2023年全国新高考Ⅱ卷（新课标Ⅱ）高考数学试卷真题（含答案逐题解析）

数学试题第数学试题第#页(共5页)数学试题第1页（共5页）数学试题第1页（共5页）绝密★启用前试卷类型：A绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.2.3.4.本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.2.3.4.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结朿后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于1.第一象限第二象限第三象限第四象限第一象限第二象限第三象限第四象限2.A.2B.1D.13.B.C心种C.D.C皿种若f(x)=(x+a)\n^-为偶函数，则2x+lA.-1B.0C.\_A.-1B.0C.\_2D.1已知椭圆C：y+y设集合A={0,—.},8={1@-2,2。一2},某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调査，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果有=l的左焦点和右焦点分别为月和％,直线y=x+m与设集合A={0,—.},8={1@-2,2。一2},某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调査，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果有两点，若的面积是4F0B的两倍，则两点，若的面积是4F0B的两倍，则6.己知函数f(x)=ae,-\nx在区间(1,2)±单调递增，则a的最小值为A.e2B.e C.广D.e'27.已知。为锐角，l+y/5mil.acosa= ，则sin—=4 2A.8b. c.m8 4D.妥48.记S”为等比数列｛外｝的前〃项和，若S」=-5,S6=21S2,则簽=A.120B.85 C.-85D.-120二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，A8为底面直径，£4PB=120。，PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45。，则该圆锥的体积为冗该圆锥的侧面积为4妫AC=2很△0C的面积为设O为坐标原点，直线y=-V3U-l)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则p=2|MN|=：以MN为直径的圆与，相切△O"为等腰三角形若函数/(x)=aln.v+-+4(«*0)既有极大值也有极小值，贝4xx~bc>0 B.ab>0 C.b2+Sac>0D.ac<0在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为a(0＜a＜l),收到0的概率为1-。；发送1时，收到0的概率为以0＜夕＜1),收到1的概率为1-/7.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0,1,则译码为1).釆用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-0)(1”)2采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为阳_时釆用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为伙1-再+(1-0)3当0＜。＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.己知向量a,b^^.\a-b\=＞j3,\a+b^2a-b\,贝ij|b|= . 底面边长为4的正四棱锥平行于其底面的平而所截，截去一个地面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 .15.已知直线x-吋+1=0与OC：(x-l)2+r=4交于48两点，写出满足“MBC面积为|”

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)记C的内角人，B,C的对边分别为a,b,c,己知面积为J5,D为BC的中点，且AD=1.⑴若ZQC咛求球;(2)若屏+c2=8,求',c.（12分）巳知｛%｝为等差数列，bn=-疽’巳知｛%｝为等差数列，bn=-16.和，3,=32,7；16.求｛《』的通项公式；证明：当〃>5时，Tn>Sn.(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经患病者 未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为g(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c•和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)=p(c)+q(C.