2022-2023学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高一年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高一上学期期末数学试题

一、单选题

L设集合公{124},二冲—X+吁0}若ZC八{1},则下(

A.，一3}B.{网C.{⑶D.，5}

【答案】C

【详解】•.・集合'=.'24},'={X|X2-4X+〃7=0},/|"|3={1}

•••x=l是方程x2-4x+w=°的解，即1-4+机=°

...机=3

8=x?-4x+/n=0}=|x2-4x+3=0}={1,3}

故选C

/(I)

g（x）=~^=7/X

2.已知/（X）的定义域为卜2,2],则函数J2x+1，则g（x）的定义域为

(3](,'0)o(0,3)(一,3)

A.4'

B.(-L+8)C.2D.2

【答案】A

厂24142」<x<33

【详解】〔2x+l>0,则一5<",即定义域为I2」故选人.

3.设函数f（x）=x+log2X-m,则“函数/（X）在DI上存在零点”是机e（l，6）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由函数基本初等函数的单调判断函数/口）的单调性，由函数/G）在I2"）上存在零点，

则<2；,/（4）>0；即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

【详解】解：函数/（的二"+“8?》—07在区间（°，+"）上单调递增，

|_L4If'\—|=-——w<0

由函数/（X）在12'J上存在零点，则⑴2,/（4）=6-机>0,

解得<m<6,故“函数/G）在〔于1上存在零点”是60，6）”的必要不分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

C=^log2（l+—I

4.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：1"人它表示：在受噪声干挠的信

道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽力、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功

S_S_

率N的大小，其中后叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽力，而将信噪比后从1000提升至

2000,则C大约增加了（）

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为C=〃l°g2（l+100°）和

C="log2(l+2000),两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.

s

［详解］当N“°°°时，C=fFlog2(l+1000)

§

当彳=2000时,C=l71og2(1+2000)

%log2(1+2000)-%log«+1000)_log22001_1〜1+log?1000_1」］。2

g

则^log2(l+1000)-log21001-log21000-3

1--11

-=lgl04<lg2<lgl03=--lg2Ho.1

又43,根据选项分析，3

S

所以信噪比N从1000提升至2000,则C大约增加了10%.

故选：A.

【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.

33

3⑶5

_6=l}og]—c=-

5.设,：2,,则°、权,的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bc.b<a<c9b<c<a

【答案】C

3

【分析】根据嘉函数y=的单调性，可得0<a<c,根据对数函数的单调性可得b<0.

333

7、0A<一<一

【详解】因为函数y=x在[rn°，+8）上为增函数，且52,

6=logi彳<log11=0

又因为C5

所以6＜a＜c.

故选：C

6.设函数/G"n0+凶）一77百，则使/（X）＞/3一1）成立的x的取值范围是

c.「累D.EMM

【答案】A

【详解】试题分析：一^定义域为火，•漏.•・函数小）为偶函

/l.tHlnll-Fxl------r

数，当工＞0时，.1+「函数单调递增，根据偶函数性质可知：得

"x）＞/（2x-l）成立，小―靖熟（如雷，...X的范围为（5』）故答案为A

【解析】抽象函数的不等式.

【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应

牢记.根据函数的表达式可知函数户W为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在「大于零的单

调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把

/（x）＞/（2x-l）可转化为卜•'丁、—"解绝对值不等式即可.

7.已知函数/（xT）GeR）是偶函数，且函数/（尤）的图象关于点。°）成中心对称，当xe[T，l]时,

/Q）=xT,则八2017）=（）

A.-2B.-IC.0D.2

【答案】C

【分析】利用函数/（x-l）（x'R）的奇偶性和函数/G）的对称性，推出“X）的周期为8,再根据周

期可求出结果.

