,

所以《C_L平面/8Q

18.已知函数/（x）=V_3x

⑴求函数在点42,/（2））处的切线；

（2）过点力（°，16）作曲线N=/（x）的切线，求此切线方程

［答案］⑴9x-y-16=0

（2）9x-y+16=0

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.

⑵设切点坐标，写出切线方程，将4°，16）的坐标代入，求得切点坐标，即可求得答案

【详解】（1）由〃X）=X3-3X,可得/'（x）=3/-3,

则八2）=9,而〃2）=2,

故函数在点〃2，/（2））处的切线为夕-2=9（X-2）,即9x-y-16=0

（2）过点"（°』6）作曲线^=/（幻的切线，设切点坐标为（%,%）,

则切线斜率为k=/'（X。）=3片-3,

则切线方程为y-%=©x-x。），即"x；+3xo=（3x：-3）（x_xo）,

将40,16）代入，得16-x：+3xo=（3x：-3）（_xo）,解得/=-2,

则切点坐标为（—2，-2）,k=9,

则切线方程为N+2=9（X+2）,即9x-y+16=0

二+匕=1（°>6>0）­

19.已知椭圆C：。〃的离心率为2,短轴长为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点尸（21）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.

%2/,

—+—=1

【答案】（1）164

（2）x+2y—4—0

c

【分析】（1）利用椭圆离心率。及/=6+c求解即可；

（2）设过点P（2/）作直线/,/与椭圆C的交点为。（引，%），£（七，%）,代入椭圆方程作差求斜率

k,再利用点斜式写出此弦所在的直线方程即可.

【详解】（1）由题意可知‘一展一万"①，26=4②，

又椭圆中a2=〃+c2③，

所以联立①②③解得。=41=2,c=26,

x2y2.

所以椭圆C的标准方程为164.

（2）设过点尸0」）作直线/,，与椭圆C的交点为。（入必），“&，％）,

，£

年

一+

4=1

126

互+

241I两式相减得（尤1万4（M2-货）=0,

16

所以（再+工2）（%-七）+4（弘+%）（%一%）=°,

再+%2_2凹+%=]

又因为尸是。E中点，所以2,2一,即%】+*2=久必+%=2,

由椭圆的对称性可得直线/的斜率一定存在，

”%_力r芭+与___4_=_j_

所以直线/的斜率再一々4(必+%)4x25,

y—1—_(X__2)

所以此弦所在的直线方程为一2V，,整理得x+2y-4=0

20.在底面是矩形的四棱锥P--ABCD中，PAL平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中

点.

(1)求证：平面PDCL平面PAD；

(2)求二面角E-AC-D的余弦值：

(3)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)3；(3)3.

【详解】试题分析：(1)以工为原点，AB、AD、AP所在直线为X、】、.轴，建立空间直

角坐标系工一。」，

可求得翁嬴＜骸询，獭可超勤，定5螂脚，可判定CD_.山，CD—1P,又

魂fW警用L所以CD一平面/一/),得到平面户DC_平面/'.〃)；(2)先求得平面1EC的

法向量，平面ACD的法向量，由向量夹角公式，即可得锐二面角E-AC-D的余弦值；(3)若

设直线CD与平面.VEC的法向量所成的角为8,可求得co：、二的值，即可得直线CD与平面

AEC所成角的正弦值.

试题解析：：以为A原点，AB、AD、AP所在直线为X、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2),

(1)证明：^^5,［胸^^^s^iCDlAD,CD1AP.

又♦.•APCAD=A,.-.CDl¥ffiPAD.又「CDu平面PDC,二平面PDC_L平面PAD.

'2y+z=0,

(2)设平面AEC的法向量11=(x,y,z),则12x—4y=0,令z=1,则y=-2,x=l,

平面AEC的一个法向量为11=(1,-2,1)，又平面ACD的法向量为另=(0,0,2),

••.cos(n,HP)=2=3,.•.锐二面角E—AC—D的余弦值是3.

(3)设直线CD与平面AEC所成的角为。，平面AEC的一个法向量为11=(1,一身，1)且

CD=(-2,0,0),

工，C

••.sin9=2'=3,即直线CD与平面AEC所成角的正弦值为3.

【解析】1、面面垂直；2、二面角；3、线面角.

与+t=l(a>6>0)P{1,~|e=—

21.椭圆0：相b2"经过点I2),离心率2,直线/的方程为x=4.

(1)求椭圆°的方程；

(2)过椭圆右焦点尸作动直线与C交于不同的两点A、B,与/交于7.直线尸“，心与/分别交于

M,N,求证：7