2022衡水高考名师数学卷：13圆锥曲线与方程

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十三《圆锥曲线与方程》

考点40：椭圆及其性质（1-3题，9Tl题，13,14题）

考点41：双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题）

考点42：抛物线及其性质（6,7题，16题）

考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）

考点44：圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1.已知直线2"夕+1-U与椭圆二+匕=1恒有公共点，则实数的取值范围（）

9tn

A.（1,9]B.[l,+oo）C.[1,9）U（9,+oo）D.（9,+oo）

丫2JAR

2.已知椭圆c:=+4=l（“>6>0）的左顶点为，上顶点为,右焦点为,若

a~b~

ZABF=90°，则椭圆C的离心率为（）

A,加-1B,G-1C.1+石D百+1

2244

3.己知椭圆鸟+4.=[5>6>0）的短袖长为2,上顶点为'，左顶点为民月，鼻分别是

椭圆的左、右焦点，且△"'8的面积为21叵，点P为椭圆上的任意一点，则

2

11

用+pg]的取值范围为（）

A.。,2]B.[立6]C,[V2,4]D.[1,4]

4.设点P是双曲线《_《=l（a>0力>0）与圆-+V=/+'2在第一象限的交点W'玛分

crb2

别是双曲线的左、右焦点，且「用=3|尸/讣则双曲线的离心率为（）

A四B.叵C.MD.加

22

5.若直线/：了=丘+1与双曲线C：2X2_/=[的右支交于不同的两点48,则实数k的取值

范围是（）

c

A._2<<-72B.-2<k<2--42<k<y/2D.-2<k<0

6.已知尸是抛物线c：J=2px（p>0）的焦点，抛物线。上动点48满足万=4而，若

48在准线上的射影分别为M,N，且△MFN的面积为5,则M8|=（）

•9「13〃21r25

A.-B.—C.—D.—

4444

7.已知抛物线/=?与直线人户区+>2%交于4,8两点若4°8=90。（°为坐标原

点）,则实数4=（）

A.B..C.lD.2

-44-Z

8.已知点耳鸟是椭圆W+E=ig>6>0）与双曲线£_£=1（加>0,">0）的公共焦点，点

a~b~m-rr

P是它们在第一象限的公共点，满足（乔+丽）.西=o.若椭圆的离心率为，，双曲线的离

心率为4,则士出的取值范围为（）

A-[V3,+oo)B,[76,4-00)C.[3,+oo)D.[6,+co)

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.己知”是椭圆片+上1=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点4（1=1，2,3,…），

2516

附阻,冏卜…组成公差为d（d>0）的等差数列，则（）

A.该椭圆的焦距为6B.产用的最小值为2

c.d的值可以为二D."的值可以为2

10.已知过双曲线C:二-片=1的左焦点F的直线1与双曲线左支交于点48,过原点与弦

84

的中点D的直线交直线》=_迪于点E,若△,跖为等腰直角三角形,则直线1的方程为

3

A“+(3-2&)y+2G=0B-X-(3+2五)y+2百=0

C-x-(3-2V2)^+2V3=0D-x+(3+2回y+2行=0

x2y2A,B若它的右焦点厂到直

11.已知椭圆7V=l（a>b>0）的左顶点和上顶点分别为点

线"8的距离为平人且椭圆上有一点〃卜,£|，贝人）

A.椭圆方程为二+/=iB.离心率e=2

4'2

C,鼠口=@D不,砺<°

S&ABF2

12.抛物线c.y2=2PMp>0）的焦点为E过点F的直线/交抛物线C于4B两点，交抛物线C

的准线于。，若前=2BF,\F^=2，则

A.F（3,0）

B.直线“8的方程为夕=百。-|）

C.点8到准线的距离为6

D.4AOB（。为坐标原点）的面积为3出

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.设片,是椭圆占+反=1的左、右焦点，椭圆上一点。满足归周一归引=3,则点？的

1612

横坐标为.

14.已知点尸（°［），椭圆［+/=〃7（机>1）上两点48满足4尸=2尸8,则当""

时，点B横坐标的绝对值最大.

15•过点46,1））作直线与双曲线/_4/=16相交于两点8,C，且A为线段8c的中点，则直

线的方程（表示为一般式）为.

16.已知抛物线c“2_x，过C的焦点的直线与C交于48两点。弦长为2,则线段

AB的中垂线与x轴交点的横坐标为.

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）如图，点7为圆0”2+/=］上一动点，过点T分别作无轴，'轴

的垂线，垂足分别为Z，B，连接以1延长至点P，使得0="，点P的轨迹记为曲线

（1）求曲线0的方程；

（2）若点力，8分别位于X轴与y轴的正半轴上，直线

与曲线C相交于“，N两点，且了却=1，试问在曲线C上是否存

在点°，使得四边形OMQV为平行四边形，若存在，求出直线/方程；若不存在，说明

理由.

