(整理)常微分方程(含解答)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(整理)常微分方程(含解答)第八章常微分方程

【教学要求】

一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。

二、娴熟把握一阶可分别变量微分方程的解法。

三、娴熟把握一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy=+'

的解法——常数变易法和公式法。

四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。

五、娴熟把握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qyypy的解法——特征根法。

会按照特征根的三种状况，娴熟地写出方程的通解，并按照定解的条件写出方程特解。

六、娴熟把握二阶线性常系数非齐次微分方程qyypy+'+''

)(xf=，当自由项f(x)为某些特别状况时的解法——待定系数法。

所谓f(x)为某些特别状况是指f(x)为多项式函数，指数函数

或它们的和或乘积形式、三角函数xxxββαsincos,e。

关键是依据f(x)的形式及特征根的状况，设出特解y*,代入原方程，定出y*的系数。

【教学重点】一阶可分别变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。

【典型例题】

。的阶数是微分方程例)(e)(12xyyy=-'+''

2.1.BA4.

3.DC解：B

。的特解形式是微分方程例)(

e232xxyyy+=+'-''xxxbaxBbaxAe)(.e).(++

xxcbaxDcxbaxCe).(e).(++++

解：C

是一阶线性微分方程。下列方程中例)(

,3xxyyxByAy

xcossin1.e.2=+'='+yxyDyyxyC='=+'+''.0

.

解：B???=='++1)1(0)1(4yyxyy求解初值问题例??-=+xxyyyd)1(d解：由变量可分别法得

cxyylnln1ln

+-=+∴代入上式得通解为由21lnln1)1(=?=cy

xyy211=+的特解。满足求解微分方程例1)0(e252==-'yxyyx

解：由公式法得

]dee2[ed12d1cxxyxxx+???=?

]dee2[e2cxxxxx+?=-?

)e2e2(ecxxxx+-=

31)0(=?=cy由

xxxye3e)1(22+-=所求特解为的通解。求微分方程例046=+''yy

042=+λ解：特征方程为

i22,1±=λ特征根为

xcxcy2sin2cos21+=通解为

的特解。满足求例1)0(,0)0(e2657=='=+'-''yyyyyx

0652=+-λλ解：特征方程为

特征根为3,221=λ=λ∴xxccy3221ee+=对应齐次方程的通解为

xAye*=设原方程的一个特解为

1=A由待定系数法得

∴xxxccyyyeee*3221++=+=原方程的通解为

1,11)0(,0)0(21-===='ccyy得由

xxxyeee32+-=所以所求特解为考试题型试题分为填空题、单项挑选题和计算题(包括应用题)，其中填空题和单项选

择题的分数占总分数的30%左右，此类题目主要考查课程中所学的概念、公式、性质等学问，并配有一些经过容易计算就能得出结果的小计算题；试卷中计算题(包括应用题)的分数占总分数的70%左右，主要考查同学对课程中所学过的基本计算办法和技能的把握状况。总之，学生们要在仔细完成平常作业的基础上，对比考核说明有的放矢地重点复习。另外，考虑到成人和开放教导的特点，本课程是半开卷考试，学生们要仔细收拾和利用好A4备考纸，最后祝学生们考出好成果。

其次部分综合练习

一、填空题（每小题2分，共12分）

1.若='-=))((,13)(2

xffxxf则。2.=

→xxxxsin1sin

lim20。3.函数f(x)=xxe在点____________处取得微小值。

4.若??-+=xxfcxFxxfd)32(,)(d)(则=。

5.=?+∞e2)(lndxxx

。

收敛的须要条件。

是级数∑∞

=1___________.6nna二、单选题（每小题2分，共12分）1.

1)1(2-+=xxxy在（）时为无穷小量。∞→-→→→xDxCxBxA.1

.0.1..2.若f(x)在x=0x处延续，则有（）。

处可微

在00)(.)()(lim.0xxxfBxfAxfAxx=≠=→点可导在00)(.)()(lim.0

xxxfDxfxfCxx==→3.曲线。内是在区间)(),4()6(2+∞-=xxy

A.单调增强且凸的

B.单调增强且凹的

C.单调削减且凸的

D.单调削减且凹的

4.设。则)()(,dcos)(3='=?xgttxgxa

xxDxCxBxxAcos3.cos.cos.cos3.23

325.以下命题正确的是（）。

∑∞=∞→?=1

0lim.nnnnaaA收敛B.收敛级数∑∞=1nna部分和

∑==nkknas1有极限

C.p级数∑∞=11npn当p<1时收敛

D.级数∑∞=1nna与级数∑∞=1nnb发散，则级数)

(1nnnba+∑∞=发散

6.下列微分方程中，（）