【详解】因为函数/（x7）（xeR）是偶函数，所以〃TT）=/（XT）,

因为函数/G）的图象关于点°'°）成中心对称，所以/（2-x）+f（x）=0,所以/（2-x）=-/（x）,

将x换为x+3,得/（一》-1）=-/（》+3）,

又/(-x-l)=/(x-l),所以/(xT)=-7'(x+3),

将x换为x+4,得/(x+3)=-/(x+7),

所以/(x-D=/(x+7),

将x换为x+1,得/(x)=〃x+8),所以/(x)是周期函数，且周期为8,

所以“2017)=/(252x8+l)=/(l)=17=0

故选：C

|log,x|,0<x<4

/（X）=■22。70”

—x-8x+—,x>4

133若a，6,c,d互不相同,且/(4)=/(6)=/(c)=/(d),则

8.函数

任4的取值范围是（）

A（32,34）B.（32,3町c,（32,35）D（32,36）

【答案】C

【分析】不妨设°<"6<c<"，作出函数/（X）的图象，根据图象可得0<"1<6<4,

4<c<5,7Vd<8,利用/（Q）=/S）推出而=1,利用/©=/（"）推出c+d=12,再根据二次函

数知识推出32<〃<35,从而可得结果.

【详解】不妨设°<"6<c<d,

作出函数/（X）的图象，如图：

由图可知，0<a<l<6<4,4<c<5,7<“<8,

因为/(。)=/3),所以Uog2al=1唾2"，所以-log2a=log??所以log?a+log?6=。,

所以1呜（助=0,所以必=1

一8r

X=---7=6

y=心+卫2x-

因为二次函数’33的对称轴为3

因为/(c)=/(d),所以c+d=2x6=12,

所以cd=c(l2-c)=-c2+12c--(c-6)2+36,

因为4<c<5,所以32<cd<35,

所以"cde(32,35).

故选：C

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数

的图象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题

9.下列四个结论中正确的是()

A.命题“土。€、，%>2*。，，的否定是“、办€1\,x2<2'»

B.命题“若/+〃=°,贝lj°=°且6=°”的否定是“若/+〃=0,则MwO”

C.命题“若06=0,则。=°或b=°”的否命题是“若a6#°,贝ija*°或b#°”

D.若“PA9是假命题，。丫4是真命题，，，则命题p、q一真一假

【答案】AD

【分析】根据存在量词命题的否定格式，写出即可判断A项；根据命题的否定以及否命题的概念，

写出命题的否定以及否命题，即可判断B、C项；由且与或联结词的判定法则，可知命题p、夕真

假情况，即可判断D项.

【详解】对于A项，命题“王。€、舅>2'。’,的否定是“心€”―42*”，故A项正确；

对于B项，命题“若"+〃=0,则。=0且6=0”的否定是“若/+〃=0,则“#0或6父0”，故B

项错误：

对于C项，命题“若。6=0,则。=0或6=0”的否命题是“若"=0,则月.丑°，，，故c项错误;

对于D项，由PA1是假命题，可知命题"与命题“不能同时为真；由夕丫自是真命题，可知命题

P与命题“不能同时为假，所以命题p、《一真一假，故D项正确.

故选：AD.

10,已知定义在R上的函数v=/（x）满足条件'卜＞""且函数J为奇函数,

下列有关命题的说法正确的是（）

A./⑴为周期函数B./㈤为R上的偶函数

D.公）的图象关于点IT。）对称

C./（X）为R上的单调函数

【答案】ABD

【分析】由周期性的定义可判断A,由奇偶性的定义可判断B,由偶函数的单调性的特点可判断

C,由奇函数的对称性结合图像平移可判断D

+=-/（%）

【详解】对于A：•.・函数V2）

/(x+3)=

••・/(x)=/(x+3)

'/（'）是周期为3的函数，故A正确;

对于B：I,

又/（X）的周期为3,

"0+讣/卜司令x+卜,则/（3/（-）

••./（’）是偶函数，即/（X）是偶函数，故B正确；

对于C：由B知/（X）是偶函数,

'/（x）在S°）和（6+°°）上的单调性相反，

'/（x）在R上不单调，故C错误；

y=f{x~^\

对于D：•.・函数Ir为奇函数，

“一小4）的图象关于点（0,0）对称，

，一，卜的函数图象是由，=/（》）的图象向右平移％个单位得到的，

3的函数图象关于点14J对称，故D正确.

故选：ABD

II.设。>0,b>0,a+b+ab^24,贝ij（）

A.”+6有最大值18B.6有最小值8

C.帅有最大值］6D.仍有最小值16

【答案】BC

b=L

【分析】当。=19,4时，可判断AD不正确；利用基本不等式求最值可判断BC正确.