当cc[95,105],求/(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值.(12分)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,(1)证明：BCLDA-.BD」CD,ZADB=AADC=60°,E为BC(1)证明：BCLDA-.（2）点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.（12分）己知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2底0）,离心率为打.（1） 求C的方程：（2） 记C的左、右顶点分别为4，A.过点（-4,0）的直线与C的左支交于8,N两点，M在第二象限，直线与直线例交于P,证明：点P在定直线上.（12分）⑴证明：当0〈x<l时，x-x2<sinA<x：（2）已知函数f（x）=cosax-ln（l-x2）,若x=0是/'（x）的极大值点，求。的取值范围.数学试题第5页（共5页）

2023年全国统一高考数学试卷(新课标II卷)(适用地区：重庆辽宁海南安徽云南吉林黑龙江山西)注意事项:答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5亳米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于A.第一象限【答案】AA.第一象限【答案】AB.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(l+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限，选A.设集合A={0,-a}fB=(l,a-2,2a-2),若AjB,则.=A.2B.A.2B.1D.【答案】B【解析】若。一2=0,则。=2,此时J={0,-2),5={1,0,2},不满足题意；若2。一2=0,则。=1,此时J= 8={1,—1,0},满足题意.故选B.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调査，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有A.篇.CA.篇.C盅D厂20厂40D・JooPoo「厂如厂30J山00—200【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，故选D.4若公)=(5血訪为偶函数，则心A.B.0A.B.0D.1【答案】BA.e2【答案】CB.eA.e2【答案】CB.eC.e-'D.e~2【解析】发现g(x)=ln^-4是奇函数，而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数，有2x+l/(-■^)=(-X+a)g(-x)=-(-X+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x),故x-Q=x+a,贝i"=0,选B.r25.己知椭圆y+/=l的左、右焦点分别为鸟禹，直线y=x^m与C交于1、B两点,若△048的面积是△凡48的面积的2倍，则协=【解析】由依题意可知s、g=2s△財，设椭圆y+/=1的左、右焦点分别为鸟,％到直线y=x+m的距离分别为外％,且-2<m<0,所以有^\AB\^=^\AB\-d2,即4=2%，将《=匕华坦，%='十型代入上式解得m=-马,故选Cv2 V2 3己知函数f(x)=ae-\nx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为【解析】由题意可知f\x)=ae-^在区间(1,2)上恒成立，即。乂』，设g(、)=xe、,则在xe(l,2)±恒有gG)=(x+l)e则在xe(l,2)±恒有gG)=(x+l)e、＞0,所以g(同顽=g(l)=e,则即矽e、矽e、故选C.巳知。为锐角，cosa=l+",则sin—=4 2A.淄 B.Q8 8【答案】D【解析】由半角公式謂号=上笋解得，C.些 D.土匝4 4sin—="I,故选D.2 4记&等比数列｛%｝的前〃项和，若S’=-5,$=21S2,S8=A.120 B.85 C.-85 D.-120【答案】C【解析】由等比数列的性质可得S2,^-S2,^-S4成等比数列，因此(S4-S2)2=52(S6-54),将S4=-5,^=21S2代入上式解得S2=-l(舍)或9,此时S6=—,由等比数列性质可知4 4S4-S2,^-S4,^-S6^等比数列，解得&=-85,故选C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知圆锥的顶点为F底面圆心为O,AB为底面的直径，乙4所=120°,AP=2t点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O=45°,则A.该圆锥的体积为7T B.该圆锥的侧面积为4岳C.AC=2y/2 D.APAC的面积为【答案】AC【解析】由ZJPB=120°,AP=2可知，底面直径AB=2yf3f高PO=1,故该圆锥的体积为开，所以A对：该圆锥的侧面积为2扁,所以B错•连接C8,取NC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P-AC-O=45°的平面角为ZPQO=45°,所以QO=PO=1,PQ=y[i,所以BC=2,所以AC=2y/2,故C对；S△以c=；4C・FQ=2,故D错.设。为坐标原点，直线y=-y/3(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M、N两点，，为C的准线，则

