2022-2023学年湖南省常德市安乡县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案）

2022-2023学年湖南省常德市安乡县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）抛物线y=2（x-3）2+4顶点坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（2,4）

2.（3分）矩形的长为x,宽为》面积为8,则），与尤之间的函数关系用图象表示大致为（）

3.（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩

都是9环，方差分别是S懦=0.15,S；=0.2,S^=0.4,S%=0.35,你认为派谁去参赛

更合适（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（3分）如图，城关镇某村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离

为米，那么这两树在坡面上的距离48为（）

5.（3分）如图，在△4BC中，点。、E分别在边AB、AC上，若DE〃BC,—=2,DE

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

6.（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍,

得到若点A的坐标是（2,1）,则点A'的坐标为（）

A.（4,2）B.（-2,-4）C.（-1,-2）D.（-4,-2）

7.（3分）下列说法中，错误的是（）

A.两个全等三角形一定是相似形

B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

8.（3分）已知二次函数）=/+法+，（.#0）的图象如图所示，有下列结论：®a-b+c>0；

②2"c>0；③4a-2Hc>0；®h2-4ac>0；⑤3a+c>0；®a-c>0,其中正确的结论的

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.（3分）已知x=a是一元二次方程7-2%-3=0的一个实数根，则代数式2〃的值

为.

10.（3分）将二次函数y=-7-2x化为y=a（x-6）z+%的形式为.

11.（3分）已知反比例函数产号，当l<x<2时，），的取值范围是.

12.（3分）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置,

11

13.（3分）已知一元二次方程7-3x-3=0的两根为。与江则一+二的值是.

ab

14.（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是A8和AC的中点，S四边形BCDE=15,则S^ABC

15.（3分）小玲家的鱼塘里养了2500条鲤鱼，按经验，鲤鱼的成活率约为80%.现准备打

捞出售，为了估计鱼塘中鲤鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如

下表.那么，鱼塘中鲤鱼的总质量约是千克.

鱼的条数平均每条鱼的质量

第一次捕捞201.6千克

第二次捕捞102.2千克

第三次捕捞101.8千克

16.（3分）如图，是二次函数-x2+bx+c的部分图象，则不等式-7+bx+c>0的解集

三、解答题（10小题，共72分）

17.（5分）计算：|V3-2|+-（2022-7T）°+2cos30°.

18.（5分）解方程：4x7=0.

19.（6分）反比例函数＞=&?的图象如图所示，A（-1,bi）,8（-2,历）是该图象上

的两点.

（1）求，"的取值范围；

（2）比较少与的大小.

20.（6分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2加时•，水面宽4〃i,若水面下降2,“，求此

时水面宽度增加多少米？

4m

21.（7分）为迎接2019年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试,

并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计

图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:

（1）这次调查共抽取了多少名同学？

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该中学九年级共有1000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学

生的数学成绩可以达到优秀？

人数

(1)求证：XABCsXDEC：

(2)若SAABC：5ADEC=4：9,BC=6,求EC的长.

23.（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此

时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于

灯塔尸的北偏东45°方向上的避风港2处.

（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）

（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参

考数据:V2«1.4I4,V3«1.732）

24.（8分）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于40C,〃2,小张该怎么剪？

(2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30c,后.”他的说法对吗？请

说明理由.

25.(10分)在平面直角坐标系中，己知。4=10M，OB=5cm,点P从点O开始沿OA边

向点4以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点。以\cmls的速度移动.如

果尸、。同时出发，用r(s)表示移动的时间(0W/W5),

(1)用含f的代数式表示：线段PO=cm-,OQ—cm.

(2)当/为何值时△POQ的面积为6。/?

(3)当△POQ与△AOB相似时，求出f的值.

26.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=考/+bx+c与y轴交于点A,与x

轴交于点B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点

(1)求抛物线的解析式和对称轴：

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△外8的周长最小？若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

2022-2023学年湖南省常德市安乡县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）抛物线y=2（x-3）2+4顶点坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（2,4）

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标.

【解答】解：y=2（x-3）2+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3,4）.

故选：A.

2.（3分）矩形的长为x,宽为y,面积为8,则y与尤之间的函数关系用图象表示大致为（）

【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函

数的图象性质作答.解答时还要注意本题中自变量x的取值范围.

【解答】解：由矩形的面积8=孙,可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y=*x>0）,

是反比例函数图象，且其图象在第一象限.