6=—a+b=19+—>18

【详解】对于A,当"19,4时，满足a+6+M=24,此时4,故A不正确；

,24-a

b------

对于B,因为力a+b+ab=249所以\+a,

a+b=a+――-=。+1+-^——2>+—2=8

所以1+aa+\Va+\,

当且仅当a=b=4时，等号成立，

故a+b有最小值8,故B正确；

对于C,因为ab—24=a+bN2而,当且仅当。=b时，等号成立，

所以（V^+6）（V^K_4）K0,因为a>0力>0,所以0<V^«4,所以0<a6«］6,

所以而有最大值16,此时”=b=4,故C正确；

ft=—ab――<\6

对于D,当。=19,4时，满足a+b+M=24,此时4,故D不正确.

故选：BC

12.已知函数，=/（"）和）'=8（工）在卜22］上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中正确的是

()

A.函数/［g（、）］的零点有且仅有6个B.函数g［/（x）］的零点有且仅有3个

C.函数/"（X）］的零点有且仅有5个D.函数g［g（'）］的零点有且仅有4个

【答案】ACD

【分析】设内层函数为，，先根据外层函数图象得到外层函数的零点个数以及零点的范围，再结合

内层函数图象得到交点的个数即可得解.

【详解】对于A,令g（x）=,，则/［g（x）］=〃r）,

由/⑴=°,结合y=/（幻的图象可知，方程〃'）二°有且仅有三个不等的实根，设为4、‘2和4,

不妨设4<‘2<，3,则_2<4<_］,‘2=°,

当—2<4<-1时,方程g（x）=4有2个不等实根，

当‘2=°时，方程g（x）=’2有2个不等实根，

当1<‘3<2时，方程g（x）=4有2个不等实根，

综上所述：函数/以（切的零点有且仅有6个，故A正确；

对于B,令人x）=t,则g［/（x）］=g«）,

由g⑺=°,结合y=g（x）的图象可知，方程g（'）=°有且仅有2个不等的实根，设为"和芍，不妨

设则-2</<T,0<々<1,

当-2<乙<-1时，方程/（x）=4有且仅有1个实根，

当°<%<1时，方程/"）=4有且仅有3个不等的实根，

综上所述：函数g1/（x）］的零点有且仅有4个，故B不正确；

对于C,,令〃x）=r,则

由/⑴=°,结合y=/（幻的图象可知，方程/"）二°有且仅有三个不等实根，设为％、4和八，不

妨设GU,则-2<4<-1,%=°,l<’3<2,

当-2<4<-1时，方程/（x）=4有且仅有1个实根，

当‘2=°时，方程〃x）=’2有且仅有3个不等实根，

当1<‘3<2时，方程/。）=4有且仅有1个不等实根，

综上所述：函数/［/（X）］的零点有且仅有5个，故C正确；

对于D,令g（x）=，，贝ijg［g（x）］=g«）,

由g（f）=°,结合V=g（x）的图象可知，方程g«）=°有且仅有2个不等的实根，设为4和4,不妨

设则-2<右<-1,0<f2<1；

当-2<乙<-1时，方程g（x）=4有且仅有2个不等的实根，

当°<‘2<1时，方程g（x）=,2有且仅有2个不等的实根，

综上所述：函数g［g（*）］的零点有且仅有4个，故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求复合函数的零点个数的方法：设内层函数为，，先根据外层函数图象得到外

层函数的零点个数以及零点的范围，再结合内层函数图象得到交点的个数.

三、填空题

log3+1g5+7*+log,3log94+lg2=

13.计算：3

【答案】4##4##3.75

【分析】根据对数的运算法则和性质算出答案即可.

【详解】

4/77,34115

10872

log3-y+1g5+7+log23-log94+1g2=log3—+lg5+2+log23-log32+lg2="—+1+2+1=—

15

故答案为：7

14.函数（〃>0且a*】）的最小值为1,则/G4）与7°）的大小关系是.

【答案］

【分析】根据题意和指数函数的图象与性质可知：函数关于直线尸一1对称，进而求解.

【详解】因为函数/GA"""(。>°且的最小值为1,所以。>1,由指数函数的图象与性

质可得：函数的图象‘(、户/"1关于直线产-1对称，

且(-8,-1)上单调递减，在(T，+8)上单调递增，因为-4距离对称轴的距离比I大，所以

/(-4)>/(1)>

故答案为：

y=logi(2x2-3x+l)

15.函数5的递减区间为.