8p=2 B.\MN\=-C.以枷为直径的圆与，相切 D.△OM7V为等腰三角形【答案】AC【解析】直线y=-y/3(x-1)与工轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0),所以p=2,故A选项正确；由kMN=-^3可知直线MV的倾斜角为120°,所以\MN\=2p\MN\=2p=16sin2120°__3,故B选项错误.过点M作准线/的垂线，交I于点、M',过故N作准线/的垂线，交I于点、N。并取枷的中点为点P,过点P作准线，的垂线，交］于点P',连接心、NP',由抛物线的定义知MF=MM，,NF=NN‘，所以\MN\=I枷‘|+\NNf\f所以由梯形的中位线可知PP，=|(|枷1+\NNf\)=!\MN\,所以PP=MP=PN,所以以MV为直径的圆与/相切，故C对，由图观察可知，显然不是等腰三角形，故D错.若函数/x=Qlnx+—+"(GH0)既有极大值又有极小值则:XXA.bc>0BA.bc>0B・ab>0C.胪+8">0D.ac<0△〉△〉0玉+工2>0，即>0【答案】BCD【解析】由题可知/X的定义域为(0,+8),fX = 2「2c,由xxx2x函数/X既有极大值又有极小值，则X在(0,+8)上有两个不等实根，令h(x)=ax2-bx-2c,则人(x)在(0,+8)上有两个不等实根，所以b2+8ac>0->0 ，所以<a^>0ab2+Sac>0ab>0 ,所以力与。同号，。与。异号，故况VO,所以Aac<0错误，B正确，C正确，D正确.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为Q(OVQV1),收到0的概率为1—Q；发送1时，收到0的概率为/?(OV0V1)收到1的概率为1—乃.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下:单次传输时，收到的信号即为译码:三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1一。)(1一。)2采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为乃(1一/?)2采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为£(1—0)2+(1—/?)3当0<a<0.5时，若发送0,则釆用三次传输方案译码为0的概率大于釆用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】AB选项由相互独立的积事件的概率乘法公式可知为对；C选项三次传输译码为1,则可能是三次全部译为1,或者有两次译为1,则概率为^/3(1-/3)2+(1-/?)3,故C选项错误，针对D选项：可以采用特值法或者作差发计算.三次传输方式译为0的概率：C^a(l-a)2+(l-a)3,单次传输译为。的概率为：1一。，而Ua(l—a)2+(1-a)3一(1一a)=(1—a)a(l-2a)>0,所以D对.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.己知向量口,力满足\a-b\=y/3f\a+b\=\2a-b\,则回= . 【答案】73【解析】由|a+*|=|2a一6|,得a2=2ab；由一b\=>j3，得a2-2ab+b2=3t即胪=3,\b\=>/3・底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为【答案】28【解析】方法一由棱台性质可知，上下两个底面相似比为1：2,故截后棱台的体高为3,上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，代入棱台体积公式得： K=|x3x(22+42+V22x42)=28.方法二由题意易求正四棱锥高为6,谿=%|校推一右、四棱粧=：x4x4x6-：x2x2x3=28.己知直线x-my+\=Q与0C:(x-l)2+/=4交于《，8两点，写岀满足“△如C面积为的m的一个值为 5【答案】±2或土」(任写一个)2【解析】方法一由题可知ec为腰长为8的等腰三角形，设其顶角为。，TOC\o"1-5"\h\z=—x2x2xsin^,解得sin^=—>解AABC可得：tan—=—,圆心C到直线wc2 5 22x-my+\=0的距离为够，代入点线距公式可得：m= (任填一个值即可).1 Q方法二由x-叫+1=0恒过定点(-1,0),又C(l,0),S^c=-x2x\yB|=-,所以Q 11 1 11O 11Q 1Q|知=普代入圆的方程得十?或工8=-§所以B(罚或或8(亏91O 1或3(—£,—代入直线方程得m=±2或m=±上.55 2己知函数f(x)=sin(cox+(p)f如图刀,3是直线y=!与曲线y=/(x)的两个交点，\o"CurrentDocument"若\AB\=\则/(k)= . 6