18.（本题满分12分）已知点Q（O,_2），过点。作抛物线G：r=2陟（0>0）的切线/，

切点4在第二象限.

(1)求切点”的纵坐标；

(2)有一离心率为5的椭圆£+/=1(°>6>0)恰好经过切点”，设切线1与椭圆的

另一交点为点8，记切线/,04的斜率分别为左，尢，葭，若％+k,=4k，求椭圆的

方程.

19.(本题满分12分)已知抛物线<7：》2=2勿(夕>0)/为抛物线。的焦点.以F为圆心,

P为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线y=b+l与抛物线c交于48两点，过48分别作抛物线C的切线/”/,，设切

线的交点为。，求证：△E48为直角三角形.

20.(本题满分12分)已知抛物线从/=20_¥(2>0)的焦点为尸，直线/号=2》_2,直线

I与C的交点为48，同时［4^+|8尸|=8直线"?/〃，直线m与C的交点为C、。，与

y轴交于点p-

(1)求抛物线E的方程；

⑵若QP=4而求\CD\的长•

21.（本题满分12分）在平面直角坐标系xQy中，已知点Q0,o），直线/：x=2,若动点P

在直线1上的射影为R,且I方1=血|网|,设点尸的轨迹为c.

（1）求C的轨迹方程；

（2）设直线y=x+〃与曲线C相交与48两点，试探究曲线C上是否存在点M，使得

四边形M4O8为平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

=1（〃>6>0）将圆X?+j?=|的圆周分为四等份，且椭

22.（本题满分12分）椭圆7+F

圆C的离心率为正.

2

⑴求椭圆C的方程；

明若直线'与椭圆,交于不同的两点KN,且的中点为小。,；］，线段的垂直

平分线为/，，直线I，与x轴交于点0（见0）,求机的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：直线2foc-y+l=o恒过定点尸（0,1），

直线2日—+1=°与椭圆+仁=1恒有公共点，即点P（°，1）在椭圆内或椭圆上,

9tn

.01.77?>1b加工9

—<1，A即n，又，

9m

••1«加<9或加>9'

故选：C.

2.答案：A

解析：由“+沙=1（。>6>。）,椭圆c：W+/=l（a>6>0），

作出椭圆图象如图：

则/尸=”+。,48=］旨+/，8尸=晨

由题意可得：4产=AB2+BF2,

（a+c）2=a2+b2+b2^c29

••tz2—c2=<7C,=>e2+e-1=0,

，e=避二1（负值舍去）.

2

故选：A.

3.答案：D

解析：由已知的如=2,故1=1.•.•△3/6的面积为2—6,

2

I,x2-6,：.a-c=2-6

-(a-c)b^2-

又.a2—c2-(a-c)(a+c)-b'-

"a=2,c=也，

1,1_|尸耳|+|也I=2a=4

,•明|仍用一附||P周一附|(4-附|)一一附『+4附「

又2-6引产片区2+百,二14—|出「+4|尸片区4,

•1<\--7+1---744

•・\PFt\\PF2\•

...当+向的取值范围为“4

4.答案：B

解析：点尸到原点的距离为|P。|=^^^N^=c.因为在△尸/例中,闺用=2c,所以

|片段=2|P0卜所以△P"8是直角三角形，即=90。•由双曲线的定义知

|「娟-忸玛|=2々•又因为忸耳|=可尸玛|，所以|尸耳|=3%|尸玛|=a•在RtM/笆中，由勾股定理，得

(34+/=(2c)：解得£=巫.故选B.

a2

5.答案：A

解析：将直线y=kx+\代入双曲线方程，并整理得(二_+2h+2=0.

2)X2

/Cr-2H0

A=(2Ar)2-8(/l2-2)>0

以题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故.

2kn

K>°

-^3—>o

=>-2<A<-y[2，故选A-

6.答案：D

解析：过点工作x轴的垂线，垂足是C,交NB的延长线于点D

设样,yj,8怪,必)，则网="f，•••5=5,

(M-%),P=1。①,~ABD>

.1网=MCI即"必必=-4%②

"\AB\~\AD\'5~y,-y2'

v|AFHAM\=^-+^-,\FB|=|8N|=区+旦，

2p22p2

联立①②③解得=4,y2=-lp=2，

7.答案：B

力（再,乂）,8（々,%）,5*2ky2-5y-5(2k-\)=0

解析：设，联立消去得，故

y=fcr+1-2A,

一中,易知占寸为汶.因为4%9。。,故刀.无一°,故为汶+必%=0.