【答案】(L+oo)

1

X<一

【详解】试题分析：由2-9-3》+1>°得，2或x>l,由复合函数单调性可知，函数

y=log)(2x2-3x+l)

2的单调递减区间为(L+00).

【解析】对数函数性质、复合函数单调性.

16.已知函数V=/(x)/=g(x)分别是定义在［T3］上的偶函数和奇函数，且它们在93］上的图象

这20

如图所示，则不等式名卜)在卜3,3］上的解集是.

【答案】(T-2］U(-1,0)U(1,2］

f(X)

—^>0

【分析】不等式g(x)的解集，与f(x)名依)20且g(x)#0的解集相同，观察图象选择函数

值同号的部分，再由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得到f(x)-g(x)是奇函数，从而求得

对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.

f(x)

—^>0

【详解】将不等式g(x)转化为f(x)隹⑻出且g(x)*0,

如图所示：满足不等式的解集为：(1,2］

••-y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数；.f(x)-g(x)是奇函数,

故在y轴左侧，满足不等式的解集为（-3,-2]U（_i,o）

Z^>0

故不等式g（x）在[-3,3]上的解集是（_3,一2]“-1，。川（1,2]

【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想

方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.

四、解答题

17.（1）已知一扇形的圆心角是所在圆的半径是凡若々=60。，R=10cm,求扇形的弧长与该

弧所在的弓形面积;

（2）若角6的终边与函数^=-21x1的图象重合，求sin。、cos8和tand.

—丝兀一25百sin，=_*

【答案】（1）扇形的弧长为3,该弧所在的弓形面积为3；（2）5,

cos0=sin0=-£^cos0=tan6?=—=2

5,tan6=-2或5,5,-1;

【分析】（1）利用弧长公式求出弧长，扇形面积公式求出扇形面积，用扇形面积减去三角形面积得

弓形面积；

J-2x,x>0

（2）由y=-2|x|12x,x<0,分类讨论角6的终边，根据三角函数的定义可求出结果.

兀

（X——

【详解】（1）如图：OZ=A=10cm,3,

则弧长33,

1110兀，c50

—IR=—x---xl0=—%

该弧所在的扇形面积为2233

取力8的中点。，连0°,则

OD=/?cos-=10x—=5>/3/D=Rsin巴=10x』=5

则6262

SAM=』O"L5痒10=25g

所以22

丝兀-25后

该弧所在的弓形面积为3

J-2x,x>0

（2）因为函数y=-2|x|l2x,x<0,

若角。的终边落在射线N=-2x（x20）上，

在角8的终边上取一点尸（1，-2）,则r=\OP\=VU4=亚,

=cos8=；=gtan<?=—=-2

则J55,J55,1.

若角e的终边落在射线v=2Mx<°）上，

在角e的终边上取一点P（T，-2）,则厂=\OP|=VT+4=石,

-Q_122亚a—1x/5—2

sine-f=——cos0=—j==--—tan8=—=2

则V55,J55,-1

18.已知幕函数了="'）的图象经过点（2,4）,对于偶函数y=g（x）（xeR）,当x20时，

g（x）=f（x）-2x.

（1）求函数y=〃x）的解析式；

（2）求当x<0时，函数y=ga）的解析式，并在给定坐标系下，画出函数y=g（x）的图象

4产

3•

2•

1・

■■■■■・■■V

-4-3-2-1£12341

-1•

（3）写出函数、=旭（刈的单调递减区间

【答案】（1）fM=x\

（2）当x<0时，g（x）=x2+2x,

图像如下图所示：

(3)(-«,-2],[-1,0],[1,2].

【分析】(1)设出事函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；

(2)利用偶函数的性质可以直接写出当x<0时，、=g(x)的解析式，并画出图像;

【详解】(1)设丁=/(》)=J，

则4=2",a=2,f(x)=x~.

2

(2),•'/(x)=x>

.,.当xN0时g(x)=，_2x

设x<°，则-x>0,

・•.y=g(x)是R上的偶函数

g(x)=g(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.

即当x<0时，g(x)=』+2x.