故选：C.

3.（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩

都是9环，方差分别是够=0.15,S；=0.2,S2=0.4,S%=0.35,你认为派谁去参赛

更合适（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

【解答】解：因为S懦=0.15,S；=0.2,S%=0.4,S，=0.35,

0.15<0.2<0.35<0.4,

所以派甲去参赛更合适.

故选：A.

4.（3分）如图，城关镇某村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离

为用米，那么这两树在坡面上的距离A3为（）

cosasina

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cosa=焉，进而得出答案.

1解合】解：田题忌口"导：cosa=丽，

则AB=瀛

故选：B.

,4°

5.（3分）如图，在△4BC中，点力、E分别在边AB、AC±,若DE〃BC,—=2,DE

DB

=6cm,则BC的长为（）

A

A

B-------------C

A.9cmB.12cmC.15cmD.18c/n

ADDE—AD

【分析】根据平行得到△AQEs△ABC,根据相似的性质得出—=—,再结合一=2,

ABBCDB

DE=6cm,利用相似比即可得出结论.

【解答】解:在△A8C中，点。、E分别在边AB、AC上，DE//BC,

NADE=NB,

,:NA=NA,

：./\ADE^/\ABC,

,ADDE

••=,

ABBC

.DEADAD2

••BC~AB~AD+DB-3’

■:DE=6cm,

._3DE_3X6_

♦D•BrC=-2~~2~=Q9cm,

故选：A.

6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将AAOB扩大到原来的2倍,

得到△OAE.若点A的坐标是(2,1),则点H的坐标为()

A.(4,2)B.(-2,-4)C.(-1,-2)D.(-4,-2)

【分析】根据以原点为位似中心，将△A08扩大到原来的2倍，得到△OA5得出点4的

对应点是点4,且位似比为1：2,再根据点4的坐标即可得出结果.

【解答】解：•••以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△04b.

.,.点A的对应点是点4,

VA(2,1),位似比为1：2,且点4在第三象限,

.♦.A'(-2X2,-2X1),

即4(-4,-2),

故选：D.

7.(3分)下列说法中，错误的是()

A.两个全等三角形一定是相似形

B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到

最后答案.

【解答】解：A正确，因为全等三角形符合相似三角形的判定条件；

B不正确，因为没有指明相等的角与可成比例的边，不符合相似三角形的判定方法；

C正确，因为其三个角均相等；

。正确，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定条件；

故选：B.

8.(3分)已知二次函数y=/+fex+c(aWO)的图象如图所示，有下列结论：①a-%+c>0；

②2a机■>()；©4a-2b+c>0；®b2-4ac>0；⑤3a+c>0；®a-c>0,其中正确的结论的

个数是()

【分析】由于当x=-l时，y<0,则a-b+cVO,当x=-2,y>0,则4a-2b+c>0,

可对①③进行判断；由于抛物线开口向上，则“>0；对称轴在y轴右侧，x=一卷X),

则bVO；抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，则cVO,可对②进行判断；根据抛物线

与x轴有两个交点可对④进行判断；由于x==1,即b=-2a,而a-b+c<0,则

3«+c<0,可对⑤进行判断；根据〃>0,cVO,可对⑥进行判断.

【解答】解：当x=7时，yVO,则a-Hc<0,所以①错误；

抛物线开口向上，则。>0；对称轴在y轴右侧，x=-白X),则6<0；抛物线与y轴的

交点坐标在x轴下方，则cVO,于是〃从■>(),所以②正确；

当x=-2,y>0,贝I」4a-2b+c>0,所以③正确；

抛物线与x轴有两个交点，则房-4ac>0,所以④正确；

x=-^=1,即b=-2a,而a-6+c<0,则3"+c<0,所以⑤错误；

a>0,cVO,则。-c>0,所以⑥正确.

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.（3分）已知x=a是一元二次方程7-3=0的一个实数根，则代数式/-2a的值为

3.

【分析】根据方程的解的定义把代入一元二次方程/-2x-3=0,得至a2-2“=3,

然后将其整体代入所求的代数式进行求值.

【解答】解：是一元二次方程7-2%-3=0的一个实数根，

."2-2a-3=0,

J.a2-2a=3,

故答案为:3.

10.（3分）将二次函数y=-7-2%化为y=a（x-人）？+出的形式为y=-（x+1）?+1.

【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可.