【答案】一丑2【解析】设刀（玉,=）,B（x2,^-）,则口叫+仞=£,球2+0=兰，又工2一玉=£，所以刃=4，2 2 6 6 6由曲线、=/（、）过（亨•,（）），所以4x号•+仞=2丸，即仞=-亨，所以f（x）=sin（4x--^）,八冗）=sin（4兀一亨）=sin（-号）=一季四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（12分）记△/13C的内角N,B,C的对边分别为q,b,c,已知三角形△4SC的面积为点D为BC的中点，且AD=1.(2)若b2+c2= 求(2)若b2+c2= 求8和c.【答案】(1)tan3=手;(2b=c=2.【解析】（1）方法一:正弦定理+余弦定理由题意可知必*=—acsinB=2-^3,故acsinB=2>/3 ①,又在△血中，有爲=謂風"心：得,烏譯,故兩T②;代入①式得宀.在SDB中，由余弦定理得AB2=c2=BD2+AD2-2剧＞40cos亍,有c2=l2+22-2xlx2cos-y=5+2=7,得c=$2”x2一访>0,AB2+AD2-BD2”x2一访>0,2ABAD故Be(0,-),有sinB=尊，tan^=—.2 2>/7 5方法二:余弦定理因AD为MBC的中线，故SMBC=2SMDC=2x^x^x\xsin6Q°=^-a=^3t故。=4,在中，由余弦定理知b2=12+22-2xlx2xcos60°=3,进一步在中，c2=AB2=I2+22-2xlx2xcosl20°=7,在辺C中有，cosg=/+f2=7+籍_3=g>o,2ca2<7x42』7故Be(0,—),有sin3= ,tanB=—2 2/7 5(2)在△ABC,由中线长公式可得bi+c2=2(AD2+BD2),得44+8)2=4,知BD=43^a=2yf3.由S=—Z>csinA和b2+c2—a2=26ccosJ得，S=—(Z>2+c2-a2)tanJ,代入有tanJ=->/3<0>得Ae(—,7r),有A=—2 3又S寸csi"有虹4.由Z>2+c2=8^0Z)c=4»得b=c=2.方法三(1)因为SMBC=2Smdc=2x?x：xlxsin60°=~^~a=>/3所以：a=4f在MOC中由余弦定理得：62=l2+22-2xlx2xcos60°=3在如。中c2=J52=l2+22-2xlx2xcosl20°=7在M3C中c2+^2—b27+16—3 5 . [ 777V3cos8= =——r= =―, smB=VI-cosB=—尸2ca2V7x4 2V7 2V7因此：tanB=5(2)在中由中线长公式得：(2/£>)2+灰?2=2(泌2+力。2),即22+a2=2(Z)2+c2)=16,因而a2=12又Sg=?bcsin/=右,因而bcsin刀=2>/J又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即12=8-2况cos),因而becosA=-2因而有tanA=-y/3=>cosA=be=4,又胪+c?+2Z,c=8+8=16=(Z>+c)2胪+决一&=8—8=0=(b_c)2故可得b=c=218.(12分){%}为等差数列，bn=<记18.(12分){%}为等差数列，bn=<$4=32,弓=16.（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 证明：当n>5时，Tn>Sn.【答案】（1）%=2〃+3；（2）见解析.【解析】（1）设｛%｝的首项为％,公差为d,由S4=32得4q+6d=32又b[=%_6,b2=2a2=2q+2d,b3=（^-6=at+3d-6所以％=40+4d-12=16,即%+d=74a.+6d=32,a,=5,由｛ ,r得h所以％=2膈3.[%+d=7 d=2 〃\2n-\n为奇数，（2）由（1）知bn=\4〃+6,〃为偶数.当n=2k（A:eN*）时，7；=&（—1）+*（；一1）乂4+14&+"（?1）乂8=5®+7&S〃=2kx5+⑵雄卜/妃=4A2+8〃 2T「SL好一k=k（kf当n>5即&>2时，k（k-\）>Ot所以T〃>S/当n=2k-\（%eN*）时，7；=0+1）（_1）+（』；1）七4+14&+四？1）乂8=6〃+11&-1S〃=（2A:+1）x5+^^^x2=4A：2+12A+5T〃_S〃=2好-k-6=@k+3）（kf当n>5即《>2时，（24+3）（4-2）>0,所以Tn>Sn.证毕.（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

频率聽频率聽利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为0(C).假设数据在组内平均分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.⑴当p(c)=0.5%时，求临界值C和误诊率0(c)；(2)设函数./Xc)=p(c)+g(c)，当ce[95,105]时，求/(c)的鮮析式，并求/(c)在区间[95,105]的最小值.【答案】(1)c=97.5,0(c)=3.5%;(2)0.012【解析】(1)由题意当p(c)=0.5%时，c=97.5，此时q(c)=0，°'x5+0.002x5=0.035=3.5%(2)当cg[95,100),p(c)=~95x0.002,q{c)=1~Cx0.01+0.01当cg[100,105),p(c)=5x0.002+'一；°°x0.012,q(c)=】°：一°x0.002•.・加=<-0.0016c+0.172,ce[95,100)•.・加=<0.002c-0.188,cg[100,105]所以，当c=100时/(c)取最小值，最小值为/(100)=0.012.(12分)在三棱锥4"CD中，DA=DB=DC,BD丄CD,zL4DB=^ADC=60°f己知E为BC的中点.(1)证明：BCLDAx(2)点戶满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