(3)函数》=忖(刈1图像知下图，如图所知:

函数y=|g(x)|的单调递减区间是：(7°，-2],[-1,0],[1,2].

【点睛】本题考查了塞函数的定义，考查了偶函数的性质，正确画出图像是解题的关键.

19.某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中

的含药量〉(〃g)与服药后的时间《h)之间近似满足如图所示的曲线.其中0/是线段，曲线段工8是

函数y=(f21,a>o,k,“是常数)的图象，且"(1,8),8(7,1).

(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2。咯)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00,

为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h,该病人每毫升血液中含药量为

多少〃g?(精确到°山小)

'8/,(0</<1)

片8日件[,(卬

【答案】⑴〈J

(2)上午11：00服药

⑶4.7"g

【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别

求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.

【详解】（1）当°q<1时，夕=&；

6

a=——

ka=82

k(i-1k=8亚

当，21时，把沟，8）、8（7,1）代入y=h"0>\,a>Qt匕a是常数），得解得

8/,（0</<1）

7=<

8V2X[^,（?>1）

故〔一

t>\

‘8啦x|变=2

（2）设第一次服药后最迟过f小时服第二次药，贝一,解得：，=5,即第一次服药

后5〃后服第二次药，也即上午11：00服药；

（3）第二次服药3人后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:

每毫升血液中含第二次服药后剩余量为:

2/^+4a4.7〃g

所以此时两次服药剩余的量为2

故该病人每毫升血液中的含药量为47〃g

20.已知函数/（x）='+l°g"X（。>0且awl）的图象经过点（4』）和（卜1）.

（1）求函数/G）的解析式；

⑵令g（x）=2/（x+l）-/（x）,求gG）的最小值及取最小值时x的值.

[答案]⑴/（%）=-1+1。82%

（2）gG）的最小值为3,且且㈤取最小值时x的值为1.

[l=b+l0gl,4

【分析】（1）由1-1="+噬"求出.力，可得"X）的解析式:

.../Ag（x）=-l+logj（x+l）+2I

⑵化间将x">°），再根据基本不等式和对数函数的单调性可求

出结果.

『=6+log“4卜=2

【详解】（1）依题意可得=6+解得1=T,

所以/（X）=-l+10g2X

（2）由（1）知，/«=-l+log2x

所以g（x）=2（-1+唾式》+1））_（_1+log?x）=-1+log?-1+log?[x+：）+2]（、>0）

xH---F2>2.X--+2=4

因为x>,所以x\x,当且仅当x=l时，等号成立，

又2>1,所以g（x）m,„=T+4=3,此时x=[

所以g（x）的最小值为3,且g（x）取最小值时x的值为1.

21.已知函数/0去+1。即（9'+1）,（人幻是偶函数

（1）求”的值;

“/（x）-（；x+3>0

（2）若I）对于任意x恒成立，求6的取值范围；

.,\一）,+~1-V

（3）若函数⑸+2”3-[。,*8],是否存在实数〃,使得心）的最小值为。?若存在,

求出加的值，若不存在，请说明理由.

k=_L

【答案】⑴2；（2）640；（3）存在，w=-V2

【解析】⑴由/（-x）=/G）,化简可得-x=2去，对任意xeH恒成立，从而可得力=一：

/（X）-Rx+b]>0/、

⑵（2）对任意的X6R成立，即1嗝（9'+1卜x>b,求出1嗝（9'+）、

即可得结果；

（3）化简得〃（x）=9'+2m3+2,令，=3[e[l,2夜]^y=e+2m.t+2止。,2亚]

利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.

【详解】⑴函数/0履+1。氏（9、1）,（人外是偶函数则满足/（x）y（r）

所以丘+唾9（9V+1）=-Ax+log,（9-x+1）

9V+1(1+9。

2kx=log-----=log-4；=log9r=-x

9V699A7A99

nn9+19(9+1)

即,J

k」

所以殊=-1解得2

/(x)=-《x+log9［，+l)/(x)-［；x+力>0

(2)由⑴可知，2'0U)对于任意x恒成立

代入可得1Og9O,+l)-j>°所以"<log?(9>+14对于任意x恒成立

9'+1(.1］

V8+

g(x)=log9(9'+l)-x=log,(9+1)-log,9'~°g，9*-°4F)

1+—>1log/1+777］>0

因为9'所以由对数