【解答】解：y=-x2-2x=-（JC2+2X+1-1）=-（x+1）2+1,

故答案为：y—~（x+1）~+1.

11.（3分）已知反比例函数y=¥，当1cx<2时，y的取值范围是5VyV10.

【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可.

【解答】解：：％=10>0,

在每个象限内y随x的增大而减小，

又；当x=l时，y=10,

当x—2时，y—5,

.•.当1cx<2时,5<y<10.

故答案为：5<y<10.

12.（3分）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置,

4

那么cosB的值为~.

一5一

【分析】连接格点A、D.先利用勾股定理求出A8,再利用直角三角形的边角间关系求

出NB的余弦.

【解答】解：如图，连接格点A、D.

'JADLBD,AZ）=3,BD=4,

：.AB=y/AD2+BD2=5.

11

13.（3分）己知一元二次方程/-3x-3=0的两根为。与b,则一+工的值是-1.

ab

【分析】根据根与系数的关系得到。+匕=3,ab=-3,再把原式变形得到空，然后利用

ab

整体代入的方法进行计算.

【解答】解：根据题意得。+力=3,ab=-3,

所以原式=喏=当=f

故答案为-1.

14.（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是A3和AC的中点，S四边形BCDE=15,则SAABC

=20.

【分析】先根据三角形中位线的性质，证得DE//BC,DE=\BC,进而得出△AOES4

ABC,又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案.

【解答】解：:。、E分别是AB、AC边上的中点，

1

：.DE//BC,DE=^BC,

：.XXDEsXNBC,

・S^ADE/DE21

••=（）~~A9

S^ABCBC4

•••S^ADE:S四边形BCEO=1：3,

即SAADE：15=1：3,

S^ADE=5r

・'・S&ABC=5+15=20.

故答案为：20.

15.（3分）小玲家的鱼塘里养了2500条鲤鱼，按经验，鲤鱼的成活率约为80%.现准备打

捞出售，为了估计鱼塘中鲤鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如

下表.那么，鱼塘中鳏鱼的总质量约是千克

鱼的条数平均每条鱼的质量

第一次捕捞201.6千克

第二次捕捞102.2千克

第三次捕捞101.8千克

【分析】首先计算样本平均数，然后计算成活的鱼的数量，最后两个值相乘即可

…一,20X1.6+10X2.2+10X1.8♦一

【解答】解：每条鱼的平均重量为：----------------------=1.8千克，

20+10+10

成活的鱼的总数为：2500X0.8=2000条,

则总质量约是2000X1.8=3600千克.

故答案为3600.

16.（3分）如图，是二次函数y=-/+〃x+c的部分图象，则不等式-/+fer+c>0的解集是

【分析】由对称轴x=4,抛物线与x轴的交点（9,0）,根据二次函数的对称性求得另一

个与x轴交点的坐标根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式-/+版+c>0的解集.

【解答】解：♦.•对称轴x=4,抛物线与x轴的交点（9,0）,

.•.另一个与x轴交点的坐标（-1,0）,

.,.二次函数y=-7+2r+c的图象与x轴交点坐标为（7,0）、（9,0）,

而-7+6x+c>0,

即y>0,

-l<x<9.

故答案为：-l<x<9.

三、解答题（10小题，共72分）

17.（5分）计算：|B-2|+（一3T-（2022-TT）0+2COS30°.

【分析】先把加减号两侧的部分化简，再求和.

【解答】解：|V3-2|+（T）t-（2022-7r）°+2cos30。

=2-百-3-1+2X字

=-2-V3+V3

=-2.

18.（5分）解方程：7-4x-1=0.

【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【解答】解：：%2-4x-l=0,

.".X2-4x=l,

Ax2-4x+4=1+4,

（JC-2）2=5,

：.x=2+V5,

•*.xi—2+V5>X2=2-V5.

19.（6分）反比例函数尸义展■的图象如图所示，A（-1,b\）,B（-2,历）是该图象上

的两点.

（1）求机的取值范围；

（2）比较历与历的大小.

V'

【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质可知2m-1>0,从而可以解答本题；

（2）根据反比例函数的性质可以判断b\与b2的大小.

【解答】解：（1）由函数图象可知，该函数图象在第一、三象限，

：.2m-1>0,

解得，机>1，

即m的取值范围是m>|；

（2）由图知I,当xVO时，y随x增大而减小，

V-1>-2,

.•.加V①.