2k2525

因为乂修。,故各…=。,即看,专+1=0,解得/=

8.答案：D

解析：因为（元/+而）,丽=（）,所以点月在尸耳的垂直平分线上.由题意知椭圆的长半轴长

amc\\PF\+\PF^=2a,2a=2m+4c

为，双曲线的实半轴长为.设半焦距为，则归用一仍用=2"所以，所以

户闯=|耳段=2c,

2j2ac2阳+4。c2mc,八2mc“八彳,当日布

-4-+--G=%一+二=一+——=---------+——=——+——+4>2-------+4=2+4=6,三•且1乂

2e}e12c2mc2mc2mvc2m

当c=2"时取“=”故iWi的取值范围为［6,+8）故选D.

2ei

9.答案：ABC

解析：由椭圆二+尤=1，得"5*=4,C=3,故人正确：冏L.="C=5-3=2

2516

故B正确；设|明|,「…组成的等差数列为{q},由已知可得该数列是单调递

增数列，则

"矶”—+3=8,又限皆，所以小上九■，所以

0<dV』，所以"的最大值是3,故C正确，D错误.故选ABC.

1010

10.答案：AC

解析：易知F（_2G,0）厕由题意可设直线/：x=叼_2瓜m*±72），代入双曲线C的方程,

消去x,整理得（/.2）y2_4G叼+4=0,设4（芭,凹）,8（和为），由根与系数的关系，得

_46m,.X+为一2gm占+马_皿凹+乃)？百_46即4也2Gm

12m2-22〃?2—2‘22m2-2m2-2，/w2-2

所以直线°。的方程为y="x,令》=_逑，得y=_述〃?，即£（_坦一等洲）

23333

EF273EF11IfFl=\AF\

-------m—0

所以直线的斜率为-2=---------=-m,，则必有，即

-递+2百

=+1）疗，解得必=±^1,又=-^Y-

=足+26)2+»

.,.加=±(3-2&)，从而直线।的方程为x-(3-2何y+2e=0或x+(3-2向夕+2石=0

H.答案:BC

解析：J(-a,0),B(0,Z>)-

直线"8的表达式为三+2=1,即版-取+.=°

-ab

又尸（c,0），

点2C,°）到直线bx-即+仍=°的距离为以i丝I=迎b，

y/a2+b27

即。+c_3近

yJa2+b27

又b』?

2

1la-14QC-16。2=0，

即(1la+8c)"(a-2c)=0，

a=2c

故离心率e=1,故选项B正确;

2

设椭圆方程为二+E=1，代人点得。

4c23c2I2)

=2]=后，故选项A错误;

又，可得也”=@,故选项c正确；

I2)SMBF2

嬴而=(-2,-5，而=I>Q'故选项D错误，故选BC.

12.答案:BCD

解析：如图，不妨令点B在第一象限，设点K为准线于x轴的交点，分别过点A,B作抛物线

C:/=2Px(p>0)的准线的垂线，垂足分别为G,E，...丽=2BF，所以点尸为8。的中点，又

\BE\=\FB\,.'.\BE\=叫，所以二.中，'DE=30；.⑷=2时|=2|/=2x2=4,

:.\DF\=\AD\+\FA\=6，.♦.忸尸|=6则点B到准线的距离为6,故C正确；

1-\DF\=6,二|3=3,.-,p=3，则尸(|,0)，故z错误油N8OE=30；易得N8Fx=60。,所以直线

AB的方程为y=tan60。•(x-g)=«(x,故B正确;连接

OA,OB,S^B+=；xgX6Xsin120°+；XgX2Xsin60"=3百，故D正确，故选BCD.

解析:由椭圆的定义,得附1+1%=8而用-附|=3,所以明

2

设点尸的坐标为(x»U44,-26"42®ljllJ(x_2)+/=^.

x2y2ix2-16x+39=0

----1----—1

联立得方程组1612消去N并整理，得

(X-2)2+/=^

解得x=3或x=13（舍去）•所以点「的横坐标为3・

14.答案：5

解析:

设次再,必），B（x2,y2）'

当直线斜率不存在时，加=9，%2=0.

222

ABy=kx+\[x2(4/t+l)x+8fcr+4-4/«=0

当直线斜率存在时，设为.联立彳+y=加得

y=kx+\

A>0n4mk2+m-1>08k

4r+1

_4-4加

xx

{2-4〃+1

•:AP=2PB,...玉=-2xz,解得芭=-\6k8k

4公+1，*―4公+1

I/81H8

"匕5呜0（当且仅当网=5时取“”）.

-16%3k。瞪…，得I

X.X2—z■z=-8XX

1-4k2+\4k2+\12

.,•当机=5时，点8横坐标最大•

15.答案：3x—2y—16=()

解析：由双曲线的标准方程：《一广1，设3（项Ji）,0（为，以），

164

可设直线/的方程为歹=/x-6）+1，

代入《一£.=1，整理得(1-4*卜2_弘(1一6朽x+48%—144--20=0①,

164

和马则是方程①的两个不同的根，

所以1-止叫且^

12l-4k2

由“（6」）是BC的中点得（为+%）=6,

2

.,.必（1-66=6（1-必2）,

解得〃=3,

2

直线的方程为3x-2y-16=0.