D【答案】(1)略；(2)VI3【解析】方法一(1)证明：连接AE.DE,设DA=DB=DC=eZADB=』DC=6Q°，所以△ADB3ADC,因此AB=AC=e又因为BE=CE,所以AELBC,同理庞丄3C,又4EC\DE=E,-y所以5C丄平面ADE,又ADU平面人DE,所以BCLAD.-y(2)解：由DA=DB=DC=eZBDC=9Q°，由(1)DEIBC,AB=AC=g，则DE=BE=CE=AE=l,可得AE2^-DE2=AD\因此AEA.DE,由(1)AE'BC,又DEC\BC=E,所以AE1.平面8DC.因此以E为原点，分别以E。、EB、E4为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，则£)(1,0,。)，4(0,。,1)，顼0,0,0)，8(0,1,0),因为EF=DA=(-W^&=(0,0,—1)，所以瓦=(一1,1,0)，岳=(0,1,_1)，JF=(-1,0,0)，设平面ABD»平面/3F的法向量分别是m=(x,y,z)»n=(a,/?,c)»

m-DB=—x-^-y=O 一 _所以 取工=1，则以=(1,1,1)，同理〃=(0,1,1)，m-AB=y—z=Om-n设平面如与平面依的夹角"则渤=兩=石亦2 76m-n设平面如与平面依的夹角"则渤=兩=石亦2 76T所以血。=乎即二面角。-加T的正弦值为孚方法二（1）证明：连接SE、DE,•・・DB=DC,E为BC的中点:.DE」BC・.•DB=DC,ZADB=ZADC=60°,DA为公共边:.Z\ADB^/\ADC:.AB=AC,：.AELBC,又AEC)DE=EME,DEu平面ADE以3C丄平面刀庞，故BC丄AD.(2)不妨设DA=DB=DC=2f得AB=AC=2,BC=2皿，DE=知，在直角Rt^AEB中，得AE邓,所以AE2+DE2=AD2^即AEXDE.又AEXBC,DEC\BC=E,BC,DE<=平面BCD,所以姦'丄平面BCD.如图以E为原点，分别以MXEB、EA为x、y.z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,72),D(>/2,0,0),8(0,^2,0)，又£F=5^=(-V2,0,V2),得F(S0,⑤,又AB=(0,72,-扼),DB=(-皿,s/2,0),BF=(-&-&血)设平面ZX48的法向量m=（x,*,z）,则'n•DB=Sx+也设平面ZX48的法向量m=（x,*,z）,则'n•AB=\[2y-V2z=0同理可得平面ABF的一个法向量m=（0,1,1）,—•— L设平面ZM8与平面刀砂'的夹角为们则|cos<9|=|mn设平面ZM8与平面刀砂'的夹角为们则|cos<9|=|所以sin^=—,故二面角D-AB-F的正弦值为曳.3 321.（12分）双曲线C中心为坐标原点，左焦点鸟（一2遥,0）,离心率为⑴求C的方程（2）记C得左、右顶点分别为挝点B（T,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线肱与俱交于P,证明：P在定直线上.y^2y^2<°方法一:【解析】（1）由题意c=2\/5,e=>/5=—,则a=2,b2=16a双曲线为員一比=1.416（2）设过点B的直线x=。，一4,联立双曲线得（4厂一1）J?_32）+48=0a2/ 4R _o则凹+*2=乔二，"2=冋’则矽习=4,；_「设直线的广七也=三三1设直线叫2：‘一巧=*一乂2,Y1X|+2 y2x2-2联立得消去y得仁二兰+1）凹=（七五+1加，%,+2x2-2一代入韦达定理的工=一1,即P在直线工=一1上4 16=1,（2）①当lly轴时，不符合题意.②设直线l:x=ty-4,M{x^yx\N(x2,y2)tP(xQ9yQ).x=ty-4联立方程组即八2y2则(4f2一1)^2一320+48=0, =I14164产_1#0・.•直线与双曲线的左支有两个交点，即 A>0，则32t 48又vMA,与M«2相交于点P，则＜ x0+2x,+2=凡一2 上(工2-2)以(。2-6)V。=*2况+2*2(羽+2)*2(必一2)A：。_2x2-2 。，2-6功_0淳2一6（*|+力）+6卜2 _3即工0=_1；球2-2必 "l*2-2力所以点P在定直线x=-l±.方法三(1)由题意c=2打，e= ,则a=2,Z)2=16a双曲线为—-^-=1416⑵设过点B的直线y=《（x+4）,联立双曲线得（4-k2）、2一8号工一16-16号=0 则…=善，xE=T60"4一炉5 5 5 9Axrx2+2(xi+x2)=-4»即(玉+a)(*2+5)=a(*)设直线移1.—=X+2设直线%上=工_2yxx}+2 y2Xo-2 联立得消去y得：（二；）（砂4）=（二）（『4），即兰=若畿普代入（*）式，化简得9 1( ——)(x2+4)x+2 (x,+2)(x2+4) 4x2+1022 (-