20.（6分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2〃?时，水面宽4〃?，若水面下降求此

时水面宽度增加多少米？

I*

4m

【分析】以桥拱的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，依据待定系数法求得抛物线的

解析式，再利用抛物线的解析式解答即可得出结论.

【解答】解：以桥拱的顶点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

设该抛物线的解析式为y=a^,

：.aX(-2)2=-2,

._1

•*CL——2•

抛物线的解析式为y=—%?.

1

令y=-4,则-2%2=-4,

.•.x=±2V2.

,若水面下降2,〃，此时水面宽度为-(―2鱼)=4鱼(tn),

此时水面宽度增加(4V2-4)米.

答：若水面下降2加，此时水面宽度增加(4V2-4)米.

21.(7分)为迎接2019年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试,

并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计

图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:

(1)这次调查共抽取了多少名同学？

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若该中学九年级共有1000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学

生的数学成绩可以达到优秀？

人数

25

（2）根据总人数和“中”所占的百分比计算出“中”的人数，从而将条形统计图补充完

整；

（3）用九年级的总人数乘以优秀人数所占百分比，即可得出答案.

【解答】解：（D224-44%=50（名），

答：这次调查共抽取了50名学生；

（2）测试成绩“中”的学生人数为：50X20%=10（名），

答：估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀.

22.（7分）如图，在△ABC和中，ZBCE-ZACD.

（1）求证：XABCs/\DEC：

（2）若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的长.

D

【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABCS^DEC；

CB

24

(2)由相似三角形的性质可得:--=-

CE9

s&DEC

【解答】证明：(1),：ZBCE=ZACD.

：.ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

:・NDCE=/ACB,

又＜NA=ND,

・•・AABC^ADEC；

(2)VAABC^ADEC；

.S"Be/CB24

s"DECCE9

又,：BC=6,

：.CE=9.

23.（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的4处，此

时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于

灯塔P的北偏东45°方向上的避风港B处.

（1）问避风港2处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）

（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港8处？（参

考数据：75*1.414,V3«1.732）

A

【分析】（1）作PCLAB,根据正弦的定义求出PC,根据直角三角形的性质求出PB；

（2）根据路程+速度=时间与7比较即可得到结论.

【解答】解：过点P作PCL4B于C,

在RtZ\4CP中，ZA=30",

：.PC=PA'sinA=100x1=50(海里),

在Rt^BCP中，ZB=45°,

：.PB=V2PC=50V2-70.7海里,

答：B处距离灯塔尸约70.7海里;

（2）；PB=50夜海里，

：.BC=^PB=50（海里），

•.,朋=100海里，ZA=30°,

p5

：.AC=^M=5OV3,

；.A8=(50+50V3)海里,

;轮船的航速是每小时20海里，

50+50V3

--------«6.8<7,

20

二轮船能在台风到来前赶到避风港B处.

24.（8分）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于400小2,小张该怎么剪？

（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30C〃?2.”他的说法对吗？请

说明理由.

【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可;

(2)利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可.

【解答】解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(8-X)cm.

(8-x)2=40,

即/-8x+12=0.

・・xi=2,X2=6.

...小张应将40cx的铁丝剪成8c〃?和24cm两段，并将每一段围成一个正方形.

2)他的说法对.

假定两个正方形的面积之和能等于30cm2.

根据(1)中的方法，可得/+(8-x)2=30.

即/-8x+17=0,

△=82-4X17<0,方程无解.

所以两个正方形的面积之和不可能等于30°".

25.(10分)在平面直角坐标系中，已知OA=10"”，O8=5c〃?，点P从点O开始沿OA边

向点A以2cmis的速度移动；点。从点B开始沿BO边向点O以Icmls的速度移动.如

果P、。同时出发，用f(s)表示移动的时间(0WtW5),

(1)用含f的代数式表示：线段PO=2tcm；OQ=(5-/)cm.

(2)当t为何值时△POQ的面积为6c/n2?

(3)当△POQ与△AOB相似时，求出f的值.

【分析】(1)由运动知，OP=2tctn,OQ—(5-r)cm,得出结论；

(2)根据△P。。的面积为6。/,建立方程6=*x2fX(5-Z),解方程即可求出答案;

(3)分△POQsZ\AOB或△POQS/XBOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即

可求出答案.

【解答】解：(1)由运动知，OP=2tcm,OQ=(5-r)cm,

故答案为：2