故答案为：3x—2j/-16=0-

16.答案：A

4

解析：由题意得，抛物线c：/=x,则其焦点为（；,（）），

又过C的焦点的直线与C交于48两点，AB=2,

当“8斜率不存在时，直线x=；,代入C得/=!.,

解得y=土;，则/8=1,与题干相矛盾。

故AB斜率存在，设斜率为k,则直线AB的方程为y=k（x--）,k^O,

ABy2=x

联立直线与抛物线C的方程，得＜

，/1、'

y=Kx--）

4

设”（司,必）,8（%%）,则x+.尸+2,X[X2=±

2k216

则|“邳=Jl+/％-X2|=Jl+dJ（X[+七）2-4X]X2=J]+M=£（1+廿），

k

即:（1+如）=2,解得M=1,

k

设"I中点M（X，"M）,则X“="!=*%=%1）=?

故点M的坐标为（39,

设线段48的中垂线与x轴交点的横坐标为N（XO,O）-

MNk

故直线的斜率为了2右，

1X。

且ABLMN'

k_31/

2与二+万％

贝1」于一・左=7,化简得4,

因为廿=1,故X0=；.

17.答案：⑴设尸（“），7（”。），则伞o,O），8（0,%），

由题意知0=方，所以/为尸8中点，

X即尸

x0=5

由中点坐标公式得

，o=-y

2

又点7在圆°：f+、2=1上,故满足/2+%2=],

得/,

传——+/2=r

4”

（2）由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为y=h+八

因为|48卜]。7|=1,故|+/=[,即5+/=1①,

k

y=kx+t-(4/+1)x2+8ktx+4(r2-11=0

联立2，消去得：''

—+/=1

4-

设"（国,乂），N（x2,y2）>

8kt

再+

x[=4严+1，=«/T)

4k2+1

，/、C」的「2t

h+y2=k^+x2)+2t=k\--r-^yit=­r^，

因为。/°、为平行四边形，故/见_一_]

汽4k2+14A:2+1J

Q（8ktY4»=4M+1

点在椭圆上，故J/2tY，整理得，②，

4+14/+J-I

将①代入②，得4F+M+I=O,该方程无解，故这样的直线不存在.

解析：

18.答案：（1）设切点力（％%）则有丫=立，

•°2p

由切线/的斜率为4=工，

P

得’的方程为丫=血》_芯,,

'P2P

又点。（0,-2）在/上所以2=日，即盟=2,

2P

所以点N的纵坐标4=2.

（2）由（1）得/卜24，2）,切线斜率4=-二，

ylP

设，切线方程为y=Ax-2，

由6=走得S=3又/=.〃，

2a24

所以/=4的

所以椭圆方程为二+片=1且过4一2赤，2）,

4b②b2

所以/>2=p+4・

由]歹=b一2得(1+4左2卜2-16米+16-4/=o,

[x2+4y2=4b2

16k

x+x,=------

°011+4左2

所以

16-4/

X/产由•

又因为K+%2=4%，

32k

即生+21=x1%-2)+x°(何-2)=2心2&+%>)=2k-1+4片=2k--32k=4k

XX22

xQ再XQX{O(16-4b16-4ft

1+4卢

解得方2=8，所以/=4/=32

所以椭圆方程为二+广=1.

328

解析：

19.答案：（1）记抛物线。与圆厂在第一象限的交点为河.由题意可得：圆厂与抛物线

C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆尸的半径P.所以M点的坐标为

（2段］,代入抛物线方程得：4=犷5>0）,所以。=2

（2）设力闱,8卜闱由/="得求导得y=；x,所以'I两点处切线

斜率分别为％=；占,42=~X2

由Jy=&+］得__4h_4=0

［x2=4y'

所以*+Z=4尤不％="4,所以"2=%々=-1,所以尸"尸',即为直角三角形.

解析：

20.答案：解：⑴!炉=21得：2/_(4+0)》+4=0

[y=2x-2

设4(和3，8(々,月)

由求根公式得:%+乂=+

4；',|BF|+1AF\=xx+x2+p=P+p=8,'

则C:/=8x-

⑵设直线〃'：y=2x+，，,=2x+f

I/=8x

得：4X2+(4Z-8)X+/2=0-

A=(4Z-8)2-16/2>0/<1'

设。(项,必卜。(七,乂)(

•••丽=4而可知七=4"%=4,毛+寸27,

々4

」(再+

XW+X；xJ9(2—)24(27)21

x4x3x3x4x3